Материал: Гидравлика (механика жидкости и газа). Бородкин В.В., Болдырев А.И

2.3. Гипотеза сплошности

Жидкости (и газы) состоят из молекул, находящихся в состоянии хаотического движения. При крупномасштабных движениях к скорости каждой молекулы добавляется постоянный или слабоменяющийся вектор скорости. Если рассматривается объем, содержащий достаточно много молекул (в одном кубическом миллиметре воздуха при нормальных температуре (15°С) и давлении (101 кПа) содержится около молекул), движение отдельных молекул становится неразличимым; существенно лишь крупномасштабное (макроскопическое) движение.

В основе гипотезы сплошности лежит предположение о том, что в жидкостях и газах все пространство непрерывно занято веществом. Для газов, у которых длина свободного пробега молекул существенно зависит от температуры и давления, условия сплошности выражаются в том, что линейные характерные размеры области течений велики по сравнению с длиной свободного пробега молекул. Из этих же условий определяется понятие элементарного объема жидкости или газа. Линейные размеры элементарного объема должны быть достаточно большими по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа или амплитудой колебательного движения молекул жидкости и достаточно малыми по сравнению с линейными размерами, характеризующими движение (диаметр трубы, размах крыла и др.). Следовательно, сплошность определяется не абсолютным состоянием жидкости и газа, а отношением параметров среды (длина свободного пробега для газов и амплитуда колебания молекул для жидкости) к линейным размерам, характеризующим потоки. Предполагая, что различные характеристики движения жидкости (давление, скорость и др.) меняются непрерывно со временем и по пространству (гипотеза сплошности), можно вывести уравнения, описывающие данные движения без учета индивидуального поведения молекул.

Таким образом под сплошной средой понимают непрерывное, безграничное или ограниченное множество (континуум) материальных точек с непрерывным распределением по их множеству вещественных, кинематических, динамических и других физических характеристик, обусловленных разнообразными как «внешними», так и «внутренними» движениями материи, включая сюда и взаимодействие среды с внешними и внутренними полями.

Модель сплошной среды отличается от дискретной системы материальных точек тем, что вместо физических величин, сосредоточенных в отдельных ее точках, приходится иметь дело с непрерывными распределениями этих величин в пространстве - скалярными, векторными и тензорными полями. Так, распределение массы в сплошной среде определяется заданием в каждой ее точке плотности среды, объемное силовое действие - плотностью распределения объемных сил, а действие поверхностных сил - напряжениями, определяемыми отношением главного вектора поверхностных сил, приложенных к ориентированной в пространстве бесконечно малой площадке, к величине этой площадки. Характеристикой внутреннего напряженного состояния среды в данной точке служит тензор напряжений, знание которого позволяет определять напряжения, приложенные к любой произвольно ориентированной площадке. Перенос тепла или вещества задается соответствующими им векторами потоков.

В кинематике сплошных сред, наряду с принятыми в кинематике дискретной системы точек понятиями перемещений, скоростей и ускорений, появляется характерное для сплошной среды представление о бесконечно малой деформации среды, определяемой тензором деформаций. Если рассматривается непрерывное движение текучей среды, то основное значение приобретает тензор скоростей деформаций, равный отношению тензора бесконечно малых деформаций к бесконечно малому промежутку времени, в течение которого деформация осуществилась.

При рассмотрении частных классов задач обычно приходится приписывать модели сплошной среды дополнительные макроскопические характеристики, определяющие ее индивидуальные материальные свойства, обусловленные действительными микроскопическими свойствами: молекулярной структурой и «скрытыми», движениями материи. В механике сплошных сред эти характеристики вводятся феноменологически, в форме заданных наперед констант или количественных закономерностей. Среди таких характеристик выделим, прежде всего, отражающие вещественные свойства среды при ее равновесном состоянии: молекулярный вес и плотность распределения массы, концентрацию примесей в многокомпонентных и многофазных смесях жидкостей, газов и твердых частиц, затем температуру и теплоемкость среды, электропроводность, магнитную проницаемость и другие физические свойства.

При наличии пространственной неоднородности в распределении физических характеристик, возникают процессы переноса количества движения, тепла, примесей, электрических зарядов и др. При сравнительно малых градиентах этих величин количество переносимой субстанции принимается пропорциональным ее градиенту, а коэффициенты пропорциональности в этих линейных законах (Ньютона - Стокса, Фурье, Фика и др.) называемые коэффициентами переноса, задаются также феноменологически в виде констант или функций от динамических и термодинамических характеристик механического и других форм движений.

Модель сплошной среды, заключающая в себе достаточное число расширяющих сферу ее применений дополнительных макроскопически выраженных свойств, широко принята как вполне удовлетворительный метод изучения движения жидкостей и газов в самых различных физических условиях. Эта модель представляет собой результат статистического осреднения скрытой молекулярной структуры среды и совершаемых внутри нее тепловых и других форм движений материи и взаимодействий между молекулами вещества. Как всякое осреднение, эта модель не может дать полной информации о происходящих на молекулярном и еще более глубоких физических уровнях микроскопических движениях материи, проявляющихся в обедненной форме макроскопической модели в виде тех или иных ее свойств.

2.4. Два режима движения жидкостей и газов

Опыты показывают, что возможны два режима или два вида течения жидкостей и газов в трубах: ламинарный и турбулентный. Указанные течения жидкости можно наблюдать на приборе, представленном на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Схема прибора для демонстрации режимов течения

Он состоит из резервуара А с водой, от которого отходит стеклянная труба В с краном С на конце, и сосуда D с водным раствором той или иной краски, которая может по трубке вводиться тонкой струйкой внутрь стеклянной трубы В. Если несколько приоткрыть кран С и дать возможность воде протекать в трубе с небольшой скоростью, а затем с помощью крана Е впустить краску в поток воды, то увидим, что введенная в трубу краска не будет перемешиваться с потоком воды. Струйка краски будет отчетливо видимой вдоль всей стеклянной трубы, что указывает на слоистый характер течения жидкости и на отсутствие перемешивания. Пьезометр или трубка Пито, присоединенные к трубе, показывают неизменность давления и скорости по времени, отсутствие колебаний (пульсации). Это так называемое ламинарное (слоистое) течение. При постепенном увеличении скорости течения воды в трубе путем открытия крана С картина течения вначале не меняется, но затем при определенной скорости течения наступает быстрое ее изменение. Струйка краски по выходе из трубки начинает колебаться, затем размываться и перемешиваться с потоком воды, причем становятся заметными вихреобразования и вращательное движение жидкости. Пьезометр и трубка Пито показывают непрерывные пульсации давления и скоростей в потоке воды. Течение становится, как его принято называть, турбулентным (см. рис. 2.4, вверху). Если уменьшить скорость потока, то восстановится ламинарное течение.

Итак, ламинарным называется слоистое течение без перемешивания частиц жидкости и без пульсации скоростей и давления. При таком течении все линии тока вполне определяются формой русла, по которому течет жидкость. При ламинарном течении жидкости в прямой трубе постоянного сечения все линии тока направлены параллельно оси трубы, т.е. прямолинейно; отсутствуют поперечные перемещения жидкости. Ламинарное течение является вполне упорядоченным и при постоянном напоре строго установившимся течением (хотя в общем случае может быть и неустановившимся). Однако его нельзя считать безвихревым, так как в нем хотя и нет видимых вихрей, но одновременно с поступательным движением имеет место упорядоченное вращательное движение отдельных частиц жидкости вокруг своих мгновенных центров с некоторыми угловыми скоростями.

Турбулентным называется течение, сопровождающееся интенсивным перемешиванием жидкости и пульсациями скоростей и давлений. Движение отдельных частиц оказывается подобным хаотическому, беспорядочному движению молекул газа. При турбулентном течении векторы скоростей имеют не только осевые, но и нормальные к оси русла составляющие, поэтому наряду с основным продольным перемещением жидкости вдоль русла происходят поперечные перемещения (перемешивание) и вращательное движение отдельных объемов жидкости. Этим и объясняются пульсации скоростей и давления.

Режим течения данной жидкости в данной трубе изменяется примерно при определенной средней по сечению скорости течения , которую называют критической. Как показывают опыты, значение этой скорости прямо пропорционально кинематической вязкости  и обратно пропорционально диаметру d трубы, т.е. . Входящий в эту формулу безразмерный коэффициент пропорциональности k одинаков для всех жидкостей и газов, а также для любых диаметров труб. Это означает, что изменение режима течения происходит при определенном соотношении между скоростью, диаметром и вязкостью . Полученное безразмерное число называют критическим числом Рейнольдса и обозначают

. (2.25)

Этот результат согласуется с теорией гидродинамического подобия, и вполне закономерно, что именно число Рейнольдса является критерием, определяющим режим течения в трубах. Как показывают опыты, для труб круглого сечения .

Таким образом, критерий подобия Рейнольдса позволяет судить о режиме течения жидкости в трубе. При течение является ламинарным, при - турбулентным. Точнее говоря, вполне развитое турбулентное течение в трубах устанавливается лишь при , а при имеет место переходная, критическая область. Зная скорость движения жидкости, ее вязкость и диаметр трубы, можно расчетным путем найти число Re и, сравнив его с , определить режим течения жидкости. На практике имеют место как ламинарное, так и турбулентное течения, причем первое наблюдается в основном в тех случаях, когда по трубам движутся весьма вязкие жидкости, например смазочные масла, второе обычно происходит в водопроводах, а также в трубах, по которым перетекают бензин, керосин, спирты, кислоты и другие маловязкие жидкости. Смена режима течения при достижении обусловлена тем, что одно течение теряет устойчивость, а другое - приобретает. При ламинарное течение является вполне устойчивым: всякого рода искусственная турбулизация потока и его возмущения (сотрясения трубы, введение в поток колеблющегося тела и пр.) гасятся влиянием вязкости и ламинарное течение восстанавливается. Турбулентное течение при этом неустойчиво. При , наоборот, турбулентное течение устойчиво, а ламинарное - неустойчиво. В связи с этим число , соответствующее переходу от ламинарного течения к турбулентному, может получиться несколько больше, чем для обратного перехода. В особых лабораторных условиях при полном отсутствии факторов, способствующих турбулизации потока, можно получить ламинарное течение при , значительно превышающем . Однако в этих случаях ламинарное течение оказывается настолько неустойчивым, что достаточно небольшого возмущения (толчка), чтобы оно перешло в турбулентное. На практике обычно имеются условия, способствующие турбулизации, - вибрация труб, местные гидравлические сопротивления, неравномерность (пульсация) расхода и прочее, а потому указанное обстоятельство имеет в гидравлике скорее принципиальное, чем практическое, значение.

2.5. Неньютоновские жидкости

Простейшей моделью жидкостей или газов является идеальная жидкость, при движении которой отсутствуют касательные напряжения. Тензор напряжения в этом случае является сферическим, т.е

, (2.26)

где - давление и тензорная единица, соответственно.

Выражение (2.26) представляет собой простейший вид реологического уравнения среды. Реологическое уравнение среды связывает компоненты тензоров напряжений, деформаций и их производных по времени; при этом тензор скоростей деформаций представляет собой производную по времени от тензора деформаций. Уравнение (2.26) показывает, что все нормальные напряжения в данной точке среды выражаются через одну скалярную величину - давление.

Реологический закон текучести для реальной (вязкой) жидкости, находящейся в прямолинейном ламинарном движении, основан на гипотезе Ньютона, утверждающей существование прямой пропорциональности между касательными напряжениями , действующими в плоскостях соприкасания слоев жидкости, и производными от скорости u по направлениям, нормальным к этим плоскостям (по n). Он имеет вид

. (2.27)

Здесь - коэффициент пропорциональности (зависит от температуры жидкости) или динамический коэффициент вязкости.

Из формулы (2.27) следует, что - касательное усилие, приходящееся на единицу площади и приложенное к слоям жидкости, отстоящим друг от друга на расстоянии, равном единице длины при единичной разности скоростей между ними.

Реологический закон (2.27) представляет собой частный случай более общего закона линейной связи между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций. Этот закон называется обобщенным законом Ньютона. Для несжимаемой вязкой жидкости обобщенный закон Ньютона имеет вид

, (2.28)

где - тензор скоростей деформаций.

Компоненты тензора напряжений составляют

(2.29)

где - составляющие вектора скорости.

Жидкости, удовлетворяющие обощенному закону вязкого трения Ньютона называются ньютоновскими жидкостями.

Для ньютоновских жидкостей вязкость не зависит от скорости сдвига. Зависимость между напряжением и скоростью деформации представляет собой прямую линию (рис. 2.6, прямая 3) с тангенсом угла наклона .