Материал: Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине Компьютерные технологии в науке и образовании. Буслов В.А., Пашнева Т.В

СПРАВОЧНИК МАГНИТНОГО ДИСКА

(кафедра полупроводниковой электроники

и наноэлектроники)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению лабораторных работ по дисциплине

“Компьютерные технологии в науке и образовании”

для магистрантов, обучающихся по направлению

140400 «Техническая физика» специализации

140402 «Физика и техника полупроводников», Составители: в. А. Буслов, т.В. Пашнева

ЛабрабКТвНиО.doc 905 Кбайт 22.12.2008 2,3 уч.-изд.л.

(наименование файла) (объем файла) (дата) (объем издания)

ГОУВПО «Воронежский государственный

технический университет»

Кафедра полупроводниковой электроники и наноэлектроники

Методические указания

к выполнению лабораторных работ по дисциплине

“Компьютерные технологии в науке и образовании”

для магистрантов, обучающихся по направлению

140400 «Техническая физика» специализации

140402 «Физика и техника полупроводников»

В оронеж 2008

Составители: канд. физ.-мат. наук В.А. Буслов

канд. физ.-мат. наук Т.В. Пашнева

УДК 22.183.4

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине к выполнению лабораторных работ по дисциплине “Компьютерные технологии в науке и образовании” для магистрантов, обучающихся по направлению 140400 «Техническая физика» специализации 140402 «Физика и техника полупроводников» / ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. В.А. Буслов, Т.В. Пашнева Воронеж, 2007, 41 с.

В методические указания включены лабораторные работы по прикладным пакетам MathCAD и FLASH-MX, представлены методы решения наиболее распространенных в инженерной и учебной практике математических задач.

Методические указания соответствуют требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 140400 «Техническая физика», специальности 210104 “Микроэлектроника и твердотельная электроника”, дисциплине «Компьютерные технологии в науке и образовании».

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word for Windows и содержатся в файле ЛабрабКТвНиО.doc.

Табл. 6. Рис. 12. Библиогр.: 8 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Е.В. Бордаков

Ответственный за выпуск зав. кафедрой ППЭ,

д-р физ.-мат. наук, проф. С.И. Рембеза

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

© ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2008

Лабораторная работа №1

Оптимальное сглаживание методом наименьших квадратов

Цель работы: Получение навыков проведения сглаживания экспериментальных данных на основе метода наименьших квадратов.

Используемые материалы: ЭВМ с установленным п/о «MathCAD»

Теоретические сведения

Метод наименьших квадратов (МНК) - метод оценки параметров модели на основании экспериментальных данных, содержащих случайные ошибки. В основе метода лежат следующие рассуждения: при замене точного (неизвестного) параметра модели приблизительным значением необходимо минимизировать разницу между экспериментальными данными и теоретическими (вычисленными при помощи предложенной модели). Это позволяет рассчитать параметры модели с помощью МНК с минимальной погрешностью.

Мерой разницы в методе наименьших квадратов служит сумма квадратов отклонений действительных (экспериментальных) значений от теоретических. Выбираются такие значения параметров модели, при которых сумма квадратов разностей будет наименьшей – отсюда название метода:

= min

где Y – теоретическое значение измеряемой величины, y – экспериментальное.

При этом полученные с помощью МНК параметры модели являются наиболее вероятными.

Метод наименьших квадратов, а также его различные модификации (нелинейный МНК, взвешенный МНК и т.д.) широко используется в аналитической химии, в частности, при построении градуировочной модели. Как правило, предполагается линейная зависимость (параметры которой требуется установить) между аналитическим сигналом и содержанием определяемого вещества. В этом случае метод наименьших квадратов позволяет оптимизировать параметры градуировки (и получить наименьшую погрешность анализа), а сумма квадратов разностей теоретического и экспериментального значения аналитического сигнала является мерой погрешности градуировки и линейно связана с так называемой остаточной дисперсией (дисперсией адекватности модели). /1, 2/

1. Линейное сглаживание по трем точкам.

Линейное сглаживание по трем точкам выполняется с помощью следующих формул:

где N — номер последней точки (ординаты y_i).

2. Линейное сглаживание по пяти точкам.

Линейное сглаживание по пяти точкам выполняется с помощью следующих формул:

где N - номер последней точки (ординаты y_i).

3. Нелинейное сглаживание по семи точкам.

Нелинейное сглаживание по семи точкам — операция усреднения с помощью интерполяционного многочлена третьей степени. Выполняется с помощью формул:

где N - номер последней точки (ординаты y_i). /3/

Порядок выполнения работы

1. Провести линейное сглаживание данных, представленных в таблице 1, по трем точкам. Формула представлена в /1/

Таблица1.

Продолжение табл. 1

2. Провести линейное сглаживание данных, представленных в таблице 1, по пяти точкам. Формула представлена в /1/

3. Провести нелинейное сглаживание данных, представленных в таблице 1, по семи точкам. Формула представлена в /1/

Требования к оформлению отчета

Отчет должен содержать распечатку результатов выполнения заданий.

Лабораторная работа №2

Сплайн-аппроксимация и сглаживание данных

Цель работы: Получение навыков проведения сплайн-аппроксимации и сглаживания экспериментальных данных при помощи MathCAD

Используемые материалы: ЭВМ с установленным п/о «MathCAD»

Теоретические сведения

Аппроксимация. Аппроксимация, или приближение — математический метод, состоящий в замене одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны).

Под сплайном (от англ. spline - планка, рейка) обычно понимают агрегатную функцию, совпадающую с функциями более простой природы на каждом элементе разбиения своей области определения.

Классический сплайн одной переменной строится так: область определения разбивается на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим полиномом. Максимальная степень из использованных полиномов называется степенью сплайна. Сплайны имеют многочисленные применения как в математической теории, так и в разнообразных вычислительных приложениях. В частности, сплайны двух переменных интенсивно используются для задания поверхностей в различных системах компьютерного моделирования.

Интерполяция — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Для построения интерполяции-экстраполяции в MathCAD имеются несколько встроенных функций, позволяющих "соединить" точки выборки данных (x_i,y_i) кривой разной степени гладкости.

Линейная интерполяция. Для построения линейной интерполяции служит встроенная функция linterp

- linterp(х, у,t) - функция, аппроксимирующая данные векторов х и у кусочно-линейной зависимостью;

х - вектор действительных данных аргумента;

у - вектор действительных данных значений того же размера;

t - значение аргумента, при котором вычисляется интерполирующая функция.

Элементы вектора х должны быть определены в порядке возрастания, т. е. Х₁<Х₂<Х₃<. . . <X_N. Например:

Сплайн-интерполяция. Сплайн-интерполяция в MathCAD реализована чуть сложнее линейной. Перед применением функции interp необходимо предварительно определить первый из ее аргументов - векторную переменную s. Делается это при помощи одной из трех встроенных функций тех же аргументов (х,у).

- lspline(x,y) - вектор значений коэффициентов линейного сплайна;

- pspline(x,y) - вектор значений коэффициентов квадратичного сплайна;

- cspline(x,y) - вектор значений коэффициентов кубического сплайна;

- х,у - векторы данных.

Выбор конкретной функции сплайновых коэффициентов влияет на интерполяцию вблизи конечных точек интервала. Пример интерполяции кубическим сплайном:

Полиномиальная сплайн-интерполяция. Более сложный тип интерполяции - так называемая интерполяция В-сплайнами. В отличие от обычной сплайн-интерполяции, сшивка элементарных В-сплайнов производится не в точках x_i; а в других точках u_i, координаты которых предлагается ввести пользователю. Сплайны могут быть полиномами 1, 2 или 3 степени (линейные, квадратичные или кубические). Применяется интерполяция В-сплайнами точно так же, как и обычная сплайн-интерполяция, различие состоит только в определении вспомогательной функции коэффициентов сплайна.