Материал: Основы создания полимерных композитов

Для уточнения теоретических обобщений произведен расчет на­ пряженно-деформированного состояния данной модели с учетом квазидинамического сдвига, возникающего при контакте стеклопла­ стика с жестким телом в процессе граничного трения. Допускаем, что имеет место одномерное напряженное состояние. Внешние усилия приложены к торцам элементов 1 и 2 (см. рис. 8). Далее полагаем, что в армирующих элементах возникают лишь нормальные напряжения oi и 0 2, а в связующем - касательное п. Считаем, что все величины,

характеризующие напряженно-деформированное состояние, явля­

где п - касательное напряжение в полимерном слое; р - плотность стекловолокна; U2 - смещение точек поперечного сечения внешних слоев вдоль оси X; ттр- касательное напряжение вследствие силы тре­ ния.

Упругая деформация в армирующем слое:

где hK- высота армирующего слоя, Ек - модуль упругости стеклово­ локна.

Для связующего имеем:

Зв

(7.7)

~dt~ G3St ’

где (п - модуль сдвига связующего.

Условия равновесия части модели, отсекаемой вертикальным се­

где Р - равнодействующая внешних усилий, приложенных к торцам элементов 1 и 2; b - толщина модели.

481

У

Рис. 9. Смещениеточек поперечного сечения внешних слоев вдольоси X

при действии внешнихусилий Р

Примем для продольных смещений точек среднего слоя линей­ ный закон распределения по высоте (рис. 9):

u,=i/2(ul+u2) + ^ ^ - r , V = о

Тогда деформация сдвига третьего слоя имеет вид:

_ с У г д»ъ _ Ц\ - U 2

Продифференцировав это выражение по X с учетом равенства (7.6), получаем уравнение условия совместной деформации всех трех слоев модели

Поскольку соотношение (7.8), где Р - P(t) - равнодействующая внешних усилий на каком-либо конце системы, позволяет использо­ вать лишь одно из уравнений (7.5), например:

то, подставляя соотношение (7.8) в уравнение (7.9), получим связь Ъ с суммарной деформацией сдвига полимерного слоя:

Gj д£3

482

где а 2 и р - параметры, выраженные через упругие константы сис­ темы:

Уравнения (7.7), (7.10) и (7.11) образуют систему трех уравнений в частных производных относительно трех искомых функций Т2, т3 и е. В этом случае армирующие элементы считаем жесткими, а связую­ щее рассматриваем как тонкую полимерную пленку (смещение V = 0); тогда внешняя нагрузка Ру не влияет на напряженно-деформирован­ ное состояние модели. Решим систему уравнений (7.7), (7.10) и (7.11) относительно Т = Тг. Выполнив ряд очевидных преобразований, по­ лучим:

где TJ- некоторый числовой коэффициент, Fmp{t) - сила трения. Введем новую неизвестную функцию, полагаем:

T(x,t) = v(x,t) +rn(x,t) ,

так что функция V(JC,/) представляет собой отклонение функции T\x,t)

от некоторой известной функции, удовлетворяющей краевым услови­ ям:

483

m (x,t) = F2{t)x/l,

/л* (0 , 0 = О,

m \ l , t ) = F2(t).

Таким образом, задача для функции T{x,t) сведена к краевой за­ даче для функции V(JC,/) при нулевых граничных условиях.

Решение уравнения (7.12) для функции v(x,t) представим в виде:

Функцию U(x,t) выбираем так, чтобы она удовлетворяла одно­ родному уравнению

Граничные условия: U\x=0 =U\X=I = 0.

Отыскиваем частное решение уравнения (7.14), удовлетворяющее краевым условиям U\x=0 =U\x=l =0 вида (метод Фурье):

U(x,t) = X ( x ) T (t) .

После дифференцирования и подстановки в уравнение (7.14):

X T \f ) = а 2Х ”{х) T{t)~ 2тХ(х) ■T(t)

разделим обе части на а 2X T :

x ' ( x ) - q x ( x ) = o ,

Г (1)+7’(0(2тС ,а2) = 0 .

484

При любом значении t:

1/|Л=0ДГ(0)Г<О = 0,

С/|„, = Jf(/)T(O = 0 .

Необходимо найти решение линейного дифференциального уравнения Х \ х ) - С 1Х(х) = 0 . При условиях А^О) = Х(1) = 0, полагаем,

что АХ*) = Гх, тогда характеристическое уравнение примет вид:

т2- С \ - 0.

Пусть С = -А2 < 0, г - ± /А , корни характеристического уравне­

ния мнимые, и решение будет содержать тригонометрические функ­ ции: Х(х) = СI cos Ах + Сг sin Ах. Так как при х, равном нулю, Ar(0) = Ci = 0, а при х = / Х(1) = Сг sin А/ = 0, С2 * 0; sin А/ = 0. Следо­

Решение, отвечающее некоторому фиксированному значению &, обо­ значим Хк(х):

Xk(x) = Ak sm — ,

где Ак- некоторая постоянная. Найдем теперь T(t):

Г; (t) + T(t)(lm - С а 2) = (К

Введем следующие обозначения:

Т ’к ( 0 + ^ Г ( 0 = 0 .

485