В то время как в реальных кристаллах типичные размеры решетки довольно крошечные, где атомы расположены рядом друг с другом в нанометровых расстояниях, оптическая же решетка имеет типичные размеры примерно в тысячу раз больше, что обеспечивает увеличенную версию реального кристалла. Эта аналогия открывает огромные возможности для физики твердого тела. Реальные кристаллы невероятно сложны, так как необходимо учитывать множество различных взаимодействий, плюс колебания самой решетки. Поэтому очень трудно объяснить различные экспериментально наблюдаемые явления. С другой стороны, оптическая решетка обеспечивает идеализированную версию кристалла, где взаимодействия можно контролировать и точно настраивать, обеспечивая тем самым тестовый полигон для физики твердого тела, где могут быть исследованы различные теоретические модели. На иллюстрации ниже наглядно показывается получение и наблюдение оптической решетки:
Рис 4. Оптическая решетка.
5.Формулы для расчета фазовых переходов
В настоящей выпускной квалфикационной работе рассматривается квазиодномерная модель двухкомпонентного (два вещества) Ферми-газа при нулевой температуре на одноногих, двух- и трехногих лестницах (количество цепочек частиц в решетке) модели Хаббарда. Построена большая каноническая фазовая диаграмма двухкомпонентного спин-поляризованного газа. Установлено, что структура фазовой диаграммы модели притяжения Хаббарда для двух и трех ног лестницы существенно отличается от структуры фазовой диаграммы одной цепи. Выполняется проверка гипотезы того, что одноцепная модель является частным случаем и что многоцепные лестницы отображают качественные особенности корреляции между одномерным и трехмерным поведением электронов, наблюдаемые в экспериментах с захваченными ультрахолодными газами.
Дадим некоторые пояснения к формулировке задания настоящей выпускной квалфикационной работы.
Электроны в материалах - это заряженные частицы, которые отталкиваются друг от друга через кулоновское взаимодействие, но эффективное притяжение электронов друг с другом может быть создано путем их связи с колебаниями решетки (фононами). Модель Хаббарда описывает решетку с короткодиапазонным (локальным) электронно-электронным взаимодействием U, которое может быть как положительным (отталкивание), так и отрицательным (притяжение). Отталкивающая модель Хаббарда является минимальной моделью для семейства сверхпроводящих материалов и описывает взаимодействие между делокализующими эффектами прыжков электронов и локализующими эффектами отталкивания заряда. Модель Хаббарда притяжения же используется в качестве эффективного описания для некоторых систем с очень сильной электронно-фононной связью и для холодных атомов в оптических решетках. Он был использован для изучения, например, сверхпроводников с сильной связью.
Спиновая поляризация частицы является частным случаем такого общего понятия как поляризация. Спиновая же характеризуется преимущественным направлением спина вдоль какого-то направления. Различают два вида спиновой поляризации: продольная и попереченая. В первом случае спин направлен вдоль импульса частицы, во втором же спин перпендкулерн импульсу.
Квазиодномерной моделью кристалла является модель с цепочечным типом кристаллической упаковки и анизотропными (различными по направлениям) свойствами. Цепочки в такой модели слабо связаны, в связи с чем электроны легко могут перескакивать по цепочке, но с трудом переходят на другие цепочки.
На иллюстрации ниже в качестве примера показана двуногая модель Хаббарда, одна из которых смоделирована в настоящей работе.
Рис 5. Структура и параметры двуногой квадратной решетки Хаббарда.
Структура и параметры двуногой квадратной лестницы Хаббарда (а). Здесь U представляет собой кулоновское отталкивание электронов, а at описывает перемещение электрона по узлам одной цепочки (в случае t представляет собой перескок на другую цепочку).
С одним отверстием (белым кругом), созданным путем удаления частицы со спином вниз (синего круга) из наполовину заполненной спиновой лестницы, общий спин S=1/2 находится на фоне спинового зазора в режиме U/t Мотта (b). Установлено, что такой общий спин S=1/2 распределяется вокруг отверстия в данном месте с альтернативным распределением спинов вверх (красный круг) и вниз (синий круг) (с величиной, составляющей размер каждого полного круга, которая носит название корреляционной функции спин-отверстия). При a=0,4 легированный заряд плотно связан со спином 1/2; напротив, отверстие и спин-1/2 слабо связаны при a=1.
Также стоит отметить, что лестницы могут обладать открытыми граничными условиями (бесконечные цепочки) или периодическими граничными условиями (два конца цепочки замкнуты).
Фазовая диаграмма является типом диаграммы, используемой для отображения условий (давление, температура, объем и т. д.) в которых термодинамически различные фазы (такие как твердое, жидкое или газообразное состояния) происходят и сосуществуют в термодинамическом равновесии (равновесном состоянии, то есть параметры состояния не изменяются во времени, а энтропия максимальна).
Простейшей фазовой диаграммой можно назвать фазовую диаграмму однородной системы, например, воды с зависимостью температура-давление.
На иллюстрации ниже как раз приведена эта фазовая диаграмма:
Рис 6. Пример фазовой диаграммы воды.
Оси соответствуют давлению и температуре. Однофазные области разделены линиями, где происходят фазовые переходы (конденсация-испарение и остальные). Эти линии называются фазовыми границами между тремя фазами твердого тела, жидкости и газа.
Как уже было сказано ранее, в рассматриваемой работе конечным результатом моделирования являются фазовые диаграммы двухкомпонентного ферми-газа с зависимостью химического потенциала и эффективного магнитного поля .
Химический потенциал - это энергия, которая может быть поглощена или высвобождена в результате изменения количества частиц, например, во время фазового перехода. Химический потенциал определяется как скорость изменения свободной энергии термодинамической системы относительно изменения количества частиц, которые добавляются в систему. Таким образом, это частная производная свободной энергии по отношению к количеству частиц. Частицы склонны двигаться от более высокого химического потенциала к более низкому химическому потенциалу. Таким образом, химический потенциал является обобщением "потенциалов" в физике, таких как гравитационный потенциал. Когда шар катится с холма, он движется от более высокого гравитационного потенциала (более высокая внутренняя энергия, следовательно, более высокий потенциал для работы) к более низкому гравитационному потенциалу (более низкая внутренняя энергия). Точно так же, как молекулы (частицы в целом) движутся, реагируют, растворяются, плавятся и т. д., они всегда будут иметь тенденцию естественным образом переходить от более высокого химического потенциала к более низкому, изменяя число частиц, которое является сопряженной переменной к химическому потенциалу.
В каноническом ансамбле (состояния частиц с разной энергией; параметрами сокращенного описания такой системы являются число частиц и средняя энергия) энергия основного состояния модели Хаббарда, рассматриваемой в работе, является функцией от числа частиц со спином вверх и со спином вниз. Отсюда можно определить общее число частиц и общую поляризацию . Аналогично химическому потенциалу, эффективное магнитное поле h выражается как частная производная свободной энергии к общему числу частиц, но только к общей поляризации:
Подытожив все описанное выше теоретическое введение, можно сказать что, рассматриваемая в настоящей выпускной квалификационной работе модель Хаббарда притяжения-U определяется следующим Гамильтонианом:
где оператор создания фермиона со спином на участке i, число оператора частиц; суммирования проходят по участкам LxW W-ногой лестничной решетки длины L. U - локальное взаимодействие Хаббарда между фермионами с противоположными спинами, а t-амплитуда прыжка, которая задается t=1 без потери обобщения. Рассматривается только нулевая температура (T=0) и вычисляются энергии основного состояния с помощью метода DMRG, реализованного в пакете ALPS.
Расчет фазовой диаграммы
Обозначения:
, , - химпотенциал, -
магнитное поле, - большая каноническая энергия, - число узлов цепочки
Фазовые переходы:
1. Линия “поляризованый газ - неполяризованный газ” (из фазы P=0 в фазу P>0).
Разностные формулы для производных ():
2. Линия “вакуум - неполяризованный газ”.
Стартуем из точки , увеличивая , до точки появления первой пары. При появлении пары большая каноническая энергия системы (одной пары) равна энергии вакуума: , где . Отсюда, уравнение границы - горизонталь .
3. Линия “вакуум - полностью поляризованный газ”
Пусть полностью поляризованный газ состоит из одной частицы: , где . Тогда - уравнение границы.
4. Линия “полностью поляризованный газ - частично поляризованный газ”.
Полностью поляризованный газ: , частично поляризованный газ:
.
Тогда .
5. Линия “полностью поляризованный газ 1 - полностью поляризованный газ 2”.
Фаза FP1 (полностью поляризованный газ 1): ,
Фаза FP2 (полностью поляризованный газ 2): ,
Потенциалы фаз:
, .
Приравниваем потенциалы фаз на границе раздела с учетом того, что для фазы FP1 на границе , а так же и для обоих фаз одинаковы:
.
С учетом того, что и , получим уравнение фазовой границы:
.
Если сравнить с уравнением линии 3 (), то видно, что они параллельны.
6.Численный расчет фазовых диаграмм
В данной работе расчет многоногих оптических решеток модели Хаббарда фермионов было произведено в популярном дистрибутиве языков программирования R и Python (по большей части используется именно Python), носящем название Anaconda. Anaconda является мощным инструментом для научных вычислений и моделирования различных процессов. Дистрибутив имеет пакетный менеджер conda, который призван устанавливать, обновлять и удалять различные компоненты дистрибутива.
После установки дистрибутива с официального сайта https://www.anaconda.com/distribution/#download-section, при запуске программы откроется окно приветствия с целым рядом приложений, установленных по умолчанию. В нашем случае нас будет интересовать только Spyder, кроссплатформенная среда разработки с открытым исходным кодом для программирования на языке Python в области научных вычислений. Данная IDE является наиболее простой и удобной для задач настоящей диссертации.
Для физического моделирования нашего двухкомпонентного ферми газа потребуется дополнение под названием ALPS (сокращение от Algorithms and Libraries for Physics Simulations). Его установка требует соблюдения поддерживаемой разрядности для каждой операционной системы. В случае Windows, ALPS поддерживает как 32-битную, так и 64-битную разрядность. Также стоит отметить тот факт, что для данной библиотеки требуется установка дистрибутива Anaconda с интерпретатором Python только версии 2.7.
Установка ALPS производится довольно просто. В меню пуск в папке установленного дистрибутива Anaconda есть ярлык на, так называемый, Anaconda Prompt, являющийся командной оболочкой для данного дистрибутива. При его запуске потребуется запустить следующую команду для установки ALPS:
conda install -c conda-forge/label/cf201901 alps
После этого желательно обновить все пакеты Anaconda во избежание конфликтов зависимостей между ними:
conda update --all
Теперь, когда все готово для моделирования и численных расчетов, остановимся на вопросе об использовании ALPS путем написания программы на языке программирования Python. Сам ALPS написан по большей части на С++, но существует необходимый модуль pyalps для Python, который позволяет напрямую использовать всю мощь этих библиотек и алгоритмов. Его использование, а также еще некоторого набора необходимых модулей для полного числового расчета фазовых диаграмм, мы разберем путем разбора написанного исходного кода всей программы.
Расчеты энергий основного состояния проводятся методом DMRG (Density matrix renormalization group), ищущим волновую функцию состояния матричного произведения с наименьшей энергией Гамильтониана.
Каталог всей программы представляет собой следующий набор файлов и папок:
input_files
output_files
truncation_error
get_input.py
calculate.py
get_output.py
inputs.txt
outputs.txt
Папки input_files и output_files предназначены для хранения входных и выходных .xml файлов, по сути являющихся “хранилищем” параметров, при которых производятся расчеты энергий основных состояний, и результатов расчетов при этих заданных параметрах. На иллюстрации ниже приведен пример одного из выходных .xml файлов, в котором в качестве результатов выступает значение энергии основного состояния “Energy” и ошибка усечения “Truncation Error”:
Рис 7. Пример выходного xml файла.
Специальная папка truncation_error служит для хранения выходных файлов, где значение truncation_error превысило допустимое в размере 10^(-10) (для некоторых из фазовых диаграмм данная ошибка не учитывалась).