Материал: Плясов Лабораторныы практикум Мекханика твердого тела 2015

териалов, из которых сделаны сопри- касающиеся тела. В результате, шар и плоскость будут соприкасаться не в одной геометрической точке, а частью своих поверхностей S ′ и S ′′ . Через F1 и F2 обозначим равнодействующие

сил, с которыми деформированные участки плоскости качения шара, находящиеся по разные стороны вер- тикальной плоскости O1O2 , действу- ют на деформированный шар (см. рис. 1.23.2).

Пусть деформация плоскости и катящегося по ней без проскаль- зывания шара является упругой деформацией. Это означает, что соприкасающиеся тела полностью восстанавливают свою форму и размеры после прекращения взаимодействия. Тогда деформации шара и плоскости будут симметричны относительно вертикальной оси A1 A2 , проходящей через центр шара O . Силы F1 и F2 будут равны по величине, и их направления составят равные углы с вер- тикальной осью A1 A2 . Следовательно, сила трения качения равна нулю, поскольку сумма проекций этих сил на ось x равна нулю:

F1x + F2 x = 0 .

Рассмотрим теперь случай упру- гой деформации шара и неупругой деформации плоскости качения. Лег- ко представить конкретный пример, иллюстрирующий этот случай: тяже- лый металлический шар катится по асфальту. Схематическое изображе- ние этого случая дано на рис. 1.23.3. Вследствие неполного восстановле- ния деформированной плоскости ка- чения картина, изображенная на ри- сунке, не имеет осевой симметрии.

Из рисунка, например, видно, что уровни поверхности плоскости качения до и после того, как по ней

141

прокатится шар, различаются. Поэтому можно предположить, что площади поверхностей соприкосновения шара и плоскости качения по обе стороны плоскости O1O2 будут неодинаковы: S2 > S1 . Как

следствие этого, сила F2 больше по величине силы F1 . По той же причине α 2 > α1 , где α1 , α 2 – углы между направлениями сил F1 ,

F2 и осью A1 A2 . Следовательно, в рассматриваемом случае гори-

зонтальная составляющая суммы сил F1 и F2 (сила трения качения

В данной работе используется металлический шар и металличе- ская плоскость качения. Сравнительно маленькая масса шара и упругие свойства металлов, из которых сделаны шар и плоскость качения, – причина малой, практически не заметной для визуально- го наблюдения, деформации шара и плоскости качения при прове- дении эксперимента. Будем в дальнейшем считать, что шар в экс- периментальной установке не деформируется, а плоскость качения мало деформируема. Тогда площади соприкосновения шара и плоскости качения S1 и S2, углы α1 и α2, которые составляют направления сил F1 и F2 с осью А1А2, можно без преувеличения считать малыми. Поэтому, с учетом известного соотношения sin α ≈ α , справедливого для углов α << 1 , выражение (1.23.1) для силы трения качения упростится и примет вид

Выражение (1.23.3) удобно по следующей причине: в рассматрива- емом случае, когда деформация плоскости качения мала и незначи- тельно отличается от упругой деформации, будем считать, что уг- лы α1 и α2 почти равны друг другу, но разность их не равна нулю; аналогично силы F1 и F2 приближенно равны друг другу, но раз- ность их не равна нулю.

Углы α1 и α2 (см. рис. 1.23.3) можно выразить через дуги l1 , l2 , возникающие в сечении плоскостью рисунка поверхностей S1 и S2

142

соприкосновения шара и плоскости качения слева и справа от вер- тикальной оси А1А2:

Величины сил F1 и F2 также можно выразить через дуги l1 , l2 ,

Величина Р имеет смысл давления шара на поверхность плоско- сти качения, отвечающую единичной длине дуги.

Первое слагаемое и второе слагаемые в выражении (1.23.3) с учетом (1.23.4) и (1.23.5) перепишем в виде:

где l = l2 − l1 .

С учетом (1.23.6) и (1.23.7) выражение для силы трения качения примет вид

Оба слагаемых в выражении (1.23.8) имеют один порядок мало-

Формула (1.23.9) не является точным выражением, определяю- щим силу трения качения. Это оценочная формула. Используя мо- дель двух соприкасающихся тел – слабо деформируемой плоскости качения и катящегося по ней без проскальзывания недеформируе- мого шара, – мы лишь показали, что сила трения качения пропор- циональна величинам l , N и обратно пропорциональна величине R . Не учтены (да и не могли быть учтены) величина и характер деформации соприкасающихся тел, величина молекулярных сил

143

сцепления шара и плоскости, зависимость этих сил от вида матери- алов, из которых сделаны шар и плоскость, и многое другое. По- этому выражение (1.23.9) лучше переписать в виде

которую называют коэффициентом трения качения.

Таким образом, γ – размерная величина, имеющая размерность длины. Значения коэффициентов γ для различных пар соприкаса- ющихся тел (разной формы, и выполненных из разных материалов) подлежат экспериментальному определению.

С учетом введенного коэффициента трения качения γ выраже- ние (1.23.10) принимает вид:

т.к

R

В настоящей работе коэффициент трения качения эксперимен- тально определяется с помощью наклонного маятника. Его прин- ципиальная схема изображена на рис. 1.23.4 в двух проекциях.

Конструктивно наклонный маятник – это шар, подвешенный на длинной нити и лежащий на поверхности наклонной плоскости. Шар может совершать колебания, катаясь по наклонной плоскости. Обозначим длину нити l , а угол наклона плоскости качения β . В положении равновесия наклонного маятника его нить параллельна оси C1C2 .

Выведем шар из положения равновесия на малый угол Ф0 (Ф0 << 1) и предоставим его самому себе (см. рис. 1.23.4). Пройдя в обратном направлении положение равновесия с ненулевой скоро- стью, шар отклонится на угол Ф1/2. Подстрочный индекс 1/2 озна- чает лишь то, что маятник совершил при этом половину своего первого колебания (1/2 периода колебания). Шар теряет часть запа- са своей потенциальной энергии из-за работы, совершаемой силой

144

трения качения. Поэтому углы Ф0 и Ф1/2 удовлетворяют неравен- ству Φ0 > Φ1/ 2 .

Рис. 1.23.4

Работа силы трения качения на пути S вычисляется по формуле

Величина силы нормального давления наклонной плоскости на шар N , как видно из рис. 1.23.4, определяется выражением

С учетом выражений (1.23.12), (1.23.14) и (1.23.15) выражение для работы Aт.к перепишем в виде

145