Материал: Лекция№9

6

Ряд Фурье в синус-косинусной форме записывается так:

В общем случае совокупность двух множеств коэффициентов

{ an и | bn

называется спектром сигнала s(t) в синус-косинусной форме записи ряда Фурье.

Рассмотрите пример 3.1 (стр. 106), где рассчитаны коэффициенты ряда Фурье в синус-косинусной форме для примера 2.1, рассмотренного выше, и построены графики спектра.

Отметим одно важное свойство спектров при использовании синускосинусной формы записи ряда Фурье.

Как следует из анализа формул расчетов коэффициентов (3.7) и (3.8), в случае, когда сигнал s(t) является четной функцией времени, коэффици-

енты bn=0. Если же сигнал s(t) является не-

четной функцией времени, коэффициенты

an=0.

Рассмотрим случай, когда s(t) является

функцией общего вида.

Любую функцию s(t) можно представить как сумму ее четной s1(t) и нечетной s2(t) составляющих, то есть записать s(t) = s1(t) + s2 (t) ,

гда становится очевидным, что an есть коэффициенты разложения в ряд Фурье составляющей s1(t), а bn – коэффициенты разложения в ряд Фурье составляющей s2(t).

Тригонометрическая косинусная (полярная) форма записи ряда

Фурье

Переход от синус-косинусной формы записи ряда Фурье к косинусной форма базируется на использовании известной формулы тригонометрии

7

n=1

где A0 = a0 / 2 . Таким образом,

Ряд Фурье в косинусной форме записывается так:

∞

s(t) = A0 + ∑An cos(nω1t +θn ) , −∞ < t < ∞ , где A0 = a0 / 2,

n=1

При использовании этой формы записи ряда Фурье спектр сигнала s(t)

является односторонним.

См. рис. 1.4а) на стр. 15 учебника и пояснения к нему.

U Чтобы построить график одностороннего спектра амплитуд

(амплитудного спектра) периодического сигнала s(t), необходимо отложить значения A0 , A1, A2 , K на частотах 0, ω1, 2ω1, K, соответственно.

U Чтобы построить односторонний фазовый спектр периодиче-

ского сигнала s(t), необходимо отложить значения начальных фаз θ1, θ2 , K гармоник на частотах ω1, 2ω1, K, соответственно.

Самостоятельно разберите пример 3.2, стр. 109 – 112.

Комплексно-экспоненциальная форма записи ряда Фурье

Чтобы записать ряд Фурье в комплексно-экспоненциальной форме, достаточно в косинусной форме ряда Фурье сделать замену

Если это проделать, получим необходимые формулы (подробнее см. стр. 113).

Формула (3.19) называется прямым преобразованием Фурье периоди-

8

ческого сигнала s(t) по системе комплексно-экспоненциальных функций, а ряд (3.17) – обратным преобразованием Фурье по системе комплексноэкспоненциальных функций.

Таким образом,

Ряд Фурье в комплексно-экспоненциальной форме записывается так:

Отличительной особенностью комплексно-экспоненциальной формы ряда Фурье есть то, что здесь формально введены колебания с отрицательными частотами и, следовательно, спектр становится двусторонним. Поясняется это тем, что в данном случае реальный сигнал получается из комплексных составляющих ряда Фурье. Пояснением этому служит формула (1.6) и рис. 1.4б) стр. 15 учебника. При необходимости всегда можно избавиться отрицательных частот и перейти к косинусному ряду Фурье и одностороннему спектру. Однако нужно подчеркнуть, что рас-

считать коэффициенты Cn обычно намного проще, чем коэффициенты

Таким образом,

U Чтобы поострить двусторонний спектр амплитуд (ампли-

тудный спектр) периодического сигнала s(t), необходимо отложить значе-

ского сигнала s(t), необходимо отложить значения K, θ−2 , θ−1, θ0 , θ1, θ2 , K на частотах K,−2ω1, −ω1, 0, ω1, 2ω1, K, соответственно.

¾ Связь коэффициентов рядов Фурье, записанных в косинусной и ком-

плексно-экспоненциальной формах

Выберем из ряда (3.17) два члена с индексами n и –n. Учтем (3.20), (3.16) и найдем их сумму.

9

Cne j n ω1t +C−ne− j n ω1t =| Cn | e j (n ω1t +θn ) +| C−n | e j(−n ω1t +θ−n ) =

=| Cn | [e j(n ω1t +θn ) +e− j(n ω1t +θn ) ]= 2 | Cn | cos (n ω1t +θn ) .

Теперь ряд (3.17) можно записать в виде

∞

s(t) = C0 + ∑2 | Cn | cos(nω1t + θn ) . (3.21)

n=1

Обратите внимание на то, что в ряде (3.21) отсутствуют отрица-

тельные частоты.

Осталось сравнить выражение (3.21) с выражением (3.12) и получить,

что

Фазовые спектры на положительных частотах для одной и другой форм записи совпадают.

Прежде чем рассмотреть пример вычисления коэффициентов Cn , сфо-

рмулируем основные свойства спектров периодических сигналов. Знание этих свойств существенно упрощает расчеты спектров и, главное, позволяет избежать многих ошибок.

¾ Свойства спектров периодических сигналов

Рассмотрим их на примере комплексно-экспоненциального ряда Фурье.

Две характеристики – амплитудная и фазовая, то есть, модули и ар-

гументы комплексных коэффициентов ряда Фурье полностью определяют спектр периодического сигнала.

Спектр периодического сигнала является дискретным или линей-

чатым. Он состоит из отдельных линий (точек) на соответствующих часто-

тах K,−2ω1, −ω1, 0, ω1, 2ω1, K.

Спектры периодических сигналов являются эквидистантными, то есть спектральные линии располагаются одна от соседней другой на расстоянии ω1 = 2π/ T . Частота ω1 называется частотой первой гармоники.

Коэффициенты ряда Фурье, а, следовательно, и спектры обладают свойством симметрии относительно частоты ω= 0 .

Докажите справедливость (3.24) самостоятельно. Если возникнут трудности, обратитесь к учебнику, стр.116.

Таким образом, если сигнал s(t) является действительной функцией времени, то модули коэффициентов ряда Фурье обладают четной симметрией относительно индекса n, следовательно, и частоты, а аргументы – не-

четной симметрией относительно индекса n, следовательно, и частоты.

Если s(t) является действительной и четной функцией времени, то

10

мнимые части коэффициентов ряда Фурье Cn равняются нулю или, что то же

самое, коэффициенты синус-косинусного ряда Фурье bn= 0.

Из условия θn = −arctg(bn / an ) вытекает, что θn может принимать только

два значения: 0 или ± π.

Если s(t) является действительной и нечетной функцией времени, то вещественные части коэффициентов ряда Фурье Cn равняются нулю или,

что те же самое, коэффициенты синус-косинусного ряда Фурье an= 0. В этом случае θn может принимать только два значения: π/2 или – π/2.

Если сигнал s(t) удовлетворяет свойству нечетной полупериодиче-

Теорема Парсеваля для периодических сигналов.

Средняя мощность P0 периодического сигнала равна

Таким образом,

Средняя мощность периодического сигнала есть сумма средней мощ-

ности постоянной составляющей и средних мощностей гармонических составляющих сигнала

По формуле (3.27) можно найти среднюю мощность периодического сигнала в частотной области его представления. Во временной области среднюю мощность периодического сигнала можно найти так:

Докажите самостоятельно, что для периодического сигнала средние мощности, рассчитанные по формулам (1.11) и (3.27) – теорема Парсеваля – одинаковы. Если возникнут трудности, обратитесь к учебнику, стр. 117.

Пример 3.3

Рассчитаем и построим спектр периодической последовательности импульсов прямоугольной формы

где Т0 – период, t0 – произвольная величина, определяющая задержку сигнала относительно t = 0, τ – длительность каждого из импульсов их периодической последовательности. Для импульсных сигналов прямоугольной формы введено такое обозначение: