Материал: Методика решения нест

2. Построение эпюр внутренних усилий

Данный раздел достаточно подробно рассматривается в традиционном курсе на всех специальностях. По той причине остановимся лишь на некоторых особенностях построения эпюр, которым не уделяется должного внимания на занятиях из-за лимита времени.

Отметим, например, что на практике нередко применяют защемленные подвижные опоры, в которых осуществляется линейное перемещение в горизонтальном или вертикальном направлениях - опоры В и С на рис.2.2, а, а также в обоих направлениях одновременно - опора Л на рис.2.2, б; реакции, возникающие в этих опорах, наказаны на рис.2.2.

Наличие промежуточных шарниров в конструкциях дает возможность составить дополнительные уравнения равновесия для стержней, расположенных с люфой стороны от шарниров.

Дифференциальные зависимости при изгибе:

- позволяют но только контролировать правильность построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов, но и непосредственно получить выражения для Q и М по участках, где интенсивность распределенной нагрузки меняется по сложному закону.

6

При нагружеиии бруса распределенной моментной нагрузкой интенсивностью ти , дифференциальные зависимости при изгибе (2.2) и (2.3) изменяются - вывод сделать самостоятельно из рассмотрения равновесия элемента dz (рис.2.4, а):

а выражение (2.1) остаётся прежним.

Дифференциальные зависимости справедливы при отсчете координаты z слева направо; положительные направления для внутренних силовых факторов (ВСФ) и иитенсивностей q и ти при изгибе указаны на рис.2.4, а.

Если нагрузка прикладывается перпендикулярно плоскости, в которой расположена ось бруса, то обращаются в нуль все ВСФ, действующие в этой плоскости.

На оси симметрии бруса или конструкции обращаются в нуль симметричные ВСФ - нормальная сила и изгибающие моменты (Nz , Мх , My ), если внешняя нагрузка кососимметрична, и кососимметричные ВСФ – поперечиные силы и крутящий момент (Qx , Qy , Mк ), - если внешняя нагрузка симметрична.

Задача 2.1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки (рис.2.1), загруженной распределенной нагрузкой, интенсивность которой изменяется го закону параболы.

Указание. Задавшись законом изменения нагрузки в виде = az2 + b·z + с, найти коэффициенты a, b, с из трех условий: при z = 0 и z = 2·l qz = 0; при z = l qz = q0 . Далее, используя выражения (2.1) и (2.2),

записать:

где постоянные интегрирования C1 (реакция левой опоры) и С2 (Момент на левой oпoрe) определить из граничных условий: при z = 0 и z = l Мх = 0.

Отметим, что в денном примере нам не пришлось предварительно вычислять реакцию левой опоры C1 .

Задача 2.2. При заданных условиях нагружения (рис.2.2, а, б) построить эпюры внутренних усилий.

Указание. Реакции в защемленных подвижных опорах для обеих схем, показанные на рис.2.2, а, б, определить или

из условий равновесия всей конструкции (реакции в опоре D на рис.2.2, б, а также RВ и Rc), или из условий равновесия брусьев ОВ, ОС, ОА, ОD расположенных по одну сторону от шарниров О (реактивные моменты МВ, МС, МА; реакция опоры D на рис.2.2, а).

При составлении выражений для Qy и Мx на участке, где действует синусоидальная распределенная нагрузка, воспользоваться указаниями к предыдущей задаче. Постоянные интегрирования С1 и С2 найти из условий, что в начале участка (при z = 0) имеем: Qу = RD, а Мxо= - МD + RD·l = 0.

7

Задача 2.3. Для заданных схем (рис.2.3, а-в) вычислить реакции опор, а для кривого бруса (рис.2.3, 6) и рамы (рис.2.3, в) построить также эпюры внутренних усилий.

Указание. Реакцию опоры В (рис.2.3, а) найти из условия, что равнодействующая этой реакции и силы F проходит через точку перегиба О (здесь Мx = 0). Реакция опоры С (рис.2.3, б) проходит через шарнир О, что следует из условия равновесия элемента ОС (ΣМО = 0). Реакция в другой опоре параллельна реакции RС и направлена противоположно ей, т.к. брус загружен парой сил. Для определения реакций опор в раме (рис.2.3, в) учесть, что она загружена кососимметрично и, следовательно, в сечении по оси симметрии (под углом 45°) действует лишь поперечная сила; из равновесия горизонтального (вертикального) участка ОА (ОР) определяется величина этой силы и параллельной ей реакции опоры.

Задача 2.4. Для схем, представленных на рис.2.4, б, в, построить эпюры внутренних усилий.

Указание. Так как распределенная нагрузки q и 2·q (рис.2.4, в) не действует по оси бруса, то она дополнительно создает распределенную по длине моментную нагрузку, интенсивность которой не одинакова на участках бруса.

Задача 2.5. По заданным эпюрам ВСФ (рис.2.5, б-г) восстановить внешнюю нагрузку на раму (рис.2.5, а).

Указание. Записав условия равновесия для малых элементов, вырезанных вблизи опорных сечений А, В и узлов рамы С, D, установить сосредоточенные внешние силы (активные и

реактивные), приложенные в указанных сечениях. Затем, используя выражение (2.2, а), найти интенсивности распределенной моментной нагрузки на участках АС,

CD, BD.

Задачи 2.6. He раскрывая статической неопределимости замкнуто контура (pиc.2.6, a-в), определить внутренние усилия и построить их эпюры.

Указание. Учесть кососимметричное и симметричное нагружение и рассмотреть условия равновесия элемента бруса АВ, выделенного на рис.2.6, а-в толстой линией.

8

3. Напряжённо-деформированное состояние. Теории прочности

Относительные деформации в направлении главных напряжений определяются по закону Гука

μ- коэффициент Пуассона.

Вслучае всестороннего растяжения или сжатия частицы (и любого тела) давлением q [ МПа ] напряжения в каждой точке тела по всем направлениям одинаковы, т.е.

Максимальное касательное напряжение в частице

оно действует на площадке, параллельной напряжению σ2 и наклонённой под углом 45° к напряжениям σ1 и σ3.

Для определения главных напряжений при ОНС используют кубическое уравнение вида:

3 J1 2 J 2 J 3 0 ,

9

В главных осях напряжений инварианты

J 1 1 2 3 , J 2 1 2 2 3 3 1 , J 3 1 2 3 .

Задача 3.1. а) Определить, как изменится объем кубика 1х1х1 см (рис.3.1, б-д), треугольной призмы ах hх l = 1х2x20 см (рис.3.1, е), а для схем на рис.3.1, в-е также и площадь верхней грани при заданных условиях нагружения. Вычислить удельную энергию изменения объема и формы. Известно: F = 10 кН; q - 100 МПа;

удельные потенциальные энергии изменения объема и формы достигают наибольшего и наименьшего значений.

Задача 3.3. Определить главные напряжения в сечениях стального и медного брусков, вставленных без зазора в жёсткую открытую коробку и нагруженных наружным давлением (рис.3.3). Известно: ЕС Т =2 ЕМ , μС Т , μМ .

Указание. Главные напряжения в верхних гранях обоих брусков равны (-q). Одинаковы также и главные напряжения в обоих брусках в направление оси x - величина их не известна. Эту величину и главные напряжения в брусках вдоль оси у найдем, решив три уравнения совместности деформаций:

10