И.С. Якиманская считает, что пространственные понятие и пространственное воображение ребенка являются предпосылками для формирования его пространственного мышления и обеспечиваются различными психическими процессами, такими как восприятие (первоосновой которого являются ощущения), внимание, память, воображение при обязательном участии речи. Ведущую роль при этом играют логические приемы мышления: сравнение, анализ, синтез, классификация, обобщение, абстрагирование.
Пространственные представления - это образы памяти или образы воображения, в которых представлены по преимуществу пространственные характеристики объекта: форма, величина, взаимоположение составляющих его частей, расположение его на плоскости или в пространстве. Содержанием пространственного мышления является оперирование пространственными образами в видимом или воображаемом пространстве (на плоскости). Этим пространственное мышление отличается от других форм мышления, где выделение пространственных характеристик не является центральным моментом [27].
По мнению И. С. Якиманской пространственное мышление структурно представлено двумя видами деятельности: созданием пространственного образа и преобразованием уже созданного образа в соответствии с поставленной задачей. При создании любого образа, в том числе и пространственного, мысленному преобразованию подвергается наглядная основа, на базе которой он возникает. В качестве реальной основы может выступать и реальный предмет, и его графическая (рисунок, чертеж, график и т.д.) или знаковая (математические или иные символы) модель. В любом случае при создании образов происходит перекодирование, сохраняющее не столько внешний вид, сколько контур объекта, его структуру и соотношение частей [28].
В зависимости от сложности выполняемых преобразований, И. С. Якиманская выделяет три типа оперирования пространственными образами:
-й тип - преобразуется пространственное положение и не затрагивается структура образа (это различные перемещения);
-й тип - преобразуется структура образа путем различных трансформаций (наложения, совмещения, перегруппировка составных частей, добавление или удаление элементов);
-й тип - исходный образ преобразуется длительно и неоднократно, что приводит к изменению и структуры, и пространственного положения [27].
В своих работах О.И. Галкина говорит о том, что формирование пространственных представлений у младших школьников способствует развитию восприятия, памяти, внимания, выработке у младших школьников математических понятий на основе содержательного обобщения, которое означает, что ребенок движется в учебном материале от частного к общему, от конкретного к абстрактному. Переход от наглядно-образного к наглядно-действенному мышлению требует сложной аналитико-синтетической работы, выделения деталей, сопоставления их друг с другом, что немыслимо без наличия у ребенка развитых пространственных представлений и пространственного воображения. В этом процессе большое значение принадлежит и речи, которая помогает назвать признак, сопоставить признаки. Только на основе развития наглядно-действенного и наглядно-образного мышления начинает формироваться в этом возрасте формально-логическое мышление, которое в совокупности с наглядно-образным и наглядно-действенным мышлением является основой умственного развития младшего школьника. При этом с помощью каждого из них, у ребенка лучше формируются те или иные качества ума [4].
Л.С. Выгодский в своих работах обращает внимание на то, что в младшем школьном возрасте происходит интенсивное развитие психологических процессов: восприятия, памяти, узнавания, воображения, мышления. Геометрический материал в гораздо более высокой степени, чем арифметический, и алгебраический, соответствует ведущему в младшем школьном возрасте виду мышления - образному. Уроки математики в начальной школе играют в процессе обучения, ориентированного на индивидуальные интересы обучающихся, очень существенную роль. Алгебраические аспекты этого предмета формируют в основном аналитико-синтетическое мышление, а геометрические способствуют развитию такого важного мышления, как пространственное. Основной единицей пространственного мышления является образ, в котором представлены пространственные характеристики объекта: форма, величина, взаиморасположение составляющих его элементов.
Формирование геометрических представлений не является прерогативой исключительно курса математики, поскольку образы, в которых фиксируется форма, величина, пространственное соотношение фигур в целом или их частей, выстраиваются в сознании ребёнка уже с самого раннего детства. Однако задачу формирования этого вида мышления традиционно относят к математическому образованию. Столь же традиционно она связывается с геометрическим материалом, как в начальной, так и в средней школах [28].
Таким образом, формирование геометрических представлений у детей младшего
школьного возраста происходит на основе развития наглядно-действенного и
наглядно-образного мышления. Геометрический материал способствует развитию
пространственного мышления, помогает понять пространственные характеристики объекта,
способствует процессу обучения. В качестве материала выступают как предмет так
и его графическая модель.
.2 Специфика изучения геометрического содержания в авторских программах по математике в начальных классах
Программа по математике в начальных классах является органической частью курса математики в средней школе. В настоящее время существует несколько авторских программ обучения математике в начальных классах: «Школа России» - М.И. Моро, С.В. Степанов, «Перспектива» - Л.Г. Петерсон, «Гармония» - Н.Б. Истомина и другие.
Проанализируем данные программы, используя следующие критерии:
) наличие геометрического содержания;
) задача - формирование геометрических представлений;
) использование заданий и упражнений по моделированию в процессе изучения геометрического материала.
Рассмотрим программы и учебники традиционной системы обучения (программа 1-4), М.И. Моро, С.В. Степанов [13].
Данный курс предполагает формирование у детей геометрических представлений, ознакомление учащихся с различными геометрическими фигурами и некоторыми их свойствами, с простейшими чертежными и измерительными приборами. Геометрический материал предусмотрен программой для каждого класса. Круг формируемых у детей представлений о различных геометрических фигурах и некоторых их свойствах расширяется постепенно. Это точка, линия (прямая, крива), отрезок, ломаная, многоугольники различных видов и их элементы (углы, вершины, стороны, круг, окружность и др.).
Работа над геометрическим материалом по возможности увязывается и с учением арифметических вопросов. Так, с самого начала геометрические фигуры и их элементы используются в качестве объектов счета предметов. После ознакомления с измерением длины отрезка решаются задачи на нахождение суммы и разности двух отрезков, длины ломанной, периметра многоугольника и в том числе прямоугольника (квадрата), а в дальнейшем и площади прямоугольника (квадрата). Нахождение площади прямоугольника (квадрата) связывается с изучением умножения, задача нахождения стороны прямоугольника (квадрата) по его площади - с изучением деления.
Различные геометрические фигуры (отрезок, многоугольник, круг) используются и в качестве наглядной основы при формировании представлений и в качестве наглядной основы при формировании представлений о долях величин, а также при решении разного рода текстовых задач.
Таким образом, изучение геометрического материала в программе М.И. Моро способствует развитию наглядно-действенного и наглядно-образного мышления младших школьников. Формирование геометрических представлений расширяется постепенно с использованием различных практических упражнений. При формировании представлений о фигурах большое значение придается выполнению практических упражнений, связанных с построением, вычерчиванием фигур, с рассмотрением некоторых свойств изучаемых фигур (например, свойства противоположных сторон прямоугольника, диагоналей прямоугольника, в частности квадрата); упражнений, направленных на развитие геометрической зоркости (умения распознавать геометрические фигуры на сложном чертеже, составлять заданные геометрические фигуры из частей и др.).
Изучение геометрической линии в курсе Л.Г. Петерсон [16] начинается достаточно рано, при этом на первых порах основное внимание уделяется развитию пространственных представлений, воображения, речи и практических навыков черчения: учащиеся овладеют навыками работы с такими измерительными и чертежными инструментами, как линейка, угольник, а несколько позже − циркуль, транспортир. Программа предусматривает знакомство с плоскими и пространственными геометрическими фигурами. В рамках геометрической линии учащиеся знакомятся также с более абстрактными понятиями точки, прямой и луча, отрезка и ломаной линии, угла и многоугольника, области и границы, окружности и круга и др., которые используются для решения разнообразных практических задач. С самых первых уроков 1 класса обучающиеся знакомятся с такими геометрическими фигурами, как квадрат, прямоугольник, треугольник, круг. Разрезание этих фигур на части и составление новых фигур из полученных частей помогает им уяснить инвариативность площади, способствует развитию комбинаторных способностей. Сравнительно рано появляются в курсе простейшие пространственные образы: куб, параллелепипед, цилиндр, пирамида, шар, конус.
Уже во 2 классе учащиеся решают задачи на вычисление площади поверхности и объема параллелепипеда, которое сопровождается черчением развёрток, склеивание фигур по их развёрткам и т.д. подобные задачи не только развивают пространственные представления и формируют практические навыки, но и служат также средством наглядной интерпретации изучаемых арифметических фактов. Например, вычисление площади прямоугольника является наглядной модель действия умножения, а вычисление объема параллелепипеда обосновывает сочетательное свойство этого арифметического действия. Учащиеся знакомятся с кругом и окружностью, учатся строить эти геометрические фигуры с помощью циркуля. Детям предлагаются задания на вычерчивание узоров из окружностей и геометрических фигур.
Запас геометрических представлений и навыков, накопленных у детей к 3 классу, позволяет поставить перед ними новую, значительно более глубокую и увлекательную цель: исследование и открытие свойств геометрических фигур. С помощью построений и измерений они выявляют различные геометрические закономерности, которые формулируют как предложение, гипотезу. Задача учителя состоит в том, чтобы раскрыть перед детьми красоту и гармонию этих удивительных закономерностей, с одной стороны, а с другой - показать необходимость их логического обоснования, доказательства.
Из данного анализа можно сделать вывод, что программа Л.Г. Петерсон не только формирует необходимые практические навыки для полноценного изучения систематического курса геометрии, но и мотивирует аксиоматическое построение этого курса, помогает обучающимся осознать смысл их деятельности на уроках геометрии в старших классах. Анализ программы выявил особенность изучения геометрических понятий - их раннее введение.
Среди имеющихся программ действует и программа развивающего бучения Н. Б. Истоминой. При создании своей системы автор постаралась осуществить всесторонний учет тех условий, которые влияют на развитие детей, Н.Б. Истомина подчеркивает, что развитие может осуществляться в деятельности. Первой идеей программы Н.Б. Истоминой является идея деятельного подхода к обучению максимальная активность самого ученика. И репродуктивная и продуктивная деятельность влияет на развитие памяти, внимания, восприятия, но мыслительные процессы успешнее развиваются при продуктивной, творческой деятельности. "Развитие будет идти, если деятельность будет систематичной",- считает Н.Б. Истомина [10].
Целью методики формирования представлений о геометрических фигурах является выполнение геометрических заданий, требующих активного использования приёмов умственной деятельности и установления соответствия между предметной геометрической моделью и её изображением, что способствует развитию пространственного мышления учащихся.
Программа данного автора характеризуется новыми методическими подходами к изучению младшими школьниками математических понятий, свойств и способов действий, в основе которых лежат идеи измерения признаков предметных, образных, графических и математических моделей, установления соответствия между ними; выявление закономерностей и различных зависимостей, способствующих формированию таких качеств мышления, как глубина, критичность, гибкость, самостоятельность;
В учебниках Н.Б. Истоминой, И.Б. Нефёдовой, И.А. Кочетковой, встречаются задания на формирование геометрических представлений о простейших плоских и объемных формах, на измерение длин, площадей и объемов плоских фигур. При выполнении геометрических заданий у учащихся формируются навыки работы с линейкой, циркулем, угольником. Для развития пространственного мышления выполняются задания с использованием моделирования. Например, задание из второго класса: "Что сделали с кубиком?" "Нарисуй фигуру, площадь которой в 2 раза меньше площади данной фигуры". Задание из третьего класса: "Выбери куб, который можно сделать из данной развёртки". "Выбери фигуру, которую нужно нарисовать".
Для развития геометрических представлений обучающиеся выполняют задания на установление соответствия между моделью куба, его изображением и развёрткой. Для продолжения этой линии в 4 классе используются различные геометрические тела.
Данная программа широко используется при обучении детей младшего школьного возраста математике, но в отличие от традиционной программы в курсе Истоминой Н.Б. встречаются упражнения на установление пространственных отношений.
Как показал анализ учебников, заданий на развитие геометрических
представлений не очень много и они не дают возможности в полной мере
сформировать геометрические представления. Но в программах для начальной школы
задача развития геометрических представлений школьников стоит перед учителем,
поэтому ему необходимо самостоятельно разрабатывать системы заданий и включать
их в урок вне того материала, который дан в учебнике, что вызывает особую
сложность. В учебниках по данным программам встречаются заданий по
моделированию. Авторами учебников эти задания отмечаются, как наиболее
эффективные в процессе изучения геометрического материала. Чтобы математический
курс геометрии был успешно усвоен в начальной школе, необходимо использовать на
уроках математики способы развития геометрических представлений посредством
моделирования, которые мы рассмотрим в следующем параграфе.
.3 Характеристика способов развития геометрических представлений у детей
младшего школьного возраста с использованием моделирования на уроках по
математике
В словаре Т.Ф. Евремовой под способом понимается образ действий, прием, метод для осуществления, достижения чего-либо. Возможность, средство, реальные условия для осуществления чего-либо.
Д.В. Дмитриев способом называет систему действий, которая применяется, чтобы выполнить какую-либо работу, сделать что-либо.
Новый словарь методических терминов и понятий предлагает следующее определение понятию способ - базисная категория методики, группа приемов, направленных на решение учебных задач. Способ обучения одна из возможных операций совершения обучающего действия. Способ учения - одна из психологических операций совершения учебного действия учащимся. Способ является составной частью содержания метода обучения. Именно этого определения мы будем придерживаться в исследовательской работе.
А.П. Савин в словаре юного математика выделяет следующее определение, моделирование - это способ организации учебно-познавательной деятельности путем использования модели изученного понятия, которая является с одной стороны, обобщённым эквивалентом частного факта, а с другой стороны, являясь наглядным средством обучения, воспринимаемым всеми органами чувств ребёнка, даёт возможность формировать понятия с опорой на образ, а не на слово или знак, являющиеся абстракциями гораздо более высокого уровня, чем тот, который доступен детям 6-10 лет [15].
Философский энциклопедический словарь предлагает следующее определение, моделирование - метод исследования объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих предметов и явлений (органич. и неорганич. систем, инженерных устройств, разнообразных процессов - физических, химических, биологических, социальных) и конструируемых объектов для определения либо улучшения их характеристик, рационализации способов их построения, управления ими и т. п.