Под преобразованием в общем случае понимают замену одного объекта другим объектом, полученным из первого по определенным правилам. В контексте матричного моделирования расчетных систем преобразование является переходом от одной формы расчетов к другой, что позволяет непроцедурным путем отразить изменение моделей расчетных систем в направлении перевода одной модели расчетов в другую.
Использование математических объектов и методов позволяет совершенно по-новому решать проблемы моделирования расчетных операций и их анализ как решения математических уравнений, но связывающие между собой не отдельные числа, а различные структуры чисел, организованные в виде аналогов табличных структур: матриц, векторов (отдельных строк и столбцов) и отдельных числовых величин -- скаляров.
С точки зрения математического моделирования расчетных систем представляет интерес матричная модель, приведенная в статье А. В. Федорусенко Смотри: А. В. Федорусенко. Совершенствование платежной системы банка. // Банковское дело. 2006. № 8., в которой автор сводит расчетные операции в двухмерную таблицу и показывает скалярные преобразования (правила), иллюстрирующие переход от расчетов на валовой основе к расчетам при двухстороннем зачете, а затем многостороннем зачете требований и обязательств. Возможно, этой модели не хватает разъяснения, каким образом первичным данным ставятся в соответствие математическим объекты. Кроме того, в работе рассматривается матричная модель клиринга, а преобразования осуществляются в скалярной форме, что, как следствие, несколько сужает рамки модели как инструмента исследований.
В научных трудах О.И. Кольваха представлена система матричного моделирования и анализа финансовых взаимоотношений, которая имеет минимальное количество первоначальных самоочевидных утверждений, объясняющих отображение фактических объектов (исходных данных) в математические. В этих работах путем формулирования двух аксиом определяется соответствие между первичными данными и отражающими их математическими объектами. Матрица-корреспонденция выражает объект взаимоотношений, а матрица-проводка (транзакция) отражает количественный показатель этого взаимоотношения. Субъекты отношений определяются пересечением строк и столбцов матриц-корреспонденций. Моделеобразующей принимается матрица размерностью, равной количеству субъектов, состоящая из численных значений матриц-проводок. Все другие характеристики финансовых связей выводятся путем матричных преобразований. Разработанные аксиомы и модель позволяют сформулировать, кроме бухгалтерского учета, для которого эта модель первоначально разрабатывалась, в том числе и методы расчетов в платежных системах.
Фактическими аналогами расчетных операций, которые совершаются при помощи платежных инструментов, являются различные виды инструкций по переводу средств от плательщика к получателю. Любому виду платежной инструкции может быть поставлен в соответствие его математический эквивалент - матрица-транзакция (расчет).
Над расчетными матрицами, в отличие от обычных таблиц данных, определены известные математические операции: умножение на скаляр, сложение, вычитание, транспонирование, умножение и обращение матриц. В матричной алгебре, как и в обычной алгебре, связи между величинами устанавливаются формулами, но входящие в них величины принимают значения не на отдельных числах, а на таблицах чисел заданной структуры и размеров.
Представленная ниже система матричных тождеств Здесь следует напомнить, чем «тождество» отличается от «математического уравнения». Тождество -- это отношение между объектами, формула, которая справедлива для любых допустимых значений. Математическое уравнение -- это запись задачи о нахождении значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. расчетных операций позволяет построить соответствующую систему информационно-технологических образов форм расчетов. Каждой форме расчетов, выраженной определенным методом, ставится в соответствие ее матричный образ Под термином «образ» понимается форма отражения предметов и явлений материального мира в сознании человека. Материальной формой воплощения образа являются различные знаковые модели, которые служат условными обозначениями для записи понятий, предложений и выкладок. , который является эквивалентом этого метода в системе операций векторно-матричной алгебры.
Для изложения методологии и методики построения матричных моделей расчетов определим такие понятия, как матрица-корреспонденция и матрица-транзакция.
Квадратная матрица размером m = n, у которой на пересечении строки, соответствующей участнику расчетов X, и столбца, соответствующему участнику Y, находится единица, а все остальные элементы равны нулю, называется матрицей-корреспонденцией.
Саму матрицу-корреспонденцию будем обозначать E(X,Y), а ее ненулевой элемент, всегда равный единице, через E(X,Y)=1. В соответствии с определением, все остальные элементы E(I,J)=0 для всех IX и JY.
Матрица-транзакция -- это произведение суммы расчетной операции на матрицу-корреспонденцию.
R (X, Y) = лX,Y · E(X,Y) (1)
Например, для суммы расчетной операции лA,B = 80 единиц расчетных активов и корреспонденции между участниками Е(A, B) -- «Расчетные активы переводятся от участника расчетов A к участнику B», получаем следующую матрицу-транзакцию:
При умножении скаляра л на матрицу все числа, содержащиеся в ней, увеличиваются в л раз. Все элементы матрицы расчетных операций, кроме Е(A, B) =1, равны нулю. Поэтому скалярная величина -- сумма транзакции лA,B = 80 -- устанавливается в соответствующей позиции матрицы на пересечении строки А и столбца В, т.е. R(A, B) = 80, в то время как все остальные элементы матрицы-транзакций будут нулевыми В формулах и числовых выражениях, которые разъясняют их практическую реализацию, принята следующая система обозначений: символы «X» и «Y» могут принимать любые значения на множестве участников расчетов, символы «A», «B», «C», «D», «E» -- используются для идентификации конкретного участника расчетов..
В дальнейшем не обязательно производить операции над самими матрицами, что достаточно трудоемко и, кроме того, занимает много места, поэтому при записи примера будут использованы символические эквиваленты расчетных операций, а окончательные результаты будут представлены в виде моделеобразующей матрицы.
В качестве моделеобразующей (базисной) принята квадратная матрица расчетов размерностью, равной количеству участников, в которой последовательно накапливаются матричные эквиваленты расчетных операций между участниками расчетов.
расчет платежный система
3. Моделирование расчетных методов
В целях иллюстрации матричного моделирования расчетных методов используем практический числовой пример. Для отражения представленных в нем операций использованы расчеты между 5 участниками расчетов. По условиям задачи за период времени t1 - t2 по данным двадцати трех платежных инструкций, которыми обменивались пять участников расчетов (условно обозначаемых A, B, C, D, E), необходимо сформировать числовые выражения следующих моделей расчетных систем:
-- валовых расчетов в режиме реального времени (Real-time Gross Settlement - RTGS);
-- валовых расчетов с периодической (пакетной) обработкой платежей (Batch Gross Settlement - BGS);
-- двухстороннего неттинга (Bilateral Netting - BN);
-- многостороннего неттинга (multilateral netting - mn).
Транзакции в символическом виде при обработке платежных инструкций методом валовых расчетов в режиме реального времени могут быть записаны как:
RTGSt2-t1 = 40E(А,B) + 80E(А,C) + 50E(А,D) + 30E(А,Е) + 70E(B,A) + 50E(B,C) + 40E(B,D) + 100E(B,Е) + 110E(C,A) + 40E(C,B) + 90E(C,D) + 60E(C,E) + 100E(D,A) + 120E(А,B) + 70E(D,C) + 140E(D,E) + 130E(E,A) + 20E(E,B) + 170E(E,C) + 30E(E,D) + 90E(A,B) + 190E(D,C) + 80E(B,D),
где суммы, указанные в платежных инструкциях, умножены на соответствующие матрицы-корреспонденции и записаны в хронологическом порядке в течение периода обработки (t1 - t2). В общем виде метод валовых расчетов в режиме реального времени можно сформулировать следующим образом:
, (1)
где коэффициентами линейного разложения являются скалярные величины -- суммы расчетных операций л i (i = 1, 2, …), которые указаны в платежных инструкциях, а n -- равно их количеству.
Матричную формулу (1) мы называем информационно-технологическим образом системы валовых расчетов в режиме реального времени: в ней суммы операций, определенные на соответствующих корреспонденциях между участниками расчетов, представлены в хронологическом порядке.
Заметим, что в течение периода обработки участник расчетов A три раза переводит средства участнику B, а участники D и B дважды передают расчетные активы соответственно участникам C и D, в то время как участник расчетов D не осуществляет переводов на участника B. Следовательно, числовое выражение формулы валовых расчетов с периодической обработкой платежей после приведения подобных матриц-транзакций будет иметь следующий вид:
BGSt2-t1 = 250E(А,B) + 80E(А,C) + 50E(А,D) + 30E(А,Е) + 70E(B,A) + 50E(B,C) + 120E(B,D) + 100E(B,Е) + 110E(C,A) + 40E(C,B) + 90E(C,D) + 60E(C,E) + 100E(D,A) + 0E(D,B) + 260E(D,C) + 140E(D,E) + 130E(E,A) + 20E(E,B) + 170E(E,C) + 30E(E,D).
То есть переход от системы валовых расчетов в режиме реального времени к системе валовых расчетов с периодической обработкой платежей осуществляется путем «приведения подобных» (суммированием) матриц-транзакций за время периода обработки. Применив указанное преобразование, получаем формулу валовых расчетов с периодической обработкой платежей:
, (2)
где коэффициентами линейного разложения будут суммы операций сводных расчетных операций: SX,Y (X, Y принадлежат множеству участников расчетов).
Приведение подобных матриц-транзакций за время периода обработки может выполняться по следующей формуле:
,
где -- сумма единичной транзакции между участниками X и Y, а nX,Y -- количество транзакций между участниками X и Y в течение периода обработки платежей. Если в течение данного периода обработки расчеты между какими-либо участниками не проводились, то SX,Y = 0.
Матричная формула (2), на наш взгляд, является информационно-технологическим образом расчетов за определенный период обработки или системы валовых расчетов с периодической обработкой платежей: в ней суммы (SX,Y) -- это итоговые суммы, состоящие из отдельных транзакций, определенных на однотипных корреспонденциях между участниками.
Для иллюстрации дальнейших преобразований систем расчетов запишем числовое выражение символического образа системы валовых расчетов с периодической обработкой платежей в матричном виде:
BGSt2-t1 =.
Пусть BGS - это матрица обязательств между участниками расчетов, а
BGS = (BGS)
- транспонированная к ней матрица получаемых участниками платежей или матрица их требований, т. е. матрица, в которой строки и столбцы переставлены -- инвертированы по отношению к исходной матрице BGS. Для получения разницы между обязательствами (obligation - obl) и требованиями (requirement - req) необходимо из матрицы обязательств вычесть транспонированную к ней матрицу требований. Результатом этой операции будет матрица двухстороннего неттинга, представляющая собой разницу между требованиями и обязательствами, которая одновременно показывает направление перевода средств от плательщика к получателю для осуществления расчетов.
BNt2-t1 =
.
Обратите внимание на знаки чистой позиции, выраженные вектором-строкой: положительный и отрицательный. Как известно, знаки «-» (минус) и «+» (плюс) могут обозначать либо количество, либо действие. В данном случае при интерпретации знаков их следует воспринимать как знаки действия: «+» -- передача средств (откуда), «-» -- получение средств (куда).
Для перехода от системы валовых расчетов с периодической обработкой платежей к системе двухстороннего неттинга требуется из матрицы обязательств между участниками расчетов вычесть транспонированную к ней матрицу требований, результатом этих операций будет матрица двухстороннего зачета, формулу которой можно записать в следующем виде: