Материал: Плясов Лабораторныы практикум Мекханика твердого тела 2015

стержня 2 относительно нее. Таким образом, баллистический маят- ник может совершать колебания вокруг своей оси. На обоих концах стержня 2 баллистического маятника сделаны ловушки 4 для пули, которая выстреливается из некоторого устройства 5, именуемого в дальнейшем пистолетом. В установке, в целях ее симметризации, предусмотрены две одинаковые симметрично расположенные от- носительно оси 1 ловушки. Ловушки снабжены пластилином для прилипания пули к баллистическому маятнику. Кроме того, «сво- бодная» (от попадания пули) ловушка снабжена чертой – указате- лем на ее боковой поверхности. С помощью этой черты отсчитыва- ется максимальный угол поворота αм баллистического маятника вокруг оси 1. Шкала углов поворота баллистического маятника нанесена на прозрачном защитном кожухе установки.

Исходное состояние установки: пистолет заряжен, баллистиче- ский маятник находится в положении равновесия. Пуля массой m выстреливается из пистолета со скоростью v в непосредственной близости от ловушки в направлении, перпендикулярном стержню. Момент импульса системы «пуля + баллистический маятник» в момент, предшествующий столкновению пули и ловушки, опреде- ляется только моментом импульса пули относительно оси 1

где l – расстояние от оси 1 до геометрического центра ловушки, куда попадает пуля. Взаимодействие пули с ловушкой баллистиче- ского маятника, в случае, когда пуля застревает в ловушке, – абсо- лютно неупругое. При таком взаимодействии закон сохранения полной механической энергии не выполняется, но выполняется за- кон сохранения момента импульса системы «пуля + баллистиче- ский маятник» относительно оси l.

Момент импульса системы после столкновения равен:

где Ic – суммарный момент инерции пули и баллистического маят- ника относительно оси 1; ωн – циклическая частота вращения бал- листического маятника с попавшей в него пулей в начальный мо- мент колебаний (t = 0).

По закону сохранения момента импульса Мдо = Мпосле . Прирав-

няв выражения (1.24.1) и (1.24.2), получим выражение для скорости пули, которую необходимо будет определить экспериментально:

156

В начальный момент кинетическая энергия вращательного дви- жения системы «пуля + баллистический маятник» с жестко закреп- ленной осью определяется формулой

I ω2

Е = c н . (1.24.4)

Потенциальная энергия закрученной проволоки в этот момент равна нулю.

Через четверть периода колебаний баллистического маятника вся кинетическая энергия (1.24.4) перейдет в потенциальную энергию закрученной проволоки – оси:

где αм – максимальный угол отклонения баллистического маятни-

ка от положения равновесия; D – жесткость проволоки.

Из теории колебаний физических маятников известно, что соб- ственная частота их колебаний Ω (частота, с которой колеблется маятник, предоставленный самому себе, в отсутствие сопротивле- ния или трения) определяется лишь его физическими параметрами: моментом инерции Ic и жесткостью пружины D:

Формула (1.24.6) справедлива лишь в случае малых колебаний, ко- гда αм << 1. В данной лабораторной работе это выполняется лишь приближенно.

Приравняв выражения (1.24.4) и (1.24.5) согласно закону сохра- нения полной механической энергии, с учетом (1.24.6) имеем

Подставив в (1.24.3) для определения скорости пули v выражение для ωн из формулы (1.24.7), получим:

Собственная частота колебаний физического маятника связана с периодом Т его колебаний соотношением

157

С учетом этого соотношения формула (1.24.8) примет вид:

Если грузы 3 расположены симметрично на обеих сторонах

где под величиной I 0 будем понимать суммарный момент инерции

оси l, стержня 2, ловушек с пластилином и пули массой m, за- стрявшей в ловушке, относительно оси вращения l баллистическо-

где Mг – масса цилиндрического груза 3, h – длина его образующей (высота), L – расстояние от оси 1 до центра масс этих грузов.

С учетом (1.24.11) и (1.24.12) формула (1.24.10) примет вид

2π(I + 2I ) α

v = 0 г м .

mlT

Пользуясь этой формулой, можно определить скорость пули, получив из эксперимента или вычислив значения всех входящих в нее величин. Однако вычислить значение величины I0 достаточно сложно, так как I0 – момент инерции сложной конструкции, состо- ящей из тел различной геометрической формы, которые к тому же сделаны из различного материала. Кроме того, соответствующие вычисления величины I0 приведут к большой погрешности I0. В настоящей лабораторной работе предлагается способ обойти эти трудности и совсем не пользоваться величиной I0.

Если будем производить измерение скорости полета пули с по- мощью баллистического маятника при двух различных симметрич- ных положениях грузов 3, то получим, в принципе, два одинаковых результата

2π(I + 2I )α

v = 0 г1 м1 ,

mlT1

158

mlT2

Индексы 1, 2 у величин Iг, Т, αм указывают, при каком положении грузов 3 производилось соответствующее измерение скорости пу- ли. Исключив из уравнений (1.24.13) неизвестную величину I0 и решив эти уравнения относительно v, получим

Величина Iг1 − Iг2 в числителе формулы (1.24.14) с учетом (1.24.12) примет вид:

Iг1 − Iг2 = M г2 (L12 − L22 ).

Тогда окончательное выражение для определения скорости пули запишем в виде

В заключение приведем формулу для определения относительной погрешности измерения скорости εv :

Здесь Δα – абсолютная погрешность измерения величины αм. В этой формуле мы пренебрегаем тем, что погрешность у величин αм1 и αм2 могут быть разными. При измерениях и вычислениях, если погрешности окажутся разными, предлагаем взять большую из них. При записи этой формулы было учтено, что прямые измерения ве- личин m, Мг, l, L могут быть проведены с большой точностью – с малыми абсолютными ошибками измерения m, Мг, l, L соот- ветственно и, следовательно, с малыми относительными погрешно- стями. Измерение периода колебаний Т баллистического маятника производится с помощью электронного миллисекундомера, и, в принципе, абсолютная погрешность измерения периода Т также может быть достаточно мала. В противоположность этому, измере- ние углов поворота αм баллистического маятника ведется визуаль-

159

но по шкале углов и, к сожалению, точность этих измерений на данной экспериментальной установке не может быть улучшена. В результате относительная погрешность измерения угла в этой ра- боты существенно больше относительных погрешностей, связан- ных с измерением других величин. В связи с этим, основной вклад в относительную погрешность измерения скорости пули εv дает

только погрешность измерения угла. Поэтому при записи формулы (1.24.16) мы пренебрегли погрешностями всех других величин.

Формулы (1.24.15) и (1.24.16) являются основными расчетными формулами лабораторной работы. Значения углов αм1, αм2, Δα под- ставляются в формулы (1.24.15), (1.24.16) в радианах.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Установка, используемая в работе, представлена на рис. 1.24.2.

160