Материал: Переходные процессы и спектры. Матвеев Б.В
|
200 |
|
|
H(k) |
0 |
|
|
|
200 |
5 |
10 |
|
0 |
||
|
|
k |
|
Рис. 6.9. График спектра фаз
Восстановить сигнал по его спектру (рис.6.10) можно, если сложить, вычисленные ранее, гармоники с учетом их фаз и амплитуд, т.е.
3 |
|
F t M n cos 6,28 f n t D n . |
(6.12) |
n 1
n
2
F(t)
0 
u(t) 
2
0 0.002 0.004 0.006
t
Рис. 6.10. График восстановленного сигнала по значениям трех его гармоник
155
Пример 6.2. Используя представление сигнала в форме (6.5), проследить изменения в его спектре при различных параметрах импульса.
Зададимся следующими значениями в (6.5):
С : 100 |
N : 4 T : 0.008 |
t 0, 0.00001..0.008 |
f : |
1 |
|
|||||||||||||
T |
||||||||||||||||||
p : 6,28 f C |
|
|
|
|
|
u1t |
p t |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|||||
u2 t : p t |
|
|
|
n: 0,1 20 |
u3 t : p |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
N |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
u1t if |
t |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
C N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
u2 t if t C 1 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
N C |
|
|
|
|
|
(6.13) |
|||||||||||
|
u t : |
|
T |
|
|
|
T |
|
|
|
||||||||
|
u3 t if |
|
t C 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
N C |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
N C |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 if t T . N
График сигнала для этого случая показан на рис. 6.11.
2
ut( ) 1
0
0 |
0.005 |
0.01 |
t
Рис. 6.11. График прямоугольного импульса со скважностью N 4
156
Вычисление спектра амплитуд (рис. 6.12) осуществляется по формулам:
|
2 |
|
T |
|
|
|
|
a n : |
|
u t cos 6,28 f n t dt |
|
|
|
||
T |
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|||
|
2 |
|
T |
|
|
|
|
b n : |
u t sin 6,28 f n t dt |
M n : |
a2 n b2 n |
|
|||
T |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|||
0.777
M (n)
8.195 10 3
1 |
|
|
0.5 |
|
|
0 |
10 |
20 |
0 |
||
0 |
n |
20 |
trace 1
Рис. 6.12. График спектра амплитуд прямоугольного импульса при N 4
Если в (6.13) принять N 2, то график спектра амплитуд для сигнала (рис. 6.13) примет иной вид (рис. 6.14).
4
u(t) 2
0
0 |
0.005 |
0.01 |
t
Рис. 6.13. График сигнала при N 2
157
3.109 |
4 |
|
|
|
|
|
|
M ( n ) |
2 |
|
|
0.032 |
0 |
10 |
20 |
|
0 |
||
|
0 |
n |
20 |
trace 1
Рис. 6.14. График спектра амплитуд прямоугольного импульса при N 2
Если в (6.13) принять С : 4 при N : 2, то график сигнала приобретет форму, показанную на рис.(6.15), где склоны импульса станут пологими.
4
u(t) |
2 |
0
0 |
0.005 |
0.01 |
t
Рис. 6.15. График импульса в виде трапеции
График спектра амплитуд (рис. 6.16) у импульса с пологими склонами (рис. 6.15) существенно отличается от случая спектра импульса с крутыми склонами (рис. 6.14).
158
3 |
|
|
2 |
|
|
M(n) |
|
|
1 |
|
|
0 |
10 |
20 |
0 |
||
|
n |
|
Рис. 6.16. График спектра импульса с пологими склонами
Отличия в графиках по рис. 6.14 и рис. 6.16, прежде всего в том, что амплитуды высокочастотных гармоник в спектре импульса с пологими склонами значительно ниже, чем у импульса с крутыми склонами, т.е. спектр содержит меньшее число высокочастотных составляющих. Число гармоник под первым лепестком при N 4 (рис. 6.12) равно трем, в то время как при N 2 имеется лишь одна гармоника (рис. 6.14).
6.2.1. Определение спектра сигнала через быстрое преобразование Фурье
Вычисление спектра сигнала связано с вычислением интегралов (5.8 – 5.10), подынтегральные функции в которых быстро осциллируют, что существенно затрудняет вычисление таких интегралов с заданной точностью и ведет к значительным затратам времени. В связи с этим были разработаны специальные методы быстрого (или дискретного) преобразования Фурье (БПФ или ДПФ) [10], а в дальнейшем, применительно к ним, созданы специальные программные средства в системе Mathcad [4], использование которых в сотни раз ускоряет процедуру определения спектра сигнала и особенно это заметно при воссоздании приближения функции рядом Фурье, то есть
159