, де - коефіцієнти розкладу періодичного потенціалу в ряд Фур'є.

Ця система рівнять має нетривіальний розв'язок при виконанні умови

,

що задає закон дисперсії електронних станів на границі зони Брілюена. Безпосередньо на границі

()

У проміжку енергій між і електронних рівнів немає, чим визначається існування вузької забороненої зони.

Подходы к вычислению электронных состояний в твердых телах. Каждый электрон в кристалле движется в сложном поле, создаваемом ядрами и движущимися электронами. Решить в таком случае уравнение Шредингера для электрона в кристалле и найти тем самым систему энергетических состояний электрона очень сложно и в настоящее время не удается. Поэтому для решения этой задачи используют различные упрощающие приближения.

Во-первых, рассматривают движение только внешних электронов в потенциале ионных остовов, содержащих ядро атома и электроны внутренних подоболочек. В таком случае необходимо также решить уравнение Шредингера для электрона, но в более слабом потенциале ионных остовов, что значительно легче. Однако с помощью и этого подхода к настоящему времени удалось решить только очень упрощенные задачи такого движения электрона, в основном не трех, а одномерные. Ниже рассмотрены результаты решения одной из них (модель Кронига-Пенни) об одномерном движении электрона в периодическом потенциале.

Во-вторых, рассматривают два наиболее распространенных частных случая: 1) приближение сильной связи и 2) приближение почти свободных электронов.

В рамках приближения сильной связи считают, что энергия взаимодействия электрона со своим атомом много больше, чем энергия взаимодействия с другими атомами. Иными словами, электроны сильно связаны со своим атомом, на который другие атомы оказывают малое влияние своими электромагнитными полями, лишь расщепляя их энергетические уровни. Подобным образом уровни атома расщепляются под воздействием внешнего магнитного поля (эффект Зеемана). В таком случае взаимодействие атомов друг с другом незначительно изменяет картину энергетических уровней электронов изолированного атома.

В рамках приближения почти свободных электронов считают, что электрон движется "почти свободно" в слабом потенциале ионных остовов, который рассматривают как малое возмущение. В таком случае кинетическая энергия электрона намного превосходит энергию взаимодействия этого электрона с ионами. В настоящее время это самый удачный подход, как с научной, так и с методической точки зрения, поскольку позволяет наглядно объяснить почти все важные для практики и наблюдаемые на опыте закономерности и эффекты.

14. Електронні стани кристала. Наближення сильно зв’язаних електронів.

Поверхне́ві ста́ни — енергетичні стани електронів, локалізовані на поверхні твердого тіла.

Хвильова функція поверхневого стану спадає, як усередину тіла, так і назовні.

Існує дві моделі поверхневих станів: модель Тамма (1932) і модель Шоклі (1939). Таммівські стани отримані в наближенні майже вільних електронів, стани Шоклі — в наближенні сильного зв'язку. Обидві теорії передбачають існування одного поверхневого стану на кожен атом поверхні. Проте теорії не враховують перебудову кристалічної структури на поверхні матеріалу.

Виходячи з хімічних уявлень, поверхневі стани є вільними радикалами.

Поверхневі стани є центрами локалізації заряду при електризації тіла.

Подходы к вычислению электронных состояний в твердых телах. Каждый электрон в кристалле движется в сложном поле, создаваемом ядрами и движущимися электронами. Решить в таком случае уравнение Шредингера для электрона в кристалле и найти тем самым систему энергетических состояний электрона очень сложно и в настоящее время не удается. Поэтому для решения этой задачи используют различные упрощающие приближения.

Во-первых, рассматривают движение только внешних электронов в потенциале ионных остовов, содержащих ядро атома и электроны внутренних подоболочек. В таком случае необходимо также решить уравнение Шредингера для электрона, но в более слабом потенциале ионных остовов, что значительно легче. Однако с помощью и этого подхода к настоящему времени удалось решить только очень упрощенные задачи такого движения электрона, в основном не трех, а одномерные. Ниже рассмотрены результаты решения одной из них (модель Кронига-Пенни) об одномерном движении электрона в периодическом потенциале.

Во-вторых, рассматривают два наиболее распространенных частных случая: 1) приближение сильной связи и 2) приближение почти свободных электронов.

В рамках приближения сильной связи считают, что энергия взаимодействия электрона со своим атомом много больше, чем энергия взаимодействия с другими атомами. Иными словами, электроны сильно связаны со своим атомом, на который другие атомы оказывают малое влияние своими электромагнитными полями, лишь расщепляя их энергетические уровни. Подобным образом уровни атома расщепляются под воздействием внешнего магнитного поля (эффект Зеемана). В таком случае взаимодействие атомов друг с другом незначительно изменяет картину энергетических уровней электронов изолированного атома.

В рамках приближения почти свободных электронов считают, что электрон движется "почти свободно" в слабом потенциале ионных остовов, который рассматривают как малое возмущение. В таком случае кинетическая энергия электрона намного превосходит энергию взаимодействия этого электрона с ионами. В настоящее время это самый удачный подход, как с научной, так и с методической точки зрения, поскольку позволяет наглядно объяснить почти все важные для практики и наблюдаемые на опыте закономерности и эффекты.

15.Експериментальні методи отримання діаграми напруження-деформація

Характерні точки та ділянки діаграми[ред. | ред. Код]

Діаграма розтягування має низку характерних ділянок (див. рис.1 та 2).

Від початку навантажування до певного значення напружень має місце прямо пропорційна залежність між напруженням та деформацією. На цій стадії розтягування справедливий закон Гука.

Далі ця лінійна залежність втрачається і межа має назву границя пропорційності. Отже, границею пропорційності називається найбільше умовне напруження, за якого з обумовленим відхиленням зберігається лінійна залежність між напруженнями і деформаціями у зразку (точка 2 рис.1).

При подальшому збільшенні навантаження, у матеріалі з'являються залишкові деформації, що не зникають після розвантаження. Найбільше напруження, до якого залишкова деформація не виявляється, називається границею пружності (точка 3 рис.1).

Для випадку конструкційних сталей границя плинності відповідає площинці плинності діаграми деформування матеріалу. Подальше збільшення навантаження приводить до появи горизонтальної площинки плинності на діаграмі деформування (точка 2 на рис.2). Такий процес деформації називають плинністю матеріалу, що супроводжується залишковим подовженням при постійному навантаженні (напруженні), яке не зникає після розвантаження. Отже, границею плинності (англ. Yield Strength) σ_Т зветься найменше напруження, при якому деформація зразка відбувається при постійному розтягувальному напруженні. У випадку, якщо така площинка плинності відсутня, замість σ_т використовується напруження σ_0,2 (читається: сигма нуль-два), яке відповідає напруженню, при якому залишкова відносна деформація у матеріалі (пластична деформація) складає

на довжині випробовуваного зразка (точка 4 на рис.1).

Початок пластичної деформації відповідає настанню деякого критичного стану, який можна виявити не тільки за появою залишкових деформацій, але і за підвищенням температури, зміною електропровідності та магнітних властивостей при цьому. Після стадії текучості матеріал знову набуває здатності збільшувати опір (зона деформаційного зміцнення англ. Strain Hardening) до деякої границі. Напруження, що відповідає максимальному опору матеріалу має назву тимчасовий опір або границя міцності (англ. Ultimate Strength) і позначається σ_в (точка 1 на рис.2).

Подальше деформування матеріалу відбувається катастрофічно і супроводжується локалізацією деформації (поява шийки) та пов'язаним з цим частковим розвантаженням. Ця зона діаграми має назву «область знеміцнення» (англ. Necking region) (поз.5 на рис.2) і закінчується руйнуванням (точка 3 на рис.2).

Слід зауважити, що така форма діаграми (діаграма A на рис.2) має місце, коли оперувати умовними напруженнями (обчислюються відношенням зусилля до початкової площі зразка). У випадку коли розраховувати напруження по реальній площі (істинні напруження), котра у випадку розтягу зменшується, то буде отримано діаграму в істинних напруженнях (діаграма B, на рис.2) і характерного екстремуму, що відповідає границі міцності не спостерігається.

Наведені вище закономірності характерні для пластичних матеріалів. У випадку крихких матеріалів (наприклад, скла) діаграма деформування по деформаціях є значно коротшою і, слід відзначити, що руйнування настає без прояву пластичності (рис.3).

16. Розмірне квантування та умови його спостереження. Вплив концентрації носіїв заряду на спостереження розмірного квантування.

Розмі́рне квантува́ння — явище дискретизації енергетичних рівнів квантовомеханічних частинок в тілах малого розміру.

Розмірне квантування проявляється в наночастинках, зокрема в квантових точках.

Фізична природа[ред. | ред. Код]

Будь-яке тверде тіло є потенціальною ямою для електронів. Для вильоту електрона із твердого тіла йому необхідно надати певну енергію, наприклад для металів ця енергія називається роботою виходу.

У потенціальній ямі електрон чи інша частинка має дискретний набір енергій. Коли потенціальна яма широка, ці дискретні енергетичні рівні розташовані в енергетичному спектрі так густо, що віддаллю між ними можна знехтувати, вважаючи спектр суцільним. При зменшенні розмірів тіла, віддаль між дискретними енергетичними рівнями збільшується. Коли вона стає настільки великою, що дискретність починає проявлятися в різноманітних фізичних явищах, наприклад, в оптичних спектрах речовин, то говорять про розмірне квантування рівнів.

Розмірне квантування особливо важливе для напівпровідникових наночастинок, оскільки елементарними збудженнями в напівпровідниках є квазічастинки — електрони провідності й дірки, що характеризуються ефективною масою, яка може бути набагато меншою від маси вільного електрона. Малість ефективної маси квазічастинок зумовлює прояв розмірного квантування для частинок розміром у кілька десятків нанометрів.

17. Типи гетеропереходів, структури із квантовими ямами та бар’єрні структури. Область просторового заряду. Побудова зонної діаграми поблизу гетеропереходу.

p-n перехі́д (електронно-дірковий перехід) — область контакту напівпровідників p- та n-типу всередині монокристала напівпровідника, в якій відбувається перехід від одного типу провідності до іншого. Ця область характеризується одностороннім пропусканням електричного струму. На властивостях p-n переходів ґрунтується робота напівпровідникових діодів, транзисторів та інших електронних елементів з нелінійною вольт-амперною характеристикою.

Відкриття p-n переходу зазвичай відносять американському фізику Расселу Олу з Bell Labs.^[1] Проте патент Ола було отримано лише в 1946 році, а перші західні публікації, присвячені p-n переходу, з'явилися ще роком пізніше. Натомість уже в 1941 році український фізик Вадим Лашкарьов опублікував роботу в якій методом термозонду було досліджено перші p-n переходи ^[2].

Фізичні принципи[ред. | ред. Код] Області просторового заряду[ред. | ред. Код]

Схема виникнення областей просторового заряду

В напівпровіднику p-типу концентрація дірок набагато перевищує концентрацію електронів. В напівпровіднику n-типу концентрація електронів набагато перевищує концентрацію дірок. Якщо між двома такими напівпровідниками встановити контакт, то виникне дифузійний струм — носії заряду, хаотично рухаючись перетікатимуть із тієї області, де їх більше у ту область, де їх менше. При такій дифузії електрони та дірки переносять із собою заряд. Як наслідок, область на границі стане зарядженою. Та область у напівпровіднику p-типу, яка примикає до границі розділу, отримає додатковий негативний заряд, принесений електронами, а погранична область в напівпровіднику n-типу отримає позитивний заряд, принесений дірками. Таким чином, границя розділу буде оточена двома областями просторового заряду протилежного знаку.

Електричне поле, яке виникає внаслідок утворення областей просторового заряду, спричиняє дрейфовий струм у напрямку протилежному дифузійному струму. Врешті-решт, між дифузійним і дрейфовим струмами встановлюється динамічна рівновага і перетікання зарядів припиняється.