Материал: Построение комплексной оценки организационно-технологических решений. методические указания к проведению практических занятий. Баркалов С.А., Курочка П.Н

Получение рейтинговой оценки возможно различными путями, самый простой из которых – это нахождение среднего арифметического или среднегеометрического значения исследуемых показателей. В этом случае предполагается, что все параметры имеют одинаковое влияние на оценку, характеризующую положение в изучаемой организации, то есть параметры равнозначны. Зачастую это не так, поэтому данный подход практически не используется.

Большинство современных методов получения рейтинговой оценки базируется на использовании средневзвешанной суммы, для нахождения которой могут быть использованы различные подходы. Самым простым является получение комплексной оценки исходя из формулы

i=1

где z - интегральная оценка; qi - весовой коэффициент при i-ом показателе, определяемый, как правило, экспертным путем; xi - значение i-го показателя; при этом в процессе моделирования используются нормированные значения показателей. Нормировка может быть произведена по-разному, например, используется величина, определяющая степень влияния показателя на всю оценку, то есть величина вида

xi = n xi .

∑ xi

i=1

Но наиболее часто применяется формула полной нормализации. В этом случае нормированное значения показателя, ориентированного на максимальное значение (то есть чем выше значение данного показателя, тем лучше) может быть получено по следующей формуле

а для критерия, ориентированного на минимальное значение (то есть чем меньше значение данного показателя, тем лучше)

Как уже говорилось, значения весовых коэффициентов в формуле (1) определяется экспертным путем. Причем экспертам предлагается оценить важность каждого из показателей попарно, то есть эксперт должен в i-ой строке и j- ом столбце матрицы указать во сколько раз, по его мнению, i-ый показатель важнее j-го. Таким образом по результатам экспертного опроса получаем матрицу все элементы которой будут положительными и удовлетворять следующему соотношению для любых значений i и j

aij = a1

ji

6

Такая матрица называется обратно-симметричной. Из этого, в частности, следует, что

aii =1

Если эксперт при составлении матрицы экспертного опроса негде не противоречил своим предыдущим высказыванием, то рассматриваемая матрица результатов экспертного опроса А будет согласованной.

Матрица называется согласованной если для любых i, j и k, имеет место равенство

aik akj = aij

Тем самым, идеальная матрица сравнений обратно-симмитрична и согласована. Построить какую-нибудь обратно-симметричную матрицу совсем не-

трудно. Правда, вряд ли она окажется согласованной.

Существует достаточно простой критерий, позволяющий определить это. ТЕОРЕМА. Положительная обратно-симметричная матрица является согласованной тогда и только тогда, когда порядок матрицы и ее наибольшее соб-

ственное значение совпадают,

λmax = n

Это означает, в частности, что если наибольшее собственное значение обратно-симметричной матрицы равно ее порядку, то эта матрица непременно будет согласованной.

Таким образом, по результатам экспертного опроса получена матрица парных сравнений, которая будет являться положительной и обратносимметричной. Но каким-то образом необходимо перейти от матрицы парных сравнений к значениям весовых коэффициентов. Оказывается, что если полученная матрица парных сравнений будет согласованной или достаточно близка к ней, то для весовых коэффициентов будет справедливо следующая система уравнений, которая в матричном виде записывается в форме

Aq = nq

где A – матрица парных сравнений, полученная в результате экспертного опроса; q – вектор-столбец весовых коэффициентов, который необходимо определить.

Таким образом, задача нахождения весовых коэффициентов по матрице парных сравнений сводится к решению задачи на собственные значения для положительной, обратно-симметричной матрицы.

Алгоритмы нахождения собственных значений для произвольной матрицы достаточно сложны и трудоемки, но в рассматриваемом случае возможно применение простых и эффективных алгоритмов, которые можно использовать только в том случае если рассматриваемая матрица будет согласованной или достаточно близка к ней. Таким образом, возникает задача оценки степени согласованности матрицы. Это оценивается с помощью индекса согласованности.

Ясно, что если элементы положительной обратно-симметричной согласованной матрицы А незначительно изменить (подвергнуть малому шевеле-

7

нию), то максимальное собственное значение λmах также изменится незначительно.

Пусть А — произвольная положительная обратно-симметричная матрица и λmах — ее наибольшее собственное значение.

Если

λmax = n

то матрица А — согласованная. Если же

λmax ≠ n

(всегда λ > п), то в качестве степени отклонения положительной обратно- mах −

симметричной матрицы А от согласованной можно взять отношение

−

которое называется индексом согласованности матрицы А и является по -

казателем близости этой матрицы к согласованной.

Степень согласованности суждений считается удовлетворительной, если индекс согласованности не превышает 0,1.

Естествен вопрос, как находить наибольшее собственное значение λmах положительной обратно-симметричной матрицы.

Вобщем случае эта задача, хотя и разрешима, но технически достаточно сложна. Поэтому, желая содержательно, но относительно просто ответить на поставленный вопрос, мы вынуждены чем-то поступиться. Проще всего поступиться точностью вычислений, т. е. искать приближенное значение наибольшего собственного числа.

Для этого поступают так: сначала приближенно строится нужный собственный столбец, а затем по нему ищется приближенное собственное значение.

Опишем один из простых алгоритмов отыскания приближенного собственного столбца обратно-симметричной матрицы [6]:

1)элементы каждого столбца складываются,

2)элементы каждого столбца делятся на их сумму,

3)элементы каждой строки полученной матрицы складываются,

4)полученные результаты записываются в столбец и каждый из элементов этого столбца делится на порядок исходной матрицы п.

Совсем нетрудно убедиться в том, что каждый из приведенных способов, будучи примененным к идеальной матрице, дает один и тот точный результат

—собственный столбец, отвечающий наибольшее собственному значению п.

Вприменении к обратно-симметричной, но не согласованной матрице ни один из предложенных способов к собственному столбцу уже не приводит. Тем не менее, при вычислении приближенных собственных столбцов таких матриц удобно пользоваться именно этими способам

Специально подчеркнем, что описанные способы вычисления приближенного собственного столбца матрицы эффективны лишь для обратносимметричных матриц, достаточно близких к согласованным.

8

Рассмотрим пример получения весовых коэффициентов для построения построения комплексной оценки по аддитивному методу для 3-х вариантов реализации строительных проектов данные о которых приведены в табл. 1.

полученной в результате попарных сравнений пяти критериев оценки С, Т, Кэф,

Ксв и Ккр.

Имеем 1 шаг. Суммируем элементы каждого столбца матрицы парных сравне-

ний. В результате получаем по столбцам

2, 018; 3,643; 8,75; 16,5; 22.

2 шаг. Элементы каждого столбца делятся на их сумму. В результате получаем следующую матрицу

3 шаг. Элементы каждой строки полученной матрицы складываются. Данные приведены в предыдущей таблице в последнем столбце

4 шаг. Каждый из элементов этого столбца делится на порядок исходной матрицы п.

9

В итоге получаем

0,46

0,31

0,13

0,07

0,04

Итак, приближенный собственный вектор найден. Его компоненты и будут составлять искомые весовые коэффициенты, но нам необходимо определить какова же точность наших вычислений. Для этой цели необходимо найти максимальное собственное значение.

Покажем, как это можно сделать.

Если мы хотим проверить, является ли предъявленный вектор х собственным столбцом матрицы А, следует поступать так:

1. Умножить матрицу А на этот столбец Ах - у,

или подробнее

данному столбцу х.

Если же хотя бы одно из равенств (*) нарушается, то столбец х уже не является собственным столбцом матрицы А.

Именно такой случай нас и интересует.

Выберем в качестве приближения к искомому собственному значению среднее арифметическое отношений11 , … ,

10