Материал: Плясов Лабораторныы практикум Мекханика твердого тела 2015

на конце которой находится материальная точка массы т. Доста- точно хорошей моделью математического маятника является не- большой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити (длина нити l много больше радиуса шарика R: l >> R).

На рис. 1.16.1, а изображен физический маятник, подвешенный на оси z, проходящей через точку O перпендикулярно плоскости рисунка. Маятник может совершать колебания в плоскости рисун- ка, причем все точки тела, лежащие на оси z, остаются неподвиж- ными. Центр масс физического маятника обозначен точкой С. По- ложение равновесия маятника соответствует моменту, когда центр масс и точка подвеса лежат на вертикальной прямой, т.е. момент силы тяжести относительно оси z равен нулю.

На рис. 1.16.1, б представлен математический маятник.

Рис. 1.16.1

Рассмотрим малые колебания физического маятника. Если от- клонить его на угол ϕ (см. рис. 1.16.1, а), то возникает ненулевой момент силы тяжести, стремящийся вернуть его в положение рав- новесия. Проекция момента силы тяжести на ось z имеет вид

где т – масса маятника; g – ускорение свободного падения; а – рас- стояние от точки подвеса O до центра масс маятника C, т.е. длина отрезка OC.

Так как в работе изучаются малые колебания физического маят- ника, т.е. угол отклонения мал (ϕ << 1) , то выражение для момента

6

Колебательное движение физического маятника около непо- движной оси z описывается уравнением вращательного движения твердого тела (уравнением моментов), которое в проекции на ось z имеет вид

где βz = ϕɺɺ – проекция углового ускорения маятника на ось z; Iz –

момент инерции маятника относительно оси z.

Подставляя выражение для момента силы тяжести (1.16.2) в уравнение движения (1.16.3) получим уравнение малых колебаний физического маятника:

ϕɺɺ+ mga ϕ = 0 .

I z

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

ϕ(t) = ϕ0 cos(ωt + α) ,

где ϕ0 – угловая амплитуда колебаний; ω = mga Iz – круговая

(циклическая) частота; α – начальная фаза.

Как следует из приведенного решения, малые колебания физи- ческого маятника являются гармоническими (функциональная за- висимость угла отклонения от времени – косинус).

Таким образом, период малых колебаний физического маятника не зависит от амплитуды колебаний и может быть определен по

В случае математического маятника: a = l , Iz = ml2 , где l – дли-

на нити маятника. Формула (1.16.4) при этом переходит в выра- жение

Сравнивая формулы (1.16.4) и (1.16.5), можно заключить, что физический маятник массы т колеблется с тем же периодом, что и математический маятник той же массы m и длины

7

С использованием определения приведенной длины формулу для периода малых колебаний физического маятника (1.16.4) можно переписать в виде

центра масс C .

Точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подве- са становится новым центром качания. Следовательно, при перено- се точки подвеса в центр качания период колебаний маятника оста- нется прежним. Это положение называется теоремой Гюйгенса.

Таким образом, если подобрать у физического маятника такие несимметричные относительно центра масс положения двух парал- лельных осей подвеса, чтобы период колебаний относительно них был одинаков, то расстояние между этими осями будет равно при- веденной длине.

Измеряя это расстояние и период колебаний, можно используя

В заключение приведем формулу для расчета погрешности ускорения свободного падения вычисленного по формуле (1.16.8):

где lпр и T – абсолютные погрешности измерения приведенной длины маятника и периода его колебаний, соответственно.

8

осветителем фотодатчика на фотоэлемент фотодатчика. Генериру- емые при этом в фотодатчике электрические импульсы управляют работой электронного секундомера.

В процессе выполнения задания лабораторной работы опорные призмы 2 и 3 и чечевица 4 закреплены на оборотном маятнике неподвижно. Чечевица 5 может перемещаться по винтовой нарезке; ее положение определяется отрезком l, отсчитываемым от конца

9

стального стержня 1 маятника (см. рис.1.16.3) по шкале маятника, нанесенной на том же стальном стержне 1.

Секундомер оборудован системой самодиагностики. Если на табло после включения высвечивается ошибка 1 (Err1), то система сигнализирует об отсутствии подключенного фотодатчика. В этом случае следует проверить подключение всех разъемов. Если на табло в ходе работы высвечивается ошибка 2 (Err2), то фотодатчик не видит отраженного от призмы луча. В этом случае следует проверить правильность установки маятника, и расположить его таким образом, чтобы плоская сторона призмы была ориен- тирована параллельно плоскости фотодатчика как можно ближе к нему.

К работе 1.16а

Конструкция оборотного маятника, используемого в данной ра- боте, представлена на рис. 1.16.5.

Оборотный маятник представля- ет собой стальной стержень 1, с за- крепленными на нем с помощью винтов опорными втулками 2 и 3. Маятник может быть подвешен за каждую из втулок, поэтому он называется оборотным маятником.

В начале работы опорные втулки закрепляются на расстоянии 7–10 см от концов стержня 1. Расположение опорной втулки 2 не меняется на протяжении всего эксперимента. Положение втулок и расстояние между ними определяется с помо- щью рулетки 4.

Оборотный маятник подвешива-

Рис. 1.16.5 ется за опорные втулки на двух го- ризонтальных полуосях, закреплен-

ных на кронштейнах 5, жестко соединенных с рабочим столом.

В работе изучаются малые колебания оборотного маятника. Пе- риод его колебаний определяется при помощи фотодатчика 6 с ин-

10