Материал: Научный вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета. Строительство и архитектура

тоит из направляющих косинусов усилий. Введем систему координат с осями x и y, начало координат поместим в основание левого наклонного опорного стержня. Имеем следующие координаты шарниров нижнего и верхнего поясов (рис. 2):

Рис. 1. Ферма. Общий вид при k = 2

Координаты шарниров на средней линии фермы:

Рис. 2. Нумерация узлов и стержней фермы при k = 3

Структуру соединения узлов и стержней зададим условными векторами qi , i 1,...,M ,

с координатами — номерами присоединенных узлов. В дискретной математике такой способ соответствует заданию списка ребер графа [6]. Выбранные направления стержней-векторов не влияют на усилия в стержнях и их знаки. Введем следующие векторы, определяющие конфигурацию решетки:

Научный вестник Воронежского ГАСУ. Строительство и архитектура

Векторы, задающие опорные стержни:

где S — вектор усилий в стержнях; R — вектор нагрузок. В четные элементы этого вектора R2i записываются вертикальные усилия, приложенные к узлу i, в нечетные — горизонтальные.

При вычислении прогиба по формуле Максвелла-Мора необходимы два варианта вектора нагрузок: нагрузка от распределенных сил P:

(см. рис. 2). Остальные компоненты векторов RP и R1 нулевые. Для уравнений равновесия

потребуются проекции стержней-векторов на оси координат, которые вычисляем по разности координат шарниров по концам стержня:

Первый индекс qi,j — номер стержня i, второй j = 1, 2 — номер проекции (на оси x, y). Для решения системы линейных уравнений (2) в символьном виде применим операцию вы-

числения обратной матрицы, имеющую в системе Maple [5] простой вид: G 1 1/ G . С ее помощью решение системы получается простой операцией умножения матрицы на вектор нагрузок:

где SP , S1 — векторы усилий от действия нагрузки и единичной вертикальной силы, прило-

женной к центру конструкции. Такой прием ускоряет символьные преобразования, так как не требует вызова специализированного пакета LinearAlgebra, а для пересчета результатов на другую нагрузку нет необходимости повторного обращения матрицы. Результатом работы программы являются аналитические выражения для усилий в стержнях фермы.

Заметим характерную особенность данной конструкции. Рассчитать усилия в стержнях фермы традиционными методами «вручную» здесь не удается. Более того, даже реакции опор конструкции нельзя найти без составления уравнений равновесия всех узлов фермы, что особенно затруднительно для большого числа панелей, но хорошо реализуется компьютерными методами. Программа находит аналитические выражения для усилий во всех стержнях. Выпишем, например, усилия в опорных стрежнях. В вертикальных стойках (на рис. 2 стержни № 42, 44):

Sp,M Sp,M 2 (k 1)P / 2 .

152

Усилия в наклонных опорных стержнях:

Sp,M 1 Pkd / (2h) ,

где d — длина наклонных стержней решетки:

da2 h2 .

3.Прогиб. Для вычисления прогиба узла, к которому приложена нагрузка, воспользуемся формулой Максвелла-Мора:

где E — модуль упругости стержней; F — площади сечения стержней; lj — длина j-го стержня; SP,j — усилия в j-м стержне от действия нагрузки; S1,j — усилие от единичной вертикальной силы, приложенной к среднему узлу нижнего пояса. Суммирование ведется по всем стержням фермы, кроме четырех опорных, которые предполагаются жесткими. Анализируя формулы прогиба, полученные для ферм с k 1, 2,...,18 , заметим, что при любом значении k

выражение для прогиба имеет один и тот же вид:

мощью оператора rgf_findrecur пакета genfunc системы Maple можно получить однородное рекуррентное уравнение:

Ak Ak 1 4Ak 2 4Ak 3 6Ak 4 6Ak 5 4Ak 6 4Ak 7 Ak 8 Ak 9 .

Решение этого уравнения оператором rsolve дает выражение общего члена:

Ak 10k4 2(2( 1)k 5)k3 2(3( 1)k 4)k 2 (5( 1)k 1)k.

Для последовательности коэффициентов при d 3 рекуррентное уравнение проще, и для его получения необходимо проанализировать только десять ферм:

Dk Dk 1 2Dk 2 2Dk 3 Dk 4 Dk 5.

Решение этого уравнения имеет вид:

Dk 6k 2 3(( 1)k 1)k 6.

Проверку полученных коэффициентов можно провести численно, сравнивая при различных k величину прогиба по формуле (4) с результатом работы программы в режиме численных преобразований, которые не требуют столько времени, сколько преобразования символьные.

Аналогичная формула для прогиба будет в случае нагружения 2k 1 узлов нижнего пояса, но с коэффициентами:

Ak 10k4 2(2( 1)k 5)k3 2(3( 1)k 1)k 2 (5( 1)k 1)k 3( 1)k 3, Dk 6k 2 3(( 1)k 1)k 3( 1)k 3.

3. Анализ. Зафиксируем длину пролета L 4ka и суммарную нагрузку на ферму. Для равномерной нагрузки верхнего пояса

153

Научный вестник Воронежского ГАСУ. Строительство и архитектура

Psum (4k 1)P , Psum (4k 1)P .

Введем относительный прогиб

' EF / P .

Зависимость (4) прогиба от числа панелей содержит «мигающие» слагаемые вида (-1)k. На графике кривой это проявляется в виде изломов (рис. 3, размеры в метрах). Отсутствие монотонности предупреждает инженера о возможности рационального выбора числа панелей проектируемой конструкции. Если в целом с увеличением числа панелей прогиб растет, то локальные минимумы позволяют уменьшить жесткость фермы, всего лишь изменив число панелей на одну.

Кроме того, аналитическая зависимость (4) дает возможность провести асимптотическое исследование конструкции и получить дополнительную информацию, недоступную для численных методов. Можно найти, например, характер изменения прогиба при увеличении числа панелей для фиксированной длины пролета и заданной суммарной нагрузки. Оператор limit системы Maple для случая нагружения как нижнего, так и верхнего пояса дает один и тот же результат:

lim '/ k h / 8 ,

k

что согласуется с общим характером кривых на рис. 3, в пределе стремящихся к прямой.

Рис. 3. L = 30 м

4. Случай кинематической изменяемости. В рассчитываемой ферме было выбрано четное число панелей в пролете. Попытка решить эту же задачу с нечетным числом панелей оказалась безуспешной. Определитель системы уравнений равновесия узлов в этом случае всегда равен нулю. Особенно ясно это становится при символьной форме преобразований.

Численные же расчеты (как правило, при больших числах панелей) могут дать просто ошибочный результат, вызванный погрешностью счета, при котором определитель получается весьма малой, но не нулевой величиной. Более внимательное рассмотрение схемы фермы с нечетным числом панелей показывает, что ферма становится кинематич е- ски изменяемой.

Схема возможных скоростей для фермы с одной панелью представлена на рис. 4.

Все четыре опорных стержня совершают мгновенно вращательное движение вокруг своих опор, стержни 1, 4, 5, 7 и 10 имеют поступательное смещение, стержни 2, 3, 6, 8 и 9

154

Выпуск № 4 (44), 2016 ISSN 2072-0041

вращаются вокруг мгновенных центров скоростей этих стержней. Скорости u и v концов стержня 6 связаны условием равенства проекций на этот стержень: u sin 2α v sin α , где sin α a / d .

Рис. 4. Схема возможных скоростей

Выводы

Рассмотренная схема фермы изначально несколько необычна: без опорных стержней, в отличие от обычных балочных ферм она является механизмом. Более того, при нечетном числе панелей ферма мгновенно изменяема.

Схема скоростей, найденная для одной панели (рис. 4), почти без изменений переносится на другие фермы с нечетным числом панелей. Ранее эффект влияния четности панелей был обнаружен автором в решетчатых системах [2, 3] и пространственной ферме [4]. Для неизменяемых ферм найдено аналитическое выражение для прогиба от действия нагрузки по нижнему и от действия нагрузки по верхнему поясу. В силу линейности задачи это позволяет получать решение для различных комбинаций нагрузок. Несмотря на внешнюю простоту, ферма имеет также принципиальные трудности расчета усилий. Простые методы, такие как метод вырезания отдельных узлов и метод сечений, известные в строительной и теоретической механике, здесь не подходят. Даже для определения реакций опор, с которого традиционно начинается решение задачи, необходимо рассчитать всю ферму, составив матрицу системы уравнений равновесия всех узлов. Число же этих узлов и число неизвестных может быть велико, особенно если ферма служит перекрытием большой длины.

Преимущество полученного аналитического решения в этом случае очевидно. Это решение не содержит дефект накопления ошибок. Однако и символьный метод вывода решения также не безгрешен. Попытка получить аналитическое решение сразу для некоторой конкретной фермы с заданным числом панелей обречена на неудачу, если число панелей велико. Это связано с особенностью символьных преобразований, скорость которых существенно зависит от объема работы. В рассмотренном примере, начиная с 20—30 панелей, скорость символьных преобразований настолько мала, что время счета становится нереально большим. Единственный способ в этом случае — метод индукции. Закономерность образования коэффициентов прослеживается, как правило, при небольшом числе панелей и практически не занимает времени, а полученная формула (проверенная численно) справедлива при абсолютно любом числе стержней.

Рассмотренный алгоритм вывода аналитического решения применим и для решения более сложных задач, например, при выводе линий влияния прогиба в фермах [9, 11, 15], где требуется индукция по двум параметрам. Критические обзоры некоторых работ на тему по-

155