Документ: Плясов Лабораторныы практикум Мекханика твердого тела 2015, страницы 46-50

9.Оцените, каким образом наличие трения в подшипнике мо- жет повлиять на экспериментально определяемую величину мо- мента инерции.

10.Изобразите качественно график зависимости момента сил трения в оси подшипникового узла от момента внешних сил.

11.Как экспериментально можно было бы определить макси- мальный момент сил трения в оси.

12.Укажите возможные источники систематических погрешно- стей в данной работе.

46

Лабораторная работа 1.18 (1.18а, 1.18б)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель: изучение динамики вращательного движения тел; зна- комство с методом крутильных колебаний, предназначенным для определения моментов инерции тел.

Оборудование: установка для измерения момента инерции ме- тодом крутильных колебаний, набор тел разной формы, штанген- циркуль.

ВВЕДЕНИЕ

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси его инер- ционные свойства определяются не массой тела, а его моментом инерции относительно оси вращения. Именно эта величина входит в формулы для момента импульса и кинетической энергии враща- ющегося твёрдого тела, а также в другие важные соотношения. По- нятие момента инерции является ключевым для большинства задач динамики твердого тела.

Момент инерции тела относительно некоторой оси зависит от массы тела и распределения этой массы относительно оси. В про- стейшем случае материальной точки массы т момент инерции Iz относительно произвольной оси z равен произведению массы мате- риальной точки на квадрат расстояния r от материальной точки до этой оси:

I

z

= mr2 .

(1.18.1)

Момент инерции тела – величина аддитивная, т.е. момент инер- ции протяженного тела равен алгебраической сумме моментов инерции его частей. Следовательно, если разбить тело на достаточ- но малые части массой mi , которые можно считать материальными точками, то момент инерции тела относительно произвольной оси z будет равен сумме произведений массы вы-

47

бранной материальной точки mi	на квадрат рассояния ri	от этой
материальной точки до оси z:
I z = ∑ mi ri2 .		(1.18.2)
i
Совершив предельный переход	mi → 0 , получим
Iz = ∫ ρ(R)r 2 dV ,		(1.18.3)
(V )

где ρ(R) – плотность тела, которая может изменяться в пределах

тела; V – объем тела.

В табл. 1.18.1 приведены моменты инерции нескольких одно- родных ( ρ(R) = const) тел правильной формы, использующихся в работе. Во всех случаях предполагается, что ось z проходит через центр масс тела С и тело имеет массу М. В последнем столбце таб- лицы приведены также формулы для расчета погрешностей вели- чин моментов инерции соответствующих тел. Под величинами

L, R, M , a понимаются приборные погрешности прямых

измерений соответствующих размеров и масс тел L, R, M, a(b, c). Непосредственно из определения момента инерции следует, что

одно и то же тело обладает различными моментами инерции отно- сительно разных осей. Для вычисления моментов инерции тел от- носительно осей, не проходящих через центр масс тела, иногда удобно использовать теорему Гюйгенса–Штейнера. Согласно этой теореме момент инерции Iz′ относительно произвольной оси z′

равен сумме момента инерции Iz(C ) относительно оси z, параллель-

ной данной оси z′ и проходящей через центр масс тела С, и произ- ведения массы тела т на квадрат расстояния а между осями z и z′ :

Iz′ = Iz(C ) + ma2 ,

(1.18.4)

где a − расстояние между осями z и zC, а m − масса тела.

В третьем столбце табл. 1.18.1 приведены формулы для расчёта относительной погрешности измерений моментов инерции по из- вестным относительным погрешностям прямых измерений массы тел и их размеров. Моменты инерции тел относительно других осей, па- раллельных данным, могут быть рассчитаны с помощью теоремы Гюйгенса–Штейнера (1.18.4).

48

Таблица 1.18.1

Тело,	Момент		Относительная
расположение оси	инерции		ошибка
Однородный сплошной
цилиндр или диск
	Iz =	mR2	m 2	2	R	2
				+
		2		+	R
		2	m		R

Однородный полый ци-

m 2

2

линдр

2

R

+

1

+

R1

m

Iz

=

m (R12 + R22 )

2 1 2

2

R

2

+

2

R

2

Однородный шар

Iz

=

2mR2

m 2

+

2

R 2

5

m

R

Тонкий однородный стер-

жень произвольного сече-

ния

2

I =

mL

m 2

2

L 2

+

z

12

m

L

Прямоугольный паралле-

лепипед a×b×d

m (a

)

m 2

(2 a )2

2

+ b

2

+

Iz

=

2

+ b

2 ,

m

a

12

a =

b

49

Одно из исследуемых тел в данной работе представляет собой тонкий однородный стержень, к которому прикрепляются два оди- наковых небольших груза, расположенных симметрично относи- тельно середины стержня. Момент инерции Iz исследуемого тела можно найти, используя свойство аддитивности момента инерции и формулу для момента инерции стержня, приведённую в послед- ней строке таблицы 1.18.1:

I		=	ML2	+ 2md 2 ,	(1.18.5)
	z
		12

где M и L – масса и длина стержня, соответственно;					m – масса од-

ного из грузов, d – расстояние от оси вращения до середины одного из грузов.

Относительная погрешность момента инерции выражается через относительные погрешности масс и размеров стержня и грузов в виде

I z	=	M

Iz
Iz		M

2

+ 2	m	2	+	2	l	2	+	2	d	2 .	(1.18.6)
+ 2		2	+			2	+			2 .	(1.18.6)
	m			l				d

Динамика вращательного движения твёрдого тела определяется моментами сил, действующих на тело. Вектор N момента силы от- носительно точки O определяется как векторное произведение ради- ус-вектора R, проведённого из точки O в точку приложения силы, на вектор силы F:

N = [R, F] .

(1.18.7)

Моментом силы относительно оси Oz, проходящей через точку O, называется проекция момента (1.18.7) на данную ось. Модуль мо- мента силы относительно оси можно записать в виде:

Nz

= rF ,

(1.18.8)

где r – плечо, т.е. расстояние от оси до линии, вдоль которой дей- ствует сила.

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси Oz имеет вид:

Izβz = Nz ,	(1.18.9)
где βz – угловое ускорение твёрдого тела, а	Nz – сумма моментов

всех сил, действующих на твёрдое тело, относительно оси Oz. Угло- вое ускорение тела есть вторая производная по времени от угла пово-

50

Материал: Плясов Лабораторныы практикум Мекханика твердого тела 2015

Смотрите также: