Практическое задание: Измерения. Запись и обработка результатов. Оценка погрешностей

Измерения. Запись и обработка результатов. Оценка погрешностей

Министерство образовании и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Уфимский государственный авиационный технический университет»

Кафедра «ПГМ»

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к отчету лабораторной работы №1

по дисциплине «Основы инженерного и научного эксперимента»

Уфа-2014 г.

ИЗМЕРЕНИЯ. ЗАПИСЬ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ

Цель работы:

Ознакомиться с основным принципами обработки результатов, оценки погрешностей;

Научиться оценивать погрешность измерений, правильно записывать результат измерения и построить график.

1.  ИЗМЕРЕНИЯ И ИХ ПОГРЕШНОСТИ

В основе точных естественных наук лежат измерения. При измерениях значения физических величин выражаются в виде чисел, которые указывают, во сколько раз измеренная величина больше или меньше другой величины, значение которой принято за единицу.

Получение надежных числовых значений физических величин отнюдь не является простой задачей из-за многочисленных погрешностей, неизбежно возникающих при измерениях. Ниже мы рассмотрим эти погрешности, а также методы, применяемые при обработке результатов, полученных при измерениях. Владение этими методами нужно для того, чтобы научиться получать из совокупности измерений наиболее близкие к истине результаты, вовремя заметить несоответствия и ошибки, разумно организовать сами измерения и правильно оценить точность полученных значений.

Измерения делятся на прямые и косвенные. Прямые измерения производятся с помощью приборов, которые измеряют исследуемую величину. Так, массу тел можно найти с помощью весов, длину измерить линейкой, а время - секундомером. Те же величины в других случаях могут быть найдены только с помощью косвенных измерений - путем пересчета других величин. Так находится масса Земли, расстояние от Земли, до Солнца, измерения плотности жидкости по ее массе и объему, расхода жидкости - по величине и времени его заполнения, также принадлежат к косвенным измерениям.

Качество измерений определяется их точностью. При прямых измерениях точность опытов устанавливается из анализа точности метода и приборов, а также из повторяемости результатов измерения. Точность косвенных измерений зависит как от надежности используемых для расчета данных, так и от структуры формул, связывающих эти данные с искомой величиной.

Точность измерений характеризуется их погрешностью. Погрешностью измерений называют разность между найденным на опыте и истинным значениями физической величины. Обозначая погрешность измерения величины х символом D х, найдем

измерение погрешность значение разность

Dх = хизм-хист, (1.1)

Кроме абсолютной погрешности Dх часто бывает важно знать относительную погрешность dх, которая равна отношению абсолютной погрешности к значению измеряемой величины:

. (1.2)

Качество измерений обычно определяется именно относительной, а не абсолютной погрешностью. Одна и та же погрешность в 11 мм при измерении длины комнаты не играет роли, при измерении длины стола может уже быть существенна, а при определении диаметра болта совершенно недопустима. Это происходит потому, что относительная погрешность измерений в первом случае составляет 2×10-4, во втором - 10-3, в третьем может составлять десятки процентов и более. Чтобы говорить об абсолютной и относительной погрешности измерений, часто говорят об их абсолютной и относительной ошибке. Между терминами "погрешность" и "ошибка" нет никакого различия и мы будем пользоваться ими обоими.

Как следует из (1.1) и (1.2), чтобы найти абсолютную и относительную погрешность измерений, нужно знать не только измеренное, но и истинное значение интересующей нас величины. Но если истинное значение известно, то незачем производить измерения. Цель измерений состоит в том, чтобы узнать неизвестное заранее значение физической величины и найти если не ее истинное значение, то хотя бы значение, достаточно мало отличающееся от него. Поэтому формулы (1.1) и (1.2), определяющие величину погрешностей, для практики непригодны. При практических измерениях погрешности не вычисляются, а оцениваются. При оценках (которые редко удается провести с точностью лучше 2%- 30 %) учитываются условия проведения эксперимента, точность методики, качество приборов и ряд других факторов.

Наша цель заключается в том, чтобы научиться разумно строить методику эксперимента, правильно использовать полученные на опыте данные для того, чтобы находить достаточно близкие к истинным значениям физических величин и разумно оценивать погрешность измерения.

2. СЛУЧАЙНЫЕ И СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ

Говоря о погрешностях измерений, следует, прежде всего, упомянуть о грубых погрешностях (промахах), возникающих вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры. Такие ошибки происходят, если, например экспериментатор неправильно прочтет номер деления на шкале, если в электрической цепи произойдет замыкание и вследствие других подобных причин. Грубых ошибок следует избегать. Если установлено, что они произошли, соответствующие измерения нужно отбрасывать.

Не связанные с грубыми ошибками погрешности опыта делятся на случайные и систематические. Многократно повторяя одни и те же измерения, можно заметить, что довольно часто их результаты не в точности равны друг другу, а "пляшут" вокруг некоторого среднего. Погрешности, меняющие величину и знак от опыта к опыту, называют случайными. Случайные погрешности исследуются путем сравнения результатов, полученных при нескольких опытах, поставленных в одинаковых условиях. Два - три измерения следует производить всегда. Если они совпали, то на этом следует остановиться. Если же они расходятся, нужно попытаться понять причину расхождения. Часто она связана с неисправностью приборов, ненадежностью контактов, отсутствием смазки, ненадежным закреплением и т.д. Поэтому, прежде всего, нужно попытаться исправить аппаратуру. Если устранить причину не удается, нужно произвести несколько измерений и записать полученные результаты. Как следует поступать дальше, будет рассмотрено ниже.

Систематические погрешности сохраняют свою величину и знак во время эксперимента. Они могут быть связаны с ошибками приборов и с самой постановкой опыта.

В результате систематических погрешностей, разбросанных из-за случайных ошибок, результаты опыта колеблются не вокруг истинного, а вокруг некоторого смещенного значения.

Рис. 1 поясняет различие между случайными и систематическими погрешностями. В ситуации, изображенной на рис. 1, а систематическая погрешность пренебрежимо мала. Измеренные значения отличаются от истинного вследствие случайных ошибок опыта. На рис. 1,б изображены результаты опыта при наличии как случайных, так и систематических погрешностей.

Рис. 1 - Разброс результатов вокруг истинного значения при отсутствии (а) и при наличии (б) систематической погрешности

При желании систематические погрешности опыта могут быть изучены и скомпенсированы путем внесения поправок в результаты измерений. Но, как правило, этого не делают. Если систематическая погрешность опыта слишком велика, то проще поставить новые, более точные приборы.

Следует всегда помнить - различие между систематической и случайной погрешностями всегда можно и нужно устанавливать с полной определенностью.

Случайные погрешности

Случайные величины, к которым относятся случайные погрешности, изучаются в теории вероятностей и в математической статистике. Мы здесь опишем - с пояснениями, но без доказательств - основные свойства и основные правила обращения с такими величинами в том объеме, который необходим для обработки результатов измерений, полученных в лаборатории. В этом параграфе мы будем предполагать, что систематические погрешности пренебрежимо малы а все ошибки сводятся к случайным. Позднее, в п.1.5, мы обсудим, как следует поступать в тех случаях, когда нужно принимать во внимание как случайные, так и систематические погрешности опыта.

Рассмотрим для примера данные, полученные при измерении массы тела на весах, у которых имеется область застоя из-за трения призмы на подушке (разброс результатов для наглядности преувеличен). Пусть масса тела близка к 48 мг, результат измерений удается, отсчитать по шкале с точностью до 0,1 мг. Имеем:

Вместо одного нужного нам результата мы получили одиннадцать. Что делать с полученными цифрами? Как найти из них достаточно близкое к истинному значению массы тела и как оценить погрешность полученного результата? Этот вопрос подробно изучается в математической статистике. Мы здесь изложим соответствующие правила без вывода.

В качестве наилучшего значения для измеренной величины обычно принимают среднее арифметическое из всех полученных результатов.

.(1.3)

В нашем случае получим

Этому результату следует приписать погрешность, определяемую формулой

. (1.4)

В нашем случае

Результат опыта записывается в виде

. (1.5)

В нашем случае .

Прежде всего, попытаемся понять, как результат расчета зависит от числа измерений. Формула показывает, что Xcpoт числа измерений зависит слабо. Все слагаемые, входящие в числитель, приблизительно равны друг другу. Их сумма пропорциональна числу слагаемых. После деления на знаменатель получается величина, мало зависящая от числа измерений. Так, конечно, и должно быть. Среднее измеренное значение - при правильной методике опыта - всегда лежат вблизи истинного значения и в разных независимых сериях измерений испытывает вокруг него небольшие случайные колебания.

Погрешность опыта, определяемая формулой, с увеличением числа измерений, уменьшается как

.

Число членов суммы в (1/4) растет как п, числитель поэтому увеличивается как, а все выражение уменьшается как. Этот результат является очень важным. По мере увеличения числа опытов ошибки в сторону преувеличения и преуменьшения результата все лучше компенсируют друг друга, а среднее значение приближается к истинному, В нашем примере одиночные отсчеты отличаются от среднего на несколько десятых, а погрешность результата, полученного при усреднении всех измерений, составляет всего одну десятую. Формула может быть записана в несколько ином виде:

При такой записи множитель, определяющий улучшение результата с увеличением числа измерений, вынесен из под общего корня, а под корнем осталось среднее значение квадрата отклонений, вычисленное по всем произведенным измерениям. Этот корень определяет s(1) - среднюю погрешность одиночного измерения.

При обсуждении смысла величины sследует помнить, что истинную величину погрешности невозможно узнать до тех пор, пока из каких-либо других опытов (или соображений) не удается определить искомую величину с существенно лучшей точностью. Но тогда рассматриваемые опыты потеряют значение и их погрешность никого не будет интересовать. Как уже отмечалось, погрешность результата не столько определяют, сколько оценивают. Оценка (1.4) подобрана так, что при проведении многочисленных серий измерений погрешность в 2/3 случаев оказывается меньше sх, а в 1/3 случаев больше, чем sх.

Иначе говоря, если бы мы - в нашем случае - провели не одну серию из 11 взвешиваний, а десять таких серий, то мы могли бы ожидать, что в шести или семи из них усредненный результат будет отличаться от истинной массы тела меньше, чем на 0,1 мг, а в остальных случаях больше, чем на 0,1 мг.

Погрешность, определенную с достоверностью 2/3, обычно называют стандартной (или среднеквадратичной) погрешностью опытов, а ее квадрат - дисперсией. Можно показать, что, как правило, погрешность опыта только в 5 % случаев превосходит ± 2sи почти всегда оказывается меньше ± 3s.

На первый взгляд из сказанного можно сделать вывод, что, беспредельно увеличивая, число измерений, можно даже с самой примитивной аппаратурой получить очень хорошие результаты. Это, конечно, не так. С увеличением числа измерений уменьшается только случайная погрешность опытов. Методические погрешности и погрешности, связанные с несовершенством приборов (например, с неправильностью их шкалы), при увеличении числа опытов не меняются. В приведенном выше примере результат взвешивания округлялся до десятых долей миллиграмма. Это делается потому, что сотых долей отсчитать было нельзя. Одна только ошибка отсчета составляет при этом около 0,1 мг. Поэтому погрешность результата ни при каком числе опытов не может быть сделана меньше. Число опытов в нашем случае было выбрано разумно. Из приведенных в таблице цифр ясно, что при однократном измерении, мы могли ошибиться на несколько десятых. Среди цифр встречаются результаты, отличающиеся на 0,3 и даже на 0,5 от среднего. После усреднения по 11 измерениям погрешность существенно уменьшилась. Но если окажется нужным, то недостаточно просто увеличить число измерений. Придется взять более точные весы, позволяющие производить измерения не до десятых, а, скажем, до сотых долей миллиграмма.

Скажем несколько слов о формуле (1.4). Эта формула позволяет хорошо оценивать величину стандартной погрешности в тех случаях, когда число опытов оказывается не меньше 4-5. При меньшем числе опытов лучше применять другие, более сложные оценки. Их мы рассматривать не будем.

Систематические погрешности

Оценку систематических погрешностей экспериментатор производит, анализируя особенности методики, паспортную точность приборов и производя контрольные опыты.

Систематические погрешности измерительных приборов, выпускаемых промышленностью, определяются их классом точности, который обычно выражают в процентах. Манометр класса 0,2 (если он, конечно, исправен и проходит систематическую проверку) позволяет производить измерения с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0,2 % от давления, соответствующего полной шкале прибора. На всех участках шкалы - в ее начале, середине и конце - эта погрешность одна и та же.

Отметим различие в правилах, определения погрешностей и в определении класса точности. Погрешности принято характеризовать среднеквадратичными ошибками. При многочисленных измерениях реальная ошибка опытов в 2/3 случаев меньше среднеквадратичной, а в 1/3 случаев превосходит ее. Класс точности определяет максимально возможное значение погрешности. Приборы, которые могут давать, хотя бы иногда, большие погрешности, должны быть отнесены к другому классу. Такое различие в определениях очень неудобно. В научных публикациях принято приводить именно среднеквадратичную ошибку, а вовсе не максимальную. Строгих формул для перевода одних погрешностей в другие не существует. Мoжнo пользоваться простым правилом: чтобы оценить среднеквадратичную погрешность, измерений электроизмерительными приборами, следует погрешность, определяемую классом точности прибора, разделить на два.