Материал: Научный вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета. Строительство и архитектура

2. Расчет на собственные частоты. Для исследования свободных колебаний стержня применялись уравнения движения из [3].

Простейшим периодическим решением уравнения для свободных крутильных колебаний являются так называемые главные колебания, в которых перемещения и углы изменяются во времени по гармоническому закону. Главные формы колебаний для угла закручивания, функции депланации, характеристик бимомента и полного крутящего момента окончательно представлены в матричном виде:

Рассматривалась неразрезная балка, имеющая n пролетов, опирающаяся по концам и пролетами на (n + 1) шарниров. Считалось, что геометрические характеристики сечения во всех пролетах одинаковы, длина i-го пролета li. Для определения собственных частот колебаний балки выделялись два соседних пролета (рис. 2). Для определения опорных бимоментов использовались условия непрерывности в виде непрерывности угла поворота сечения и непрерывности депланации.

Рис. 2. Фрагмент неразрезной балки

При рассмотрении колебаний отдельных пролетов были получены частотные уравнения для изгибных колебаний в вертикальной плоскости и крутильно-депланационных колебаний в виде

где pj, rj — функции частот колебаний v.

Уравнения (6) и (7) представляют собой уравнения трех моментов и трех бимоментов для свободных колебаний балки. Для определения частот этих колебаний необходимо было

161

Научный вестник Воронежского ГАСУ. Строительство и архитектура

решить системы из (n-1) уравнений каждого вида. При этом следует учесть, что на крайних

опорах изгибающий момент и бимомент равны нулю: M1(0) = M1(n) = 0, B0 = Bn = 0.

Таким образом, с использованием полученных соотношений могут быть определены частоты изгибных и крутильных колебаний неразрезной балки для различных форм. На основе полученных аналитических выражений составлен алгоритм и разработано программное средство расчета.

Для оценки влияния учета сдвигов производилось сравнение полученных значений собственной частоты v со значениями v̅, полученными по теории, не учитывающей сдвиги.

Рассматривалась двухпролетная стальная балка двутаврового и коробчатого сечения. На рис. 3а изображены графики зависимости относительной частоты от относител ь- ной длины балки, на рис. 3б, в — от размеров сечения. Относительная частота определялась формулой v vv .

Рис. 3. Относительная собственная частота крутильных колебаний двухпролетной балки:

а) в зависимости от длины пролетов балки; б, в) в зависимости от ширины и толщины поперечного сечения; г) сравнение собственных частот с расчетами МКЭ;

1 — без учета сдвигов; 2 — первая форма колебаний балки двутаврового профиля с учетом вторичных сдвигов; 3 и 4 — первая и третья формы колебаний балки коробчатого профиля с учетом вторичных сдвигов;

5 — собственные частоты, рассчитанные с учетом вторичных сдвигов; 6 — собственные частоты, рассчитанные с помощью Autodesk Inventor

Графики показывают, что учет сдвигов от стесненного кручения при исследовании колебаний балок открытого профиля вносит корректировку в значения частот собственных ко-

162

лебаний в размере от 1 до 3 процентов, при этом наибольшее влияние оказывает изменение размеров сечение. Для стержней, имеющих замкнутый контур, влияние учета сдвигов больше, и находится в диапазоне от 10 до 25 %, что подтверждает необходимость учета сдвигов от стесненного кручения при исследовании колебаний балки.

На рис. 3г приведено сравнение значений собственных частот первых четырех форм колебаний балки коробчатого сечения со значениями собственных частот, рассчитанных с помощью Autodesk Inventor. Эти значения также представлены в виде относительных величин.

3. Постановка и решение задачи оптимизации. Считалось, что балка находится под действием преимущественно статической нагрузки. Между тем на балку действуют небольшие по величине периодические нагрузки. При приближении частоты вынужденных колебаний балки к собственной частоте вследствие резонанса существенно увеличивается амплитуда. Таким образом, задачей является оптимизация неразрезной балки с ограничениями по прочности и частотам собственных колебаний.

В работах [4, 5] предложены алгоритмы оптимизации с использованием аппроксимаций параметров состояния и различных приемов декомпозиции исходной задачи оптимизации, которые позволяют рассматривать сложные системы, находящиеся под действием как статических, так и динамических нагрузок. Эти алгоритмы положены в основу дальнейших исследований.

Задача оптимизации балки ставилась в форме задачи математического программирования [7]: требуется найти min f(X), X En, при ограничениях

g j ( X , P( X )) 0, j 1,..., m , (8)

где f(X) — целевая функция, построенная на основе выбранного критерия оптимальности балки; X — вектор варьируемых параметров балки; P(X) — вектор параметров состояния балки; gj (X, P(X)) ≤ 0, j = 1, …, m — ограничения по прочности, частотам собственных колебаний и конструктивные ограничения.

В качестве варьируемых параметров принимались размеры сечения. Виды рассматриваемых сечений показаны на рис. 1. Таким образом, для открытого (см. рис. 1а) и замкнутого (см. рис. 1в) сечений принимались четыре варьируемых параметра: X1 = h, X2 = b, X3 = d1, X4 = d2. Для рассматриваемого комбинированного сечения (рис. 1б) — пять параметров: X5 = с. Дополнительно варьировались положения средних опор балки (параметры X6, X7) путем их возможного отклонения вправо (или влево) от заданного положения.

Оптимизация проводилась по массовому критерию с ограничениями по прочности и частотам собственных колебаний. Так как балка имеет постоянное сечение, то массовым

где ζэквimax(X) — максимальное эквивалентное в сечениях i-го пролета; R — расчетное сопротивление материала.

Ограничения по частотам собственных колебаний приняты в виде:

k, k̅— число учитываемых собственных частот и частот возбудителей колебаний.

163

Научный вестник Воронежского ГАСУ. Строительство и архитектура

Учитываются конструктивные ограничения:

Конструктивные ограничения одновременно исключают возможность местной потери устойчивости.

Для решения формируемой условно экстремальной задачи использованы метод подвижного внешнего штрафа и разработанная на его основе библиотека решения задач математического программирования.

В качестве примера рассмотрена балка, изображенная на рис. 4. Принято: k = 10; k̅= 2, R = 200 МПа. В качестве частот возбудителей были приняты значения v̅j = 152 рад/с и v̅j = 305 рад/с, которые соответствуют работе асинхронных электродвигателей. Величины недопустимых полуинтервалов для собственных частот назначались согласно соотношению

v̅j = 0,1v̅j. При рассмотрении стержня комбинированного профиля целевая функция (9):

Помимо задачи в озвученной постановке производилась оптимизация балки без учета собственных колебаний с сохранением остальных ограничений.

Рис. 4. Расчетная схема тонкостенной балки

Результаты решения задач оптимизации при фиксированном положении средних опор частично представлены на рис. 5 в виде графиков зависимости оптимальной площади сечения от величины внешней нагрузки: 1 — оптимизация по массовому критерию без учета ограничений по собственным частотам; 2 — оптимизация по массовому критерию с учетом ограничений по частотам.

Как видно из рис. 5, учет собственных частот существенно меняет параметры оптимального проекта, в некоторых случаях целевая функция увеличивается на 30 %. Отчасти это связано с тем, что в приведенном примере параметры конструкции и частоты вынужденных колебаний подобраны так, чтобы собственные частоты попадали в диапазон вынужденных. Между тем при работе реальных конструкций подобное влияние вполне возможно. При отдельных значениях нагрузки (например, при q = 1,5 кН/м) собственная частота оптимального проекта не попала в диапазоны вынужденных, поэтому учет ограничений по частотам не оказал влияние на оптимальный проект.

Для рассматриваемого стержня комбинированного сечения характерно и то, что фрагменты открытого профиля вырождаются в большинстве случаев до вида замкнутого сечения (см. рис. 1в). Это связано с тем, что сечение коробчатого профиля является более жестким при кручении, чем сечение с открытыми фрагментами. Вырождения нет только в том случае, когда происходит небольшая корректировка сечения под ограничение по собственным частотам с помощью параметра Х5. Между тем целесообразно вводить конструктивные ограничения для этого параметра в случае если полки необходимы для удержания (например, подъемных устройств).

164

Рис. 5. Графики зависимости оптимальной площади сечения от величины внешней нагрузки q

При q = 3 кН/м получены следующие значения:

Активные собственные частоты (из первых десяти): v2 = 114,16; v3 = 245,08; v4 = 428,23. Дополнительно, как качественная характеристика отклонения собственных частот от

опасных значений, предлагается величина

где α — регулирующий параметр.

Подставив значения активных собственных частот в (14) и пренебрегая (в силу незначительности) влиянием остальных, получим:

f2 ( X ) ≈101,4.10-5.

Для оценки влияния параметров X6, X7 они были вынесены на верхний уровень и задавались с шагом 0,2 м. На рис. 6 показаны значения оптимального решения f1 ( X * ) при изме-

нении X6, X7. В целях большей наглядности взята несколько увеличенная нагрузка q = 3 кН/м. Наилучшее оптимальное решение на рисунке выделено жирной точкой.

Рис. 6. Оптимальные решения f1(X*) при варьировании положения опор

165