Материал: Механика. Ч. 1. Статика. Ч. 2. Основы расчетов на прочность (90

2.70. Эпюра внутренних изгибающих моментов рис. 2.39 изображена на схеме… [простой выбор]…

q=10мН M=10Нм

Рис.2.39

62

2.72. Эпюра изгибающих моментов рис 2.41 показана на схеме… [простой выбор]

2)

3)

Рис. 2.41

64

2.73. Эпюра нормальных напряжений для бруса рис. 2.42 изображена на схеме… [простой выбор]…

65

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Определить положение центра тяжести круглой пластины радиуса R = 12 см с вырезом радиусом r = 6 см (рис.2.40)

Рис.2.40

Решение. Принимаем за ось x - ось симметрии заштрихованной фигуры, ось y – центр большого круга. Центр тяжести заштрихованной фигуры лежит на оси x, значит YC = 0.

Площадь большого круга A1 = πR2 = 4πr2 , координата центра тяжести x1 = 0 (точка С1).

Площадь малого круга A2 = πr2 , координата центра тяжести x2 = r (точка С2).

Площадь заштрихованной фигуры

A1 – A2 = 4πr2 - πr2 = 3πr2

Тогда координата центра тяжести

XC = (S1y – S2y)/ (A1 – A2) =

= (4πr2 ·0 - πr2 ·r)/ 3πr2 = - r/3 = - R/6 = 2 см

Отмечаем центр тяжести фигуры – т. С (левее т. С1) 66

Пример 2. Поршень цилиндра паровой машины имеет диаметр D = 400 мм (рис.2.41), а шток поршня – диаметр d = 56 мм. Давление пара 10 ат. Длина штока L = 750 мм, материал штока – сталь. Найти наибольшее напряжение в штоке и соответствующее изменение его длины во время одного хода машины.

Рис. 2.41

Решение. Давление пара в цилиндре – это распределенная поверхностная нагрузка, которая в данном случае равна q = 1 Н/мм2.

Эта нагрузка распределена на площадь поршня, которая составляет

А = π/4 (D2 - d2 )= 0,785 (4002 - 562 ) = 123000 мм2

Усилие в штоке составит P = A· q = 123000 H Площадь сечения штока равна а = (π·d2 /4) = 2462 мм2 Напряжение в штоке получится

σ = Р/а = 123000/ 2462 = 50 Н/ мм2 = 50 МПа

Удлинение штока будет равно

l = P· L/ E·a = σ·L/E = 50 ·750 /2·105 = 0,187 мм

67

Пример 3. Для стального стержня сплошного круглого сечения (рис.2.42) с диаметром D, вращающегося в подшипниках, построить эпюру внутренних скручивающих моментов и эпюру углов поворота сечений, приняв за неподвижное - сечение с моментом Т2.

Данные к расчету: Т1 = 800 Нм, Т2 = 300 Нм,

Т3 = 500 Нм, а = b = 0,5 м., c = 0,3 м,

T3 T2 T1

400K

Рис.2.42

68

Решение.

1) Разбиваем вал на участки I, II, III, IY и мысленно проводим сечения 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, отбрасываем любую часть вала (в данном случае – левую) и уравновешиваем оставшуюся часть вала внутренними крутящими моментами.

На участках I и IY напряжения не возникают и внутренние моменты равны нулю, т. к. вал вращается в подшипниках с какой-то постоянной скоростью.

Мкр 1 = 0; Мкр 2 = Т3 + Т2 – Т1 = 450 + 300 – 800 = 0

На участке II: Мкр2 = - Т1 = - 800 Нм (смотрим со стороны сечения, внешний момент вращает отсеченную часть по часовой стрелке, значит внутренний момент отрицательный)

На участке III: Мкр3 = -Т1 + Т2 = -800 +300 = -500 Нм

Строим эпюру внутренних крутящих моментов.

2) Наиболее опасный участок – участок II. Если бы нам потребовалось определить диаметр вала из условия прочности по формуле

D ≥ 3√ 16 [Mкрмакс] / (π [ τ ]) , то [Mкрмакс ] = 800 Нм Предположим, что диметр вала определен.

3) Определяем углы поворота сечений на каждом участке по формуле:

69

∆φ = (Мкр · L) / (G · Ip) рад,

где Мкр – внутренний крутящий момент на участке, L – длина участка,

G = 8 ·104 МПа – модуль сдвига для стали, Ip = 0,1D4 - полярный момент инерции для сплошного круглого сечения.

Т.к. материал и диаметр вала постоянны, то можно заменить выражение 1/(G·Ip) на какую-то постоянную величину К.

Тогда ∆φ = (Мкр · L) / К;

∆φ2 =( - 800 ) · 0,5 · К = - 400 К рад; ∆φ3 = (-500) · 0,5·К = -250 К рад;

∆φ1 = ∆φ4 = 0, т.к. концы валов вращаются в подшипниках, Мкр = 0 , поэтому там все сечения поворачиваются на столько же, на сколько поворачиваются предыдущие сечения II и III. Участки эпюры φ здесь горизонтальны.

φ2пр = φ2лев + ∆φ2 = 0 – 400 К = - 400 К рад

φ3пр = φ3лев + ∆φ3 = 0,

отсюда φ3лев = φ3пр - ∆φ3 = 0 + 250 К = 250 К рад

Строим эпюру углов поворота

70