Материал: Несовершенства в кристаллах (90

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

дям в направлении х (рисунок 1.2), где а — атом в положении равновесия; б — атом смещен на расстояние u в направлении х). В первом приближении принимается, что длина пружин вдоль направлений у и z не изменяется.

Тогда между соседними атомами возникнут направленные вдоль оси х неуравновешенные силы (они соответствуют растяжению и сжатию пружин). Кривая на рисунке 1.1 показывает изменение энергии атома с изменением расстояния между ним и всеми соседними атомами. Если же изменяется расстояние только по отношению к одному атому, то энергию Еа (х) надо разделить на z, где z — число ближайших соседей. (Мы предполагаем, что можно пренебречь потенциальной энергией взаимодействия неближайших атомов.) Изменение энергии ΔЕ, связанное с изменением координаты атома от х0 до х, равно

где u = х - х0 . Первый член этого уравнения характеризует энергию связи атома с правым соседом, второй — связь с левым соседом.

Коэффициент 2 обусловлен тем, что перемещение атома относительно его соседа вызывает равные изменения энергии у обоих атомов — смещенного и не подвижного.

Функцию Еа (х) можно разложить в ряд Тейлора относительно ее минимума. Тогда общее изменение энергии атома и его соседей при малых смещениях составляет

Исходя из закона изменения потенциальной энергии (1.2), можно рассматривать атом, закрепленный в определенном узле решетки, как простой гармонический осциллятор. Следовательно, вибрирующие атомы совершают гармонические колебания относительно своих положений равновесия.

Сила f, действующая на каждый атом, есть функция его смещения

6

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Тогда дифференциальное уравнение, описывающее это движение, можно записать как

Следовательно, угловая частота колебаний атома ω определяется как

Теперь можно рассчитать частоты колебаний. У элементов, находящихся в середине периодической таблицы (например, у меди, железа, германия и т. д.), масса атома составляет около 10-25 кг. Поэтому в соответствии с предлагаемой моделью частота колебаний этих атомов составляет около 3. 1012 гц.

7

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Более точная оценка α дает значение, немного превышающее 25 н /м. Соответственно величина v приближается к 1013 гц. Ниже будет показано, что амплитуда колебаний (при комнатной температуре) составляет несколько сотых ангстрема, т. е. несколько процентов от межатомного расстояния.

Описанная выше модель атомных колебаний пригодна для многих целей. Разумеется, допущение о неподвижности соседей данного атома в реальных кристаллах не оправдывается, так как они тоже перемещаются. При анализе всех возможных движений атомов и атомных групп было установлено, что существует множество других частот. Эти частоты начинаются примерно от значения v, рассчитанного ранее, и понижаются вплоть до основной частоты акустических колебаний в твердом теле данных размеров. Известно, что низкочастотные колебания — это звуковые волны. Каждое отдельное механическое колебание данной частоты называется фононом. Смещение любого атома в кристалле определяется суммированием всех фононов, причем каждый фонон обладает и энергией (т. е. амплитудой колебаний), и частотой.

1.3 Тепловая энергия твердых тел

Наиболее важными способами поглощения тепловой энергии твердым телом являются:

1)увеличение интенсивности колебаний атомов;

2)увеличение энергии поступательного движения электронов (возбужде-

ние);

3) увеличение вращательной энергии молекул.

Первый механизм присущ всем твердым телам, поскольку можно заставить двигаться атомы любого твердого тела. Этот механизм наиболее важен из всех трех. Только в узких температурных интервалах могут преобладать другие эффекты.

Общая энергия твердого тела складывается из двух слагаемых. Одним из них является тепловая энергия, другим — энергия, которой могут обладать твердые тела при абсолютном нуле температуры. Сумма этих величин называется внутренней энергией Е. Эта энергия представляет собой точно определяемую величину, которая лишь в очень слабой степени зависит от малых концентраций кристаллических дефектов. Конечно, величина Е зависит от температуры. Для многих твердых тел значения Е измерены и их можно найти в соответствующих таблицах. Однако исторически наука развивалась так, что больше внимания уделялось производной внутренней энергии по температуре, которая является теплоемкостью при постоянном объеме

Точный расчет теплоемкости твердого тела чрезвычайно сложен, поскольку для этого необходимо знать сумму кинетической и потенциальной

8

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

энергий каждого колеблющегося атома твердого тела. Мы не будем проводить такое вычисление, тем более что на практике обычно и не идут по этому пути. Вместо этого используют широкие допущения о характере колебаний атомов, тем самым значительно упрощая расчеты. Наиболее удачна в этом плане теория Дебая. На рисунке 1.4 сплошной линией представлена кривая, соответствующая уравнению, которое следует из теории Дебая; там же приведены экспери-

ментальные значения теплоемкостей СV для серебра и алюминия. Вполне оче-

видно хорошее соответствие теории с экспериментальными данными. Некоторые температурные области, показанные на рисунке 1.4, представ-

ляют особый интерес. При абсолютном нуле теплоемкость равна нулю. При температурах несколько выше абсолютного нуля теплоемкость быстро возрастает — пропорционально Т3. При высоких температурах теплоемкость становится почти постоянной и составляет около 6 кал/молъ∙К. Необходимо обратить внимание на то, что в данном случае используется шкала «приведенной» темпе-

ратуры, т. е. значение Т делится на константу. Эта константа θ D , называемая дебаевской температурой, имеет различную величину для каждого твердого тела. При Т = θ D теплоемкость уже составляет примерно 96% от ее окончательного значения. В таблице 1 приведены дебаевские температуры 0D некото-

9

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Следовательно, расчеты согласовывались с экспериментами для области высоких температур, но вносили серьезную ошибку при низких температурах. Выход был найден Эйнштейном и Дебаем, которые применили для анализа колебаний атомов квантовомеханические представления. Дебаевская температура приблизительно соответствует границе между областью высоких температур, где осцилляторы подчиняются классическим законам, и областью низких тем-

рисунке 1.5 представлено тепло-

10