Материал: Плясов Лабораторныы практикум Мекханика твердого тела 2015

4. Сравните экспериментальный и расчётный графики моментов инерции стержня с грузами от расстояния до оси вращения. Обсу- дите согласие экспериментальных результатов с теоремой Гюйген- са–Штейнера.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ

В заключении по результатам первого задания привести рассчи- танные по экспериментальным данным и по теоретическим фор- мулам моменты инерции исследуемых тел. Сравнить их и сделать вывод.

По результатам второго задания привести графики зависимости момента инерции тела от расстояния между его центром масс и осью вращения для всех тел. Дайте заключение по поводу экспе- риментальной проверки теоремы Гюйгенса – Штейнера.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Сформулируйте основное уравнение динамики вращательно- го движения тел с закрепленной осью.

2.Дайте определение моменту инерции тела относительно про- извольной оси.

3.От каких величин зависит момент (проекция момента) силы, действующей на тело, относительно произвольной точки (произ- вольной оси)?

4.Сформулируйте теорему Гюйгенса–Штейнера.

5.В чем состоит роль эталонного тела в данной лабораторной работе?

6.Зависит ли в работе 1.18 период колебаний диска с телом от положения тела относительно оси вращения диска?

7.Каким образом в работе 1.18 обеспечиваются незатухающие колебания диска в данной работе?

8.Опишите метод измерения моментов инерции тел, применяе- мый в работе.

9.Как в работах 1.18а и 1.18б измеряется угловой коэффициент упругости спиральной пружины?

71

10.Почему в работе рекомендуется использовать небольшой угол отклонения от положения равновесия?

11.Каким образом влияет затухание крутильных колебаний на измеряемый период колебаний тел?

12.Как влияет масса грузов на характер зависимости Iz (d 2 )?

13.Как в работе 1.18б выбрать соответствующий параметр сня- тия показаний фотодатчика t , и как рассчитать при этом прибор- ную погрешность?

14.Как в работах 1.18а и 1.18б измерить расстояние от центра масс груза, закрепленного на стержне, до оси симметрии системы?

15.Укажите возможные источники систематических погрешно- стей в работе.

Приложение 1.18.1

ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ СТЬЮДЕНТА

72

Лабораторная работа 1.19

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСОИДА ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель: изучение динамики вращательного движения тел.

Оборудование: установка для измерения момента инерции тел методом крутильных колебаний, набор тел разной формы, штан- генциркуль.

ВВЕДЕНИЕ

Вычислим момент инерции I твер- дого тела относительно произвольной оси L (рис. 1.19.1). Принимаем для про- стоты, что начало координат О принад- лежит оси L. Координаты будем обо- значать либо Х, Y, Z, либо Х1, Х2, Х3. При этом считаем, что X ≡ X1 , Y ≡ X 2 ,

Z ≡ X 3 .

73

Для раскрытия правой части выражения (1.19.1) заметим, что согласно определению вектора S:

= ∫dm x2 (Sy2 + Sz2 )+ ∫dm y2 (Sz2 + Sx2 )+ ∫dm z2 (Sx2 + S y2 )− −2∫dm x y Sx Sy − 2∫dm y z S y Sz − 2∫dm z x Sz Sx ,

откуда и следует выражение (1.19.2). Совокупность девяти величин

называется тензором инерции тела, а сами величины – компонен- тами этого тензора. Если известны для какой-нибудь координат- ной системы все шесть компонент тензора инерции (тензор инер- ции симметричен: Iij = I ji , т.е. независимых компонент всего

шесть), то по формулам (1.19.2) или (1.19.3) можно вычислить мо- мент инерции тела относительно любой оси, проходящей через начало координат О этой системы. Момент инерции относительно любой другой оси, не проходящей через начало координат, можно вычислить с помощью теоремы Гюйгенса–Штейнера.

Формула (1.19.3) допускает наглядную геометрическую интер- претацию. Проведем из начала координат О во всевозможных направлениях прямые. Отложим на этих прямых отрезки длиной

74

r = I −1/ 2

так, чтобы один конец у них был общий и совпадал с началом ко- ординат О. Найдем геометрическое место точек противоположных концов этих отрезков. Согласно построению

i, j =1

Для тела конечных размеров его момент инерции I относитель- но произвольной оси L, а с ним и радиус-вектор r имеют конечное значение. Следовательно, искомое геометрическое место точек противоположных концов построенных отрезков является поверх- ностью второго порядка – эллипсоидом. А выражение (1.19.7) – уравнение этой поверхности.

В механике эту поверхность называют эллипсоидом инерции те-

ла относительно точки О. Точка О является центром эллипсоида инерции тела. При перемещении начала координат О относительно тела эллипсоид инерции тела будет меняться. Если начало коорди- нат О и центр масс тела совпадают, то соответствующий эллипсоид инерции тела называется центральным.

Можно показать, что для всякого твердого тела, независимо от выбора начала координат О, существует три взаимно перпендику- лярные оси, совпадающие с главными осями эллипсоида инерции тела относительно точки О, для которых (если они выбраны в каче- стве координатных осей) недиагональные элементы тензора инер- ции (1.19.4б) обращаются в нуль (вообще говоря, это верно для любого симметричного тензора). Эти оси называются главными осями тензора инерции.

Главные оси центрального эллипсоида инерции называются главными осями самого тела. Эллипсоид инерции и главные оси тензора инерции жестко связаны с самим телом. Если в какой-то момент времени известно положение эллипсоида инерции, в тот же момент времени известно положение самого тела. Поэтому задача о динамике вращательного движения твердого тела вокруг непо- движной точки эквивалентна задаче о динамике вращения его эл- липсоида инерции вокруг той же точки.

75