. (9)
Зенитный угол z Солнца зависит от угловых координат т. М и Солнца S. В сферическом треугольнике NZS известен угол N = щ и две прилегающие стороны NZ = /2 - и NS =/2- -. Сторона ZS является дугой, которая измеряется центральным углом z (см. рис. 2), т.е. z = ZS. Этот угол и дуга определяется по теореме косинусов (стр. 30 [14])
cos z = cos(ZS) = cos(/2-)·cos(/2-) + sin(/2-)·sin(/2-)·cos . (10)
После подстановки (8) и (10) в (9) получаем закон облучения т. M в зависимости от ее широты и углов и положения Солнца
. (11)
В дальнейшем принимаем, что точки M земной поверхности на всех широтах имеют одинаковое относительное расстояние с до Солнца. В действительности это расстояние меняется в пределах величины радиуса Земли RE. При этом закладывается относительная погрешность в расчет инсоляции порядка RE/a = 4.310-5. Отметим это как упрощение 2. Третье упрощение связано с формой Земли. Зенитный угол Солнца z определяется по отношению к линии зенита ZM (см. рис. 2), которая проведена перпендикулярно поверхности Земли и проходит ее через центр. Для эллипсоидальной поверхности Земли это верно для точек M на полюсах и на экваторе. А на промежуточных широтах зенитный угол для эллипсоида будет немного отличаться от выражения (10). Четвертое упрощение связано с тем, что солнечная постоянная J0 принимается неизменной. Как уже отмечалось, имеются небольшие ее колебания во времени. Возможно, в дальнейшем, будет выявлен закон их изменения, который можно будет заложить в расчет инсоляции. На данном этапе изменение инсоляции, вызванное этими четырьмя обстоятельствами, не учитываются.
5. Суточная инсоляция
Зенитный угол Солнца z согласно (10), а, следовательно, и поток облучения (11) в зависимости от широты точки M и углов и щ положения Солнца может принимать значения больше нуля, равные нулю и отрицательные. Положительные значения инсоляции dW/dt соответствуют дневному времени, нулевые - времени восхода и захода Солнца, а отрицательные - ночному времени.
Как отмечалось ранее, отсчет зенитного угла Солнца z на рис. 2 начинается с полудня. Поэтому наибольшее его отрицательное значение (-90) будет соответствовать восходу, а наибольшее положительное значение (+90) - закату. Из условия cos z = 0 в формуле (10) или условия dW/dt = 0 в выражении (11) получаем зависимость часовых углов восхода и заката от широты точки M и склонения Солнца
щ0 = arcos(-tg tg ). (12)
Итак, дуги SrMd и MdSd на рис. 2 равны 0, а дневное время определяется часовыми углами Солнца -0 0. Поэтому удельное количество тепла, поступающее за световой день, т.е. за сутки на поверхность Земли в т. M, можно определить интегрированием (11) за дневное время. После перехода от времени t к часовому углу щ суточную инсоляцию получаем в виде:
. (13)
Здесь W - количество солнечной радиации, поступающей за сутки на 1 м2 земной поверхности в т. M.
Так как отсчет времени осуществляется по среднему движению Солнца, то времени суток в минутах = 2460 = 1440 мин. соответствует полный оборот = 2 Солнца вокруг Земли, т.е. в среднем dt/dщ = /2. После подстановки dt/dщ и потока солнечной радиации согласно (11) в (13) получаем удельную суточную инсоляцию в следующем виде
. (14)
При записи формулы (14) мы пренебрегли изменением расстояния с точки M до Солнца за время одного оборота Земли вокруг своей оси. За это время также изменяется склонение Солнца (см. рис. 2) за счет его движения по эклиптике ЕЕ. Пренебрежем также этим изменением. Отметим это как пятое упрощение. Его влияние значительно уменьшается, если значения с и относить к середине дня. При этих условиях в подынтегральном выражении (14) только cos щ зависит от часового угла щ. В результате интегрирования (14) получаем удельную суточную инсоляцию в виде:
, (15)
где часовой угол границы дня щ0 определяется выражением (12).
Склонение Солнца можно выразить из прямоугольного сферического треугольника SB (см. рис. 2), в котором угол B прямой, = , а сторона S определяет долготу Солнца , т.е. = S. По теореме синусов: sin /sin = sin / sin /2 находим угол склонения Солнца
= arcsin (sin sin ). (16)
В выражение (15) для суточной инсоляции входит относительное расстояние с центра Земли до Солнца. Согласно (2) расстояние r = сa до Солнца определяется углом o, который отсчитывается от перигея.
Угол перигелия Земли p отсчитывается от восходящего узла ее орбиты . Так как перигей Солнца PS (см. рис. 1б) расположен диаметрально противоположно перигелию Земли PE, то угол перигея Солнца будет
= p + . (17)
Так как углы и (см. рис. 1б) отсчитываются от одной и той же точки, восходящего узла , то угловое расстояние Солнца от его перигея будет определяться углом
o = - = - p - . (18)
При вычислении полярного угла o необходимо учитывать ряд моментов, связанных с цикличностью изменения углов от 0 до 2. Угол перигелия p от подвижного узла в наших решениях орбитальной и вращательной задач представлен в виде нарастающего по величине ряда чисел. Поэтому угол перигея Солнца необходимо превратить в ряд чисел с циклическим изменением углов от 0 до 2. После выражения долготы в (18) через угол o последний также необходимо привести к диапазону углов от 0 до 2. Эти операции необходимо выполнять при исследовании эволюции инсоляции за большие интервалы времени.
Итак, в расстояние r входит согласно (2) и (18) долгота . Поэтому суточная инсоляция W по выражению (15) зависит от долготы Солнца и широты т. М на поверхности Земли. Долгота является короткопериодическим параметром, цикл изменения которого 1 год. А из долгопериодических параметров, которые входят в суточную инсоляцию W согласно (15), являются эксцентриситет e или параметр траектории б1, угол наклона и угол перигелия p.
6. Изменение долготы Солнца по дням года
Солнце неравномерно движется по орбите, например, в перигее быстрее, а в апогее - медленнее. Поэтому для расчета инсоляции по дням года необходимо определить долготы Солнца, соответствующие этим дням, т.е. необходимо определить зависимость долготы от времени. Время движения tfp от перигея до точки на орбите с углом o определяется выражением (4). Согласно (18) в угол o входит долгота Солнца . Тогда используя зависимость (4) для времени движения tfp по орбите, можно определить ряд долгот, соответствующим дням года. Эта задача решается методом последовательных приближений. Вначале задается равномерный ряд долгот
0i = 0i-1 + 0, i = 1, 2 … 365, (19)
где 00 = 0; 0 = 2 /365.
По формуле (18) определяется соответствующий ряд углов o,i положения Солнца от перигея. Затем по формуле (4) определяется ряд моментов времени tfp,1,i, которые соответствуют долготам (19).
Полученные дискретные величины tfp,1,i/ed, где ed = 243600 - количество секунд в сутках, отличаются от целых чисел дней в году Tdi = 1, 2, … 365. Поэтому рассчитывается уточненный ряд долгот
, (20)
где 10 = 0.
По новым значениям 1i рассчитываются углы o,1,i согласно (18), а затем по формуле (4) - уточненные моменты времени tfp,2,i. Промежутки времени tfp,2,i+1 - tfp,2,i между соседними долготами должны быть равны продолжительности суток ed. Поэтому рассчитывается относительная величина погрешности времени между соседними долготами 1i в виде
, (21)
а также средняя величина погрешности
. (22)
Величина tfp,1,m представляет среднюю относительную погрешность по времени, которую дает уточненный ряд долгот.
Аналогичным образом, начиная с вычисления уточненного ряда долгот по формуле (20), могут быть повторены эти операции для получения новых уточнений 2i, 3i, 4i и т. д. Вычисления показывают, что после первого уточнения величина погрешности tfp,1,m = 7.0910-4, после второго tfp,2,m = 3.4310-5 и после третьего tfp,3,m = 7.1510-7. Величина относительной погрешности порядка 10-5 ч 10-7 вполне достаточна для дальнейших вычислений инсоляции. При необходимости ее уменьшения можно выполнить еще несколько уточнений по вышеизложенному алгоритму.
Далее рассчитывается погрешность определения долготы 365 в последний, 365-й день года. Так как полный оборот Солнца вокруг Земли на угол 2• происходит за сидерический год Psd, то избыток дня сверх 365 дней dsd = Psd - 365. По рассчитанной долготе 365-го дня 365 избыток дня будет
, (23)
где 1d - 1 день, а dsdc вычисляется в днях.
Разница между рассчитанным избытком дня и фактическим dsd представляет накопленную погрешность долготы 365 в днях, т.е. 365 = dsdc - dsd. А относительная погрешность долготы будет 365 = 365/dsd. Получены следующие значения этих величин после каждого из трех уточнений: 365 = -0.2 дня; -161 сек; -11сек; 365 = -0.8; -0.0073; -4.9710-4. Как видно из этих данных, каждое уточнение уменьшает накопленную погрешность более чем на порядок.
7. Изменение суточной инсоляции по дням года
Перепишем выражение (15) для суточной инсоляции, выразив в нем склонение через долготу с помощью выражения (16). Далее под подразумеваем уточненную согласно алгоритму (20) - (22) долготу Солнца. Тогда согласно (15) суточная инсоляция будет
, (24)
где часовой угол восходов и закатов согласно (12) запишется так:
0 = arcos{-tg[arcsin(sin sin )]tg }. (25)
Относительное расстояние до Солнца в выражении (24) с = r/a, где r определяется выражением (2). Так как согласно задаче двух тел [7] - [8] Rp/a = (2б1 + 1)/б1, то с учетом выражения (18) для полярного угла o относительное расстояние запишется в виде
, (26)
где, как уже упоминалось ранее, параметр траектории б1 однозначно связан с эксцентриситетом: б1 = -1/(1 + e).
Итак, выражениями (24) - (26) полностью определяется удельная суточная инсоляция Земли на любой ее широте и в любой день года, соответствующих долготе . В ряде уточненных по дням долгот i, где i = 1…365, долготы начинают отсчет с момента весеннего равноденствия, т.е. с 22 марта и заканчивают 21 марта следующего года. Отметим, что здесь имеется некоторое отличие рассчитанных долгот от тех, которые соответствуют календарным дням. Это обусловлено тем, что момент равноденствия не совпадает с началом дня, календарный год не совпадает с тропическим годом Ptr и в високосный год скачком изменяется на один день. Поэтому далее будет рассмотрен расчет точных дат.
Рис. 3. Изменение суточной инсоляции W в МДж/м2 по дням года на разных широтах от + 90 до - 90. Время Td в днях отсчитывается от момента весеннего равноденствия 22 марта (эпоха 1950 г.). На графиках числами приведены широты в градусах, максимальная Wmax и минимальная Wmin суточные инсоляции на данной широте в МДж/м2: NP - северный полюс; Eq - экватор; SP - южный полюс.
Согласно (24) долгота определяет изменение суточной инсоляции W в течение года, а входящие в выражения (24) - (26) параметры , fp, 1 или e позволяют рассчитать суточную инсоляцию в любую эпоху и исследовать ее изменение. На рис. 3 представлено изменение суточной инсоляции во времени Td в днях на разных широтах от = 90 на северном полюсе до = - 90 на южном полюсе. Счет в днях происходит от момента весеннего равноденствия 22 марта. В средних широтах северного полушария суточная инсоляция W в летнее время достигает максимального значения Wmax и в зимнее время - минимального значения Wmin. Их значения для каждой широты приведены на графиках. В высоких широтах минимальная инсоляция Wmin = 0, т.е. наступает полярная ночь. На экваторе ( = 0) имеется два минимума и два максимума. Максимумы соответствуют моментам прохождения Солнца через экватор, т.е. в период равноденствий, а минимумы - в период солнцестояний.
Наибольшая суточная инсоляция, как видно из графиков, имеет место на полюсах во время полярного дня, например, на Северном полюсе Wmax = 46.4 МДж/м2, а на южном Wmax = 49.6 МДж/м2. На экваторе максимальная суточная инсоляция значительно меньше и равна Wmax = 38.8 МДж/м2. В то же время минимальная инсоляция Wmin = 34.1 МДж/м2 немного отличается от максимальной. Однако, минимальная инсоляция на экваторе, как видно из рис. 3, является наибольшей из минимальных на всех широтах.
Из сравнения Wmax и Wmin видно, что летние инсоляции в южном полушарии больше, а зимние меньше, чем соответствующие инсоляции в северном полушарии. Это обусловлено тем, что в северном полушарии перигелий приходится на зимнее время.
8. Инсоляция за год
Как уже отмечалось, тропический год длится больше чем 365 дней. Определяется избыток дня в тропическом году dtr = Ptr - 365. Тогда полная инсоляция QT за год может быть рассчитана суммированием суточных инсоляций так:
, (27)
где Wi - рассчитанная согласно (24) суточная инсоляция в зависимости от долготы Солнца i, а W365 - суточная инсоляция последнего дня.
Основное отличие нашего расчета инсоляции от метода М. Миланковича заключается в расчете инсоляции за промежутки времени, которые включают ряд дней, например, за сезоны, полугодия и за год. М. Миланкович находит аналитические выражения для инсоляции за необходимые интервалы времени. С этой целью ему приходится выполнять ряд математических преобразований и приближений. Суть их заключается в том, чтобы найти аналитическую зависимость времени от долготы, а затем поток радиации dW/dt, представленный выражением (11), проинтегрировать по необходимому промежутку времени.
В отличие от М. Миланковича мы находим интегрированием потока dW/dt только суточную инсоляцию. Затем для каждого дня на основе решения (4) задачи двух тел мы определяем долготу. Так как отсчет долготы и дней начинается с точки весеннего равноденствия, то любой период времени можно задать по количеству дней. При этом для каждого конца дня суточная инсоляция определяется выражением (24). Поэтому инсоляция за любой отрезок времени определяется суммированием суточных инсоляций. Именно так и была определена в выражении (27) годовая инсоляция.
При определении астрономических сезонов и полугодий для северного полушария так, как определял их Миланкович [1], номера дней и их количество рассчитываются по долготе : весна - = 0 90; лето - = 90 180; осень - = 180 270; зима - = 270 360; летнее полугодие - = 0 180; зимнее полугодие - = 180 360. Суммированием суточных инсоляций (24) по рассчитанным номерам дней и их количествам определяются инсоляции за сезоны и полугодия. Следует отметить, что вышеупомянутые астрономические периоды определяются значением долготы , поэтому количества дней будут не целые числа, т.е. будут включать в себя части дня.