Материал: Лекция№9

T линейчатым и эквидистантным и расстояние между соседними спектральными линиями должно равняться ω1 = 2π/ T0 .

T Поскольку s(t) – функция общего вида, из свойства 4 вытекает, что коэффициенты Cn должны быть комплексными и θn могут принимать лю-

бые значения (не только 0, π, или ± π/ 2 ).

T s(t) – вещественная функция времени, то есть модули коэффициентов ряда Фурье должны иметь четную, а аргументы – нечетную симметрию относительно частоты.

По формуле (3.19) найдем коэффициенты ряда Фурье.

C0 = Eτ/ T0 .

Перейдем от частоты ω [радÿс-1] к частоте f [Гц], то есть подставим в (3.29) ω1 = 2πf1, где f1=1/Т0. Получим:

По выражению (3.30) можно уже построить спектр сигнала s(t). Однако, прежде чем это делать, рассмотрим несколько важных функций, часто используемых при анализе сигналов и систем (цепей).

Первая функция, которую мы рассмотрим, это функция Sinc(z). По определению

Значения этой функции приведены в табл. А.1 приложения А учебника, стр. 531, график – на рис. 3.7а). Анализируя формулу (3.31), можно убедиться в том, что Sinc(z)=0, когда z = ±1, ±2, ±3, K. Эта функция четная и прини-

мает максимальное значение равное 1, когда z=0. При z →∞ амплитуда колебаний значений функции стремится к нулю.

Рисунок 3. 7

Следующая функция – это Sа(у). Функция Sа(у) по определению равна

Из (3.32) следует, что функции Sinc(z) и Sа(у) тесно связаны между собою и

рис. 3. 7а)).

Часто при анализе сигналов и систем используется функция Sinc2(z). График этой приведен на рис. 3. 7б), а значения – в табл. А.1. Свойства этой функции вытекают из свойств функции Sinc(z). Отметим только одно, а имен-

но: при |z|ض значения этой функции очень быстро стремятся к нулю. Это свойство мы неоднократно используем в дальнейшем.

Наконец, по аналогии с функцией Sinc2(z) вводится функция Sа2(у). График ее приведен на рис. 3.7б).

U В том случае, когда спектр сигнала ищется как функция

частоты ω [радÿс-1], удобно использовать Sa( y) u Sa2 ( y) .

U В том же случае, когда спектр сигнала рассчитывают как функцию частоты f [Гц], удобнее использовать функции Sinc(z) и Sinc2(z).

Вернемся к примеру.

Продолжение решения задачи Примера 3.3

13

Используя введенные функции, выражение (3.30) можно записать так:

Введем важную характеристику периодического сигнала: величина q =T0 / τ – отношение периода следования импульсов прямоугольной формы

к их длительности – называется скважностью (по-украински щілинністю)

периодической последовательности импульсов с прямоугольной формою

Теперь (3.33) можно записать в виде

Чтобы построить спектр сигнала, необходимо найти модули и аргументы коэффициентов Cn .

Можно строить спектр. Примем, например, что скважность q=5. На рис. 3.8а) приведен двусторонний спектр сигнала s(t).

Рисунок 3.8

Частота первого обращения огибающей спектра амплитуд (изображена пунктирной линией) в нуль равна f = q f1 =1/ τ или ω= q2πf1 = 2π/ τ.

Частота первой гармоники – f1=1/Т0 или ω1 = 2π/ T0 .

Угол наклона огибающей спектра фаз определяется первой составляющей (3.36), на частотах, где функция Sinc(n/q) меняет знак, к фазе θn

14

прибавляется ± π.

На рис. 3.8б) показан спектр сигнала s(t) при косинусной записи ряда Фурье. Учтем, что An = 2 | Cn | , A0 =| C0 | , f ≥ 0 , n ≥ 0 . Фазочастотный

°

Пример 3.4

Найдем среднюю мощность, выделяемую на сопротивлении 1Ом, синусоидального колебания s(t)=4sin (50pt), В.

Решение:

Сначала воспользуемся формулой (1.11). Получим:

Найдем эту же величину, воспользовавшись теоремой Парсеваля.

В комплексно-экспоненциальной форме записи ряда Фурье отличными

от нуля будут только два коэффициента: C−1 =C1 = 2 j . Тогда Р0=4+4=8 Вт.

°

Очень рекомендую самостоятельно разобрать пример 3.5. В кон-

трольной работе, которую вам нужно будет писать, будут и подобные задачи. На этом мы закончим изучение спектров периодических сигналов (сиг-

налов, заданных на конечном интервале времени) и рядов Фурье.

ЗАДАЧИ к лекции 1

1.Для сигнала, ррассмотренного в примере 3.2, записать ряд Фурье в синускосинусной форме и в косинусной форме. Убедитесь в том, что оба эти ряда

одинаковы. Приведите обоснование этому.

2.Провести предварительный анализ сигнала и его ожидаемого спектра. Рас-

считать и построить спектр периодического сигнала по тригонометрической

и комплексно-экспоненциальной системам функций.

s(t) = Acos2 (2πf0t), A=10B, f0=10кГц.

3. Провести предварительный анализ периодического сигнала, приведенного на рис. 3.36, и его ожидаемого спектра. Рассчитать и построить спектр этого