Документ: Методика решения нест, страницы 1-5

МЕТОДИКА

РЕШЕНИЯ

НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

1. Геометрические характеристики поперечных сечения брусьев

1.1. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей

1.1.1. Геометрические характеристики поперечных сечений брусьев, вычисленные относительно главных центральных осей, входят в расчетные формулы для определения напряжений и перемещений в брусьях. Без знания этих характеристик невозможно оценить прочность жёсткость и устойчивость брусьев.

Между моментами инерции поперечных сечений относительно центральных осей x 0 , y 0 , параллельных им осей x, у и наклонённых к последним под углом α осей x 1 , y 1 (рис.1.1, а) существуют следующие зависимости:

J	x	J	x	a 2 A ;
			C
J	y	J	y		c 2 A ;		(1.1)
			C
J x y		J x		C	y	a c A ;
				C		C

J x 1 J x cos 2 J y sin 2 J x y J y 1 J y cos 2 J x sin 2 J x y

sin 2 ;

sin 2

(1.2)

J				J x J y	sin 2 J		cos 2
	x y					x y
			2
	1	1

a) у ус						у			у
			б) у0 у			в) у1		г)	у
			б) у0 у		x0	в) у1		г)
у1					x0			у1
								у1
		xс			α0
	0	xс			α0
	0		x1 0			x		x1
			x1 0			x		x1
		α						α
	у		x			у		x
д)	у			е)		у		ж)
д)		x		е)				ж)
		x
3b	у1	x1		6b	у1	x1		=b
3b				6b		x1		=b
								h
							α	h
		α					α
		α
	b				b	4b	x	b/2
	b				b	4b		b/2

Рис. 1.1

отдельных её частей параллельно

		Задача 1.1. Определить осевые и
		центробежные	моменты	инерции
d		сечения относительно осей x, у ; x 1 , y 1
		(рис.1.1, в-ж).
	x1
		Указание. При вычислении Jy в
	α
у	x	схемах рис.1.1. е, ж сечение разбить на

		два треугольника (слева и справа от
		оси у) и воспользоваться решением для
β		нахождения Jy в схеме рис.1.1, д.

b/2		1.1.2. Момент	инерция	плоской
		фигуры относительно некоторой оси не
		изменится при сдвиге всей фигуры или
данной		оси. Доказательство этого положения

следует из определения осевого момента инерции ( J x y 2 d A ) и рис.1.2, а.

A

Задача 1.2. Вычислить момент инерции сечения относительно оси x (рис.1.2, б-е) рациональным способом.

1.1.3. В некоторых случаях при определении момента инерции удобно достроить заданное сечение до такой фигуры, для которой величина осевого момента инерции известна (рис.1.3, а). Из рис. 1.3, а очевидно:

J x J x ABD J x ACD

	b	b
	a)	dy
	dA	dy
	dA
	h	y

x

г)

r R R r

	b 3b b 3b b
б)	H/2	h	в)1,5b b	3b b 1,5b
h	H/2	h	b
			x
	H/2	b	4b	x
			b	x
	b	b	b	2b b

b	д)		е)			x
2			6b			x
b22b		2b	6b	b3	b2	b2,5
		2b
			x
		12b
		Рис. 1.2

Задача 1.3. Для сечений, указанных на рис.1.3, б-г, вычислить момент инерции относительно оси x.

2

х

Указание. Дополнить сечения на

a)

б)

в)

5b

г)

рис.1.3,

б-г

соответственно

до

х

b

2b

параллелограмма,

двух

квадратов,

b

3b

r

кольца.

4b

2

2b

8b

R

х

3b

1.2. Главные оси и главные

4b

х

2b

моменты инерции сечения

Рис. 1.3

1.2.1. В теории геометрических характеристик широко используются формулы для определения направления главных осей и вычисления главных моментов инерции по известным осевым и центробежному моментам инерции относительно произвольных исходных осей х, у (рис.1.1, б):

tg 2 0

2 J x y

,

(1.3, а)

J x J y

J

x

J

y

J

x

J

2

y

2

J u J max

2

J x y .

(1.3, б)

v

min

Задача 1.4, Для сечений на рис.1.1, в-е найти положение главных осей инерции, проходящих через точку А, и величину главных моментов инерции.

Указание. Моменты инерции относительно осей х, у ( Jx, Jу, Jxу ) взять из задачи

1.1.

1.2.2. Основной признак главных осей - равенство пулю центробежного момента

инерции относительно этих осой:
Ju v = 0.	(1.4)
На использовании условия (1.4) основаны способы отыскания главных осей
инерция без определения угла α 0	по формуле (1.3, a).

Если сечение состоит из двух одинаковых фигур, расположенных под углом 90˚, то одна главная центральная ось проходит через центры тяжести обеих фигур, а другая

– перпендикулярно ей через центр тяжести сечения С (рис.I.5, а)..

Задача 1.5. Указать положение главных центральных осей инерции и ту из них в
каждом сечении (рис.1.5, б-г), относительно которой осевой момент инерции
минимален.				6b						2b b b
				6b
				a)	u	б)	в)		г)
Теорема.	Если сечение имеет			a)		б)	в)		г)
						v1
				b		v1
ось симметрии, то она, и любая ось,				2			6b
ось симметрии, то она, и любая ось,				1	с	v			3b
перпендикулярная		ей,	являются	1	с	v			3b
перпендикулярная		ей,	являются	b		v2
главными	осями		инерции.	6			b		b
Доказательство			данного		2		3		b
					2		3b	3b
					2b	b	3b	3b
утверждения очевидно из рис.1.6, а.					2b	b
утверждения очевидно из рис.1.6, а.							Рис. 1.5
Задача	1.6.	Не	проводя
вычислений, найти положение главных осей, проходящих через точку О плоской
фигуры (рис.1.6, б-з).
Указание. Сечение разбить на две фигуры и в первой провести ось симметрии,
которая перпендикулярна оси симметрии второй фигуры. Тогда Ju v								Ju(1v) Ju(2v) = 0.
										3

у

6b

d

Задача

1.7.

Для

заданных

сечений

(рис.1.7,

а-г)

определить

a)

х1

б)

в)

з)

b

о

х0

о

разность

моментов

инерции

b

о

относительно

главных

осей,

6

b

у

-х

х х

b

о

проходящих через точку О.

b

α

b

Указание.

Положение

главных

3b

г)

b

д)

2b

е)

ж)

осей,

проходящих

через

точку

О

-

2b

3b

смотри решение задачи 1.6.

b

о

2b

3b

2b

b

a)

b

б)

в)

b b

г)

4r

0

4r

Рис. 1.6

b

0

r

0

1.2.3. Если

сечение

имеет более

двух

r

осей симметрии (рис. 1.8,

а),

то

все

Рис. 1.7

центральные оси являются главными и

моменты инерции относительно их будут равны. Доказательство теоремы легко

получить из формулы (1.2), если принять, например, что оси y, y1

-

неперпендикулярные оси симметрии, т.е. главные центральные оси сечения, и потому

J x y

J x

y

= 0 ( у ┴ х, у1

┴ х1

). При этом из выражения для

J x

y

имеем Jx

= Jу.

1

Учитывая последнее равенство в выражениях (1.2),

убеждаемся,

что при любом α

центробежный

момент

инерции

v

y

y1

равен 0, а осевой момент инерции

a)

б)

в) y1

3b

г)

2b

- постоянен.

y1

α

u

3 b

х1

120°

х1

Задача

1.8.

Определить

α

х

α

y1

осевые и центробежный моменты

60°

30°

х1

bxb

инерция

плоской

фигуры

6b

относительно осей у1, х1 (рис. 1.8,

Рис. 1.8

б-г).

1.2.4. Если главные моменты инерции относительно двух осей, проходящих через некоторую точку сечения, равны, то все оси, проведенные через эту точку, являются главными и моменты инерции относительно их равны. Доказательство теоремы читатель легко получит из выражений (1.2), полагая, что оси х, у - главные и

a) y1

3b

б)

y1

в)

x1 г)

x1

Jx = Jу.

x1

b 2b

x1

α

2b

α 2b

α

Задача

1.9:

Найти

момент

α

b

2b

инерции

сечения

(рис.1.9)

2b

b

2b

Рис. 1.9

4b

относительно оси x1.

Задача

1.10.

Для

плоских

сечений

a)

у

б)

у

в)

у

г) у

3b

(рис.1.10)

найти

точки,

обладающие

таким

4b

x

2b

x

свойством, что все проходящие через них оси

x

о

3b

являются

главными.

Оси

х,

у

принять

b

центральными.

(для

рис.I.10,

г

считать

2b

3b

Рис. 1.10

известными

величины

Jx,

Jу,

Jxy).

Дополнительно исследовать последний случай (рис.1.10, г), когда Jxy = 0.

Указание. Через искомую точку 0 провести главные оси u, v, параллельные исходным осям х, у. По формулам (I.I) записать выражения для Jи, Jv, Juv. Координаты искомых точек (а; с) определяются из двух условий: Juv = 0 и Ju = Jv.

4

45º x

1.2.5. Если относительно произвольных ортогональных осей моменты инерции равны, то главные оси проходят через начало координат под углом 45° к исходным осям. Доказательство очевидно из формулы (1.3, а).

a)	x б)	x	в)		г)		д)	у
			3b		2b/3			u
2b							v	u
			6b				v
	α			x
	1,51,5bb			x
	b		2b	4b		o	kb	b
	b		2b	4b		b	kb	b
						b
				Рис. 1.11

(рис.1.11, а) найти точки, через которые главные

Задача 1.11. а) Для сечений, указанных на рис.1.11, а-в определить на оси x положение точек, через которые главные оси проходят под углом 45° к исходной оси x.

б) Для прямоугольника оси проходят под углом 45° к его

сторонам, если разность моментов инерции относительно главных осей равна 2 5b 4 .

в) Определить, при каком n максимальный момент инерции относительно оси, проходящей через точку 0 (рис.1.11. г), вычисляется по формуле Jv = Jx +│Jxy│.

г) В равнобедренном треугольнике (рис.1.11, д) определить высоту и разность моментов инерции относительно главных осей u, v, расположенных под углом 45°к осям х, у.

Указание. При решении задач воспользоваться формулами (1.3, а), и (1.3, б).

1.3 Определение осевых моментов инерции сечений, имеющих центральную симметрию

						1.3.1. Если сечение имеет центральную симметрию и
	y		2 R			1.3.1. Если сечение имеет центральную симметрию и
R						бесконечное количество главных центральных осей, то удобнее


	120°	120		°		сначала вычислить полярный, а потом, осевые моменты инерции
	120°			°		сначала вычислить полярный, а потом, осевые моменты инерции
						сечения.
					x
	120°

						Задача 1.12. Определить осевые моменты сопротивления Wx и
						Задача 1.12. Определить осевые моменты сопротивления Wx и
	Рис. 1.12					Wy данной плоской фигуры (рис.1.12).
	Рис. 1.12

РЕШЕНИЕ

Сечение имеет более двух осей симметрии, следовательно, все центральные оси будут главными и

J x J y	J p	Обозначим полярные моменты инерции

	2
	2

сегмента, круга и квадрата соответственно: J сегp , J крp , J квp .

	y
a)
2 R	x
2 R

Очевидно,							что для							каждого		сегмента (рис.1.12 Р, а)
J сегp			1	( J крp		J квр ) .							Учитывая,			что осевые			моменты
J сегp				( J крp		J квр ) .							Учитывая,			что осевые			моменты
	4																			R		4
																							,
инерции												квадрата						J квх J квy			2
инерции												квадрата						J квх J квy
									R				4						12

J квp	J квх				J квy						2			,						имеем
J квp	J квх				J квy					6				,						имеем
								R		6
					R		4					4			( 3 4 ) R		4
							4					4					4
J сегp		1									2							.
J сегp					2					6					24			.
	4				2					6					24

б)	хнаиб
	хнаиб
	15◦

унаиб

Рис. 1.12 Р

Тогда очевидно, что полярный момент заданной фигуры равен

5

Материал: Методика решения нест

Смотрите также: