Материал: Лекция№9

1

ВВЕДЕНИЕ

Вторая часть курса «Теория электрических сигналов и цепей (систем)» является продолжением первой части, где основное внимание было уделено линейным системам с постоянными параметрами, то есть некоторым идеализированным моделям, которые соответствуют реальным системам только при некоторых существенных ограничениях, о которых речь пойдет далее.

По плану на вторую часть отведено 40 часов лекций, 14 часов практических занятий и 24 часа лабораторных работ, то есть 78 часов аудиторных занятий. Столько же часов отведено на самостоятельную работу студента. На это необходимо обратить серьезное внимание:

каждая лекция – 2 академических часа, следовательно, чтобы освоить материал курса, необходимо затратить, как минимум, столько же времени на самостоятельную проработку материала лекции;

на подготовку к каждому практическому занятию необходимо посвятить, как минимум, 2 часа самостоятельной работы (решению типовых задач, которые будут вам выданы);

на подготовку к лабораторной работе и ее сдаче требуется не менее 4-х часов самостоятельной работы.

Только при выполнении требований этого учебного графика можно надеяться, что те контрольные работы, коллоквиумы и т. д., которые вас ожидают, вы придете без существенных потерь в ваших рядах.

Материал 2-й части курса включает следующие темы:

1.Спектры детерминированных сигналов и их свойства.

2.Дискретные и цифровые сигналы и метолы их анализа.

3.Методы анализа прохождения детерминированных сигналов через линейные системы (цепи) с постоянными параметрами.

4.Линейные системы с обратной связью. Устойчивость линейных систем.

5.Преобразование сигналов в нелинейных системах (цепях).

6.Генерирование синусоидальных (гармонических) колебаний. Автоколебательные системы.

7.Системы с переменными параметрами. Параметрическое усиление сигналов и генерирование гармонических колебаний.

Как следует уже из этого перечня, круг вопросов, которые нам нужно рассмотреть, очень широк. Еще раз подчеркиваю: освоить, отчитаться и получить достойную оценку можно только при выполнении тех требований, о которых речь шла выше.

Литературы, где с той либо другой степенью полноты и строгости дано изложение вопросов 2-й части курса много. Рекомендую вам пользоваться учебником Волощук Ю.І. Сигнали та процеси у радіотехніці: підручник для студентів вищих навчальних закладів, том 1, 2, 3, 4. Для удобства пользова-

2

ния учебником номера примеров, рисунков и упражнений приведены такими, как в учебнике: первая цифра – номер раздела, вторая – порядковый номер. Например, Рисунок 2.1 – это первый рисунок из раздела 2. Примеры, в отли-

чие от учебника, набраны курсивом и оканчиваются значком °. Библиотека ХНУРЭ располагает достаточным количеством экземпля-

ров этого учебника. В начале каждой лекции приведена ссылка на соответствующий том с указанием страниц, где материал изложен гораздо подробнее, чем это можно сделать на лекции, с большим количеством примеров решения типовых задач и т. д.

В конце каждой лекции приведены задачи. Именно эти задачи и будут включены в контрольные работы по модулям. Некоторые из них решим на практических занятиех, остальные – для самостоятельного решения.

Теперь можно приступить собственно к лекции, тема которой сформулирована в названии лекции.

ЛЕКЦИЯ 1

СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ И ИХ СВОЙСТВА.

Основная литература.

Волощук Ю.І. Сигнали та процеси у радіотехніці: Підручник для вищих навчальних закладів, том 1–Харків: «Компанія СМІТ», 2003.

с. 102–125.

Дополнительная литература: Тот же том учебника разделы 1 и 2.

В 1807 году барон Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830 гг.) высказал смелое утверждение, что с помощью бесконечного ряда вида

можно представить любую произвольную периодическую с периодом Т фун-

кцию, причем даже такую, которая содержит разрывы. Он также получил формулы, с помощью которых можно рассчитать коэффициенты ряда an и

bn .

Пример 2.1

В качестве первого примера рассмотрим тригонометрический ряд Фурье вида:

дены на рис. 2.1.

Рисунок 2.1

Анализируя последовательность графиков, видим, что чем больше членов ряда формируют колебание, тем ближе оно по своему виду к так называемой "прямоугольной волне" или "меандра"– периодического колебания прямоугольной формы.

Обратите внимание на следующее:

{ Количество максимумов (минимумов) на графике каждой из частичных сумм равняется наибольшему порядку гармоники, которая присутствует в частичной сумме.

|Некоторые особенности на рисунках заметны при тех значе-

ниях аргумента ω0t , где функция, представляемая тригонометрическим рядом (в рассматриваемом случае это меандр), имеет разрыв ( ω0t = π, 2π).

Это явление называется «явлением Гиббса». Подробнее об этом явлении заинтересованные студенты могут прочитать в подразделе 3.3 первого то-

ма. °

Пример 2.2

Рассмотрим частичные суммы такого тригонометрического ряда:

де 2π/ ω0 =T0 − период. Графики нескольких частичных сумм этого ряда

приведены на рис. 2.2.

Анализируя последовательность этих графиков, можно отметить,

4

что чем больше членов ряда формируют соответствующее колебание, тем больше оно приближается по своему виду к периодическому колебанию пилообразной формы. Как и в предыдущем примере, каждая добавляемая составляющая ряда Фурье уменьшает размах колебаний относительно пилообразного колебания y(t). Частота этих колебаний равняется частоте составляющей суммы, которая имеет наибольшую частоту. И в этом случае проявляются особенности на графиках при тех значениях аргумента ω0t , где

функция, представленная тригонометрическим рядом (теперь это пила),

Рисунок 2.2

имеет разрыв.

°

Фурье был в большей степени инженером или физиком, нежели математиком, и его доказательства этих утверждений не удовлетворило даже его современников. Фурье изложил свои идеи в работе, посланной на конкурс во Французскую академию. Жюри – в его состав входили Лаплас, Лагранж и Лежандр – присудило Фурье премию, однако указало на отсутствие строгости в математических методах, которые он использовал.

Первое строгое доказательство теоремы Фурье было выполнено Дирихле в 1829 году, однако исчерпывающее исследование этой проблемы стало возможным только в начале ХХ столетия, когда была развита теория интеграла Лебега, то есть почти через сто лет после того, как впервые была сформулирована теорема Фурье. И в настоящее время исследования рядов Фурье остается активной областью математики.

Важно подчеркнуть, что, строго говоря, методы анализа Фурье неприменимы к некоторым функциям (в частности, если функция имеет бесконечное число конечных разрывов на конечном интервале времени). Однако, и

это очень важно, ряд Фурье всегда сходится, если входная функция представляет собой результат физических измерений. Таким образом, при анализе любых физических электрических сигналов можно использовать метод Фурье.

Сигнал s(t) является периодическим с периодом Т, если выполня-

ется следующее условие:

Поскольку все свойства такого сигнала полностью определены на ин-

5

тервале времени, равном периоду Т, разложение периодического сигнала с периодом повторения Т в ряд Фурье совпадает с разложением сигнала, заданного на конечном интервале Т. Если базисной системой функций является

система тригонометрических функций sin x, cos x или e jx ( j = −1 — мнимая единица), ряд Фурье периодического сигнала s(t) можно записать в одной из трех формах.

¾ Три формы записи ряда Фурье периодических сигналов

Тригонометрическая синус-косинусная (квадратурная) форма

В этом случае в качестве базисной системы функций используется система {ϕn (t)} ={cos(nω1t), sin(nω1t)}, где ω1 = 2π/ T . Тогда ряд Фурье имеет

вид:

+b1 sin(ω1t) +b2 sin(2ω1t) + , −∞ < t < ∞.

Записав (3.1) в компактной форме, получим

где n – целое число.

Задание состоит в том, чтобы для заданного сигнала s(t) найти коэффи-

циенты ряда a0, a1, a2, ÿ ÿ ÿ ,b1, b2, ÿ ÿ ÿ.

Формулы для расчета коэффициентов получите самостоятельно. Если возникнут трудности, обратитесь к учебнику стр. 104, 105. Здесь же просто выпишем.

Итак,