Материал: Несовершенства в кристаллах (90

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2 Задачи для самостоятельного решения

1 Классическая теория дает значение удельной теплоемкости 6 кал/моль∙К.

а) Используя это значение, рассчитать тепловую энергию одного моля металла при 300о К; б) Дебаевская температура для золота примерно равна 170о К. Используя

полученные сведения о характере дебаевской кривой для теплоемкости, оценить действительное значение тепловой энергии одного моля золота при 300о К. Какова величина ошибки при расчете по классической теории?

2Вывести уравнение (1.32), используя предположения, изложенные в предыдущих параграфах.

3 Из уравнения (1.30) следует, что величина θ D пропорциональна vD (а, следо-

вательно, приблизительно пропорциональна v). В соответствии с уравнением (1.27) частота v пропорциональна квадратному корню из силовой постоянной и обратно пропорциональна квадратному корню из массы атома. Следо-

вательно, величина θ D должна быть больше для легких жестких металлов и

меньше для тяжелых металлов с небольшими модулями упругости. Всегда ли это справедливо? Привести примеры.

4Показать, что кинетическая энергия атома, совершающего простые гармонические колебания, в среднем (за один период) равна половине общей энер-

гии.

5На рисунке 3.1 представлен экспериментальный график зависимости доли вакантных узлов в алюминии от температуры. Параметр, пропорциональный логарифму количества вакансий (см. формулу 1.41), представлен как функция (1/Т). Энергия

образования вакансий Еv пропорциональна наклону этой линии.

а) По данным данного графика энергия образования вакансии в алюминии составляет 0,75 эВ. Сколько существует вакансий при комнатной температуре в состоянии термодинамического равновесия? При 550о С?

б) Для образования дефекта внедрения в алюминии требуется около 3 эВ. Рассчитать отношение ni /nv при комнатной температуре и при 550о С.

6Экспериментально установлено, что при температуре плавления на каждую тысячу атомов алюминия приходится одна вакансия, а при комнатной температуре – только одна вакансия на 1012 атомов. Теперь предположим, что алюминиевый образец быстро охлажден от температуры, близкой к точке плавления, и все вакансии, имевшиеся при высокой температуре, сохрани-

26

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

лись при комнатной температуре. Количество вакансий при комнатной температуре превышает их равновесное количество, соответствующее комнатной температуре. Допустим, что вакансии «отжигаются» с течением времени, и в итоге достигается концентрация, равновесная при комнатной температуре. Если отжиг происходит адиабатически, будет ли нагреваться или охлаждаться твердое тело? Если будет, то насколько?

7Образование или исчезновение вакансий в твердом теле вызывает изменение его плотности. Будет ли повышаться или уменьшаться плотность алюминия (задача 6) в процессе отжига при комнатной температуре? Можно ли изме-

рить это экспериментально?

8Уравнение ( ) можно вывести на том основании, что при равновесии свобод-

ная энергия системы должна быть минимальна. Пусть Еv – энергия, необходимая для замены атома в кристалле на вакансию. Тогда nv∙ Еv есть увеличение внутренней энергии dE при образовании вакансий в количестве nv. Увеличение энтропии при образовании nv вакансий определяется следующим выражением:

dS = k × lnw ,

где w – количество различных способов, с помощью которых можно распределить nv тождественных вакансий среди N узлов решетки. Поэтому при постоянной температуре изменение свободной энергии dF при добавлении в решетку nv вакансий будет равно

dF = dE - T × dS = nvEv - T × k × ln w .

При равновесии dF/dnv = 0 .

а) Показать, что w = N!/nv!(N - nv )!.

б) Используя приближенную формулу Стирлинга, показать, что

k × lnw = k[N × lnN - nv × ln nv - (N - nv ) × ln(N - nv )],

если nv >>1, N >>1, N - nv >>1, т. е. соблюдаются условия применимости приближения Стирлинга.

в) Написать dF и dF/dnv в функции dE и dS.

9 Пусть энергия, требуемая для перемещения атома натрия из внутренней части кристалла на поверхность, равна 1 эВ. Вычислить концентрацию дефек-

27

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

тов по Шоттки при комнатной температуре (300о К).

Список использованных источников

1Баррет Ч.С. Структура металлов [Текст]: [пер. с англ.]. В двух частях. Ч. 1 /Ч.С. Баррет, Т.Б. Масальский. – М.: Металлургия, 1984. – 352 с.: ил.

2 Горелик С.С. Рентгенографический и электроннооптический анализ [Текст]: учебное пособие /С.С. Горелик, Л.Н.Расторгуев, Ю.А. Скаков. – М.: Металлургия, 1970. – 366 с.: ил.

3Пинес Б.Я. Лекции по структурному анализу [Текст]: учебное пособие / Б.Я. Пинес. – Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1967. – 476 с.: ил.

4 Косолапов Г.Ф. Рентгенография [Текст]: учебное пособие /Г.Ф. Косолапов. – М.: Высшая школа, 1962. – 332 с.: ил.

5Епифанов Г.И. Физика твердого тела [Текст]: учебное пособие /Г.И. Епифанов. – М.: Высшая школа, 1977. – 288 с.: ил.

6Уэрт Ч. Физика твердого тела [Текст]: [пер. с англ.] /Ч.Уэрт, Р.Томпсон.

– М.: Мир, 1984. –568с.: ил.

7Китель Ч. Введение в физику твердого тела [Текст]: [пер. с англ.] /Ч. Китель. – М.: Наука, 1978. –792с.: ил.

28