Материал: Методика решения нест

где εi определяется по формулам. (3.1).

Задача 3.4. а) Сравнить изменение объемов шара и куба, изготовленных из одного материала, при нагружении силами F (рис. 3.4, а).

б) Во сколько раз уменьшение объема тела при нагружении сжимающими силами F в направлении оси у больше, чем при нагружении теми же силами в направлении оси x (рис.3.4,б)?

Указание: Рядом с исходным состоянием нагружения силами F (I) изобразить состояние всестороннего сжатия тела давлением q (II). Далее воспользоваться теоремой о

взаимности работ F l( II ) q V (I ) , где V(I) - искомое изменение объема в (I) состоянии, т.е. от действия сил F, а l(II)- изменение расстояния между точками приложения сил F во (II) состоянии, т.е. под действием давления q; l (II ) F l F ,

где εF - относительная деформация в направлении действия сил F при всестороннем сжатии тела, вычисляемая по формулам (3.1,б).

3.2. Плоское (ПНС) и линейное напряженные состояния (ЛНС)

ПНС испытывает элементарная частица (рис.3.1, а) в том случае, когда отличны от нуля два главных напряжения; ЛНС имеет место, когда не равно нулю лишь одно главное напряжение из трех.

3.2.1. Основные формулы ПНС

На рис.3.5 представлен общий случай плоского напряженного состояния - на передней и задней грани главное напряжение равно нулю, остальные площадки, на которых заданы исходные напряжения (σz , σу τz у , τу z ,) – не являются главными (по ним действуют касательные напряжения).

Исходные напряжения связаны с относительными (линейными и угловыми деформациями в плоскости уz с помощью закона Гука

где G - модуль упругости второго рода (модуль сдвига).

Нормальное и касательное напряжения в произвольной площадке, наклоненной к исходной площадке с нормалью z под углом α (рис.3.5), определяются по формулам:

Относительные деформации в произвольном направлении связаны с линейными и угловыми деформациями в плоскости уz (3.6) следующими

11

Отметим, что в случае нагружения частицы или, например, тонкой пластины равномерным давлением q [МПа] в плоскости уz в любой точке и по всем направлениям в этой плоскости возникают одинаковые нормальные напряжения и линейные деформации, т.е.

Замечание. Из формул (3.8) и (3.10) следует, что в этом случае касательные напряжения и углы сдвига равны нулю.

3.2.2. Главные площадки и главные напряжения в случае ПНС

Положение главных площадок и величина действующих по этим площадкам напряжений определяются по формулам

главных напряжений, σ1 , σ2 или σ3 - индексы проставляются после определения численных значений с учетом, что одно из главных напряжений равно нулю (ПНС)

и 1 2 3 .

3.2.3. Экспериментальное определение напряжений при ПНС

Теоретические зависимости (3.9) и (3.6) дают возможность находить напряжения σz , σу τz у из эксперимента. В опасной точке с помощью специальных приборов (тензометров) устанавливаются относительные деформации но направлению осей , у, n (рис. 3.5 ):

тензометра.

По формуле (3.9) вычисляется относительный угол сдвига γz y . И, наконец, из выражений (3.6) определяются исходные напряжения в элементарной частице, выделенной вокруг опасной точки.

Задача 3.5. Определить, при каком соотношении между σz , σy и τz y (рис.3.5) напряженное состояние частицы материала будет линейным. Исследовать случаи, когда σz > 0, σy >0 и σz <

0, σy < 0.

Указание. В формуле (3.12) приравнять нулю одно из

Задача 3.6. При заданных условиях нагружения тонких пластин найти нормальные и касательные напряжения по нижней грани (рис.3.6, а) и в сечениях, проведенных по окружности (рис.3.6, б) и по параболе (рис.3.6, в); в двух

12

последних случаях определить точку в сечении, где действует τm a x , и вычислить

для проекций всех элементарных сил на вертикаль (рис.3.6, а); для схем на рис.3.6, б, в по исходным напряжениям σz , σy , значения которых находятся из .условий

нагружения пластины, найти σα и τα , используя выражения (3.7) и (3.8). Положение точки, где действует, определяется исследованием функции τα = f(α) на экстремум.

Задача 3.7. Упругие постоянные материала тонкой пластинки (Е, μ) известны. Найти угол α, при котором удлинение элемента АВ равно нулю

(рис.3.7).

Указание. По формулам (3.6)

находим εz , εy , а затем из выражения (3.9) определяем угол α, учитывая, что εα = 0.

Задача 3.8. При каком соотношении напряжений, действующих на тонкую квадратную (рис.3.8,а) и прямоугольную (рис.3.8, б) пластинку, длины диагоналей АВ не меняются?

Указание. См. решение предыдущей задачи.

Задача 3.9. При совместном действии на элемент (рис.3.9) растягивающих и сжимающих напряжений показание тензометра составило С = 14 мм. База тензометра 0 = 100 мм, коэффициент увеличения К = 1000. Упругие константы материала - Е = 2·10 5 МПа и μ = 0,3. Каким будет показание тензометра, если с элемента снять растягивающее напряжение?

Указание. По формулам (3.6) находим εz , εy , а затем из выражения (3.9), определив вначале εα (3.13), вычислим величину σα . Далее решаем задачу о сжатии элемента напряжением, равным σр а с т .

3.3. Теории прочности

Чаще всего оценка прочности материала в опасной точке производится по трем теориям прочности:

I) для пластичных материалов - по теории максимальных касательных

и теории октаэдрических касательных напряжений (или энергетической)

13

прочности при растяжении; σв с - предел прочности при сжатии. Отметим, что теория прочности О.Мора справедлива и для пластичных материалов - в этом случай выражение (3.16) совпадает с (3.14), т.к. ν = σТ р /σТ с = 1.

Коэффициенты запаса, по текучести и по разрушению определяются так:

Сравнение прочности элементарных частиц материала, находящихся в том или ином напряженном состоянии, осуществляется путем сопоставления величин эквивалентных напряжений.

Задача 3.10. Сопоставить степень опасности напряжённых состояний а), б), в) - рис.3.10 для одинакового материала.

Задача 3.11. Определить, какое напряженное состояние наиболее опасно (рис.3.11), используя теорию наибольших касательных напряжений.

Задача 3.12. Для напряженных состояний, изображенных на рис. 3.12 (напряжения даны в МПа), определить коэффициенты запаса: по текучести (рис.3.12, а) - материал

сталь, σТ р = σТ с = 240 МПа и по разрушению

(рис.3.12, б,в) - материал ковкий чугун, σв р = 500 МПа, σв с = 1700 МПа.

Задача 3.13. Для частицы из хрупкого материала (σв р = 2·σв с ) - рис.3.13 найти величину эквивалентного напряжения в функции от параметра п (- ∞< п<+∞).

14