Аннотация
фазовый диаграмма атом колебание
В настоящее время одним из основных направлений физики конденсированного состояния является исследование систем сильно коррелированных частиц, характерной особенностью которых является сильное взаимодействие и почти полное отсутствие аналитического описания. Эксперименты для исследования такого рода систем в большинстве случаев чрезвычайно затратны, сложны и дорогостоящи, в связи с чем возникает необходимость численного моделирования таких систем.
Целью данной работы является расчет фазовых диаграмм и термодинамических свойств кластеров ультрахолодных атомов, локализованных в двумерных оптических решетках. Взаимодействие частиц в решетке описывается моделью Хаббарда, а численное моделирование выполнено в пакете ALPS (Algorithms and Libraries for Physics Simulations), предназначенном для моделирования сильно коррелированных квантово-механических систем. Программа расчета фазовой диаграммы была написана на языке программирования Python. Кроме того, была рассчитана зависимость периода колебаний атомов в оптических ловушках как функция энергии колебаний во всем диапазоне энергий атомов.
Фазовые диаграммы были рассчитаны для различных параметров модели, различного количества цепочек в лестницах (до 3-х включительно) и различных граничных условий (открытые ГУ и периодические ГУ - типа “тоблерон”). В результате был проверен ряд качественных теоретических предположений.
Введение
Одной из самых простых и в тоже время эффективных моделей описания взаимодействия между частицами (как бозонами, так и фермионами) в твердом теле является модель Хаббарда. Несмотря на свою простоту, данная модель позволяет описывать физические свойства многих твердых тел, часто применяется для описания многих физических систем, вплоть до высокотемпературных сверхпроводников.
Описание модели Хаббарда кластеров ультрахолодных атомов было смоделировано путем написания программного обеспечения на языке программирования Python с использованием ALPS. Рассматриваемым объектом в работе есть квазиодномерная модель двухкомпонентного Ферми-газа при нулевой температуре для отображения большой канонической фазовой диаграммы однородной системы. В частности, используется модель Хаббарда кластеров фермионов на двух- и трехногих лестницах и сравнивается поведение этой модели с известным случаем строго одномерной одноцепочечной решетки. Алгоритмом построения всей работы выступает численный вариационный метод DMRG (Density Matrix Renormalization Group - перенормировочная группа матрицы плотности), являющийся одним из наиболее эффективных методов для моделирования физики низких энергий квантовых систем с высокой точностью в случае одномерных систем.
Работа начинается с описания сильно коррелированных систем, уравнения Шредингера и гильбертова пространства. Далее следует метод вторичного квантования, частным случаем которого является модель Хаббарда. Затем следует расчет фазовых переходов и последующее численное моделирование фазовых диаграмм двумерной “лестницы” фермионов с одной, двумя и тремя “ногами”.
1. Основы физики сильнокоррелированных систем
Открытие явления высокотемпературной проводимости в оксидах переходных металлов было одним из внушительных достижений прошлого столетия. Это подтолкнуло ученых работать именно в этой области и связать свою дальнейшую научную деятельность именно с этим явлением. Получение новых химических соединений с уникальными свойствами стало главный целью на пути к достижению сверхпроводимости при обычных температурах.
Отсутствие заполненных 3d-, 4f- или 5f- оболочек в синтезированных веществах является той самой причиной наличия уникальных физических явлений в данных соединениях. Именно сильное взаимодействие электронов между собой сформировало уникальные свойства новых соединений. Так появились на свет сильно коррелированные системы, то есть системы с сильным электронным взаимодействием.
Но, как и в любой новой области исследований без проблем не обошлось. По причине того, что новые соединения совершенно отличались от известных обычных металлов и полупроводников, стандартная зонная теория не могла точно и целиком описать все свойства новорожденных соединений. Причина кроилась в игнорировании взаимодействия электронов между собой в стандартной зонной теории, потому что в обычных уже известных соединениях их взаимодействие было крайне мало.
В новых же соединениях была совершенно противоположная ситуация. Сильное взаимодействие электронов было на несколько порядков больше и существеннее, чем в обычных соединениях. Это привело к поискам новых путей и подходов в квантовой механике для полноценного описания новых веществ.
На сегодняшний день описание сильно коррелированных систем средствами квантовой механики возможно двумя способами: либо через создание моделей, либо путем расчетов электронной структуры этих систем. Расчетами нередко можно описать довольно сложные химические соединения, целиком учитывая их электронное строение и кристаллическую структуру, таким образом количественно описать какие-то конкретные вещества. В случае модельного подхода исследуются общие свойства вещества, статистические закономерности их поведения в зависимости от, например, приложенных внешних полей или от температуры, при этом абстрагируются от каких-то конкретных свойств этого вещества. В модельном способе системы иногда описываются аналитическими методами, и результаты исследования выражаются в формульном виде, но согласно тенденциям последних лет на финальных этапах аналитических исследованиях приходится применять численные методы для решения уже выведенных уравнений.
В теории материалов используются три основные модели для построения с участием элементов с незаполненными d- или f- оболочками: модель Андерсона, sd модель и модель Хаббарда. В настоящей выпускной квалификационной работе рассматривается только случай модели Хаббарда. Данная модель учитывает одну группу невырожденных электронов, находящихся на одном узле и взаимодействующих силами кулоновского отталкивания. Модель Хаббарда характеризуется гамильтонианом, описывающим движение электронов на кристаллической решетке и их локальное кулоновское взаимодействие. Здесь два электрона могут оказаться на одном узле в случае, когда их спины противоположны по причине не вырожденности электронных состояний. Подробнее о модели Хаббарда будет сказано в третьем разделе настоящей работы, сейчас же остановимся на самой природе и происхождении гамильтониана.
Теоретическая механика основывается на двух формализмах: формализме Лагранжа и Гамильтона. Формализм Гамильтона, являющийся основой математического аппарата квантовой механики, был задуман Уильямом Роуэном Гамильтоном, как реализация (приложение) Лагранжевой механики (которая в свою очередь является основой квантовой теории поля) в геометрической оптике. В свою очередь, сама механика Лагранжа основывается на работах Эйлера. Так или иначе, в общем виде, оба формализма построены на фундаментальных исследованиях Ньютона, заложенных им еще в семнадцатом веке, что говорит о том, что и квантовая теория поля, и сама квантовая механика основываются на Ньютоновской механике.
Формализм Гамильтона, так же как и Лагранжев формализм, оперирует обобщенными (каноническими) переменными, но помимо этих канонических координат q1,…,qn, которые описывают местоположение, также учитываются (вместо канонических скоростей) соответствующие обобщенные (канонические) импульсы p1,…,pn:
Лагранжиан
Гамильтониан , где q, p - координаты и канонические импульсы
Гамильтониан в отличие от Лагранжиана не дает релятивистски-инвариантного описания системы в явном виде, т. е. в случае Гамильтониана энергия в разных инерциальных системах отсчета различна.
В конечном счете Гамильтонов формализм стал основой для нерелятивистской квантовой механики. Этапом перехода от классической Гамильтоновой механики к квантовой механике стала процедура канонического квантования (в микромире все существует в виде отдельных уровней или частей, то есть квантовано), осуществленная Вернером Гейзенбергом. Данная процедура заключается в замене всех канонических координат и импульсов (в нестационарном случае к ним добавляются еще и канонических энергии) на соответствующие им линейные операторы:
Применив процедуру канонического квантования к закону сохранения энергии, можно получить уравнение Шредингера для электрона. В этом случае гамильтониан системы становится линейным оператором, а вместе с ним кинетическая и потенциальная энергии:
где - Лапласиан
Тогда закон сохранения энергии в операторном виде, , переходит, путем выбора в качестве аргумента операторов волновой функции электрона, , в уравнение Шредингера:
(стационарное уравнение Шредингера)
(нестационарное уравнение Шредингера)
Коммутаторные (перестановочные) соотношения для коммутирующих операторов представляют собой следующее:
.
А также для не коммутирующих операторов:
Операторы координаты и импульса в квантовой механике должны удовлетворять следующим коммутаторным соотношением:
где - символ Кронекера.
Здесь следует подробнее остановиться на понятии линейного оператора. Любая физическая величина в квантовой механике задается линейным оператором. Линейный оператор - оператор, сопоставляющий (отображающий) функцию (вектор) на одну и только одну функцию (вектор) , т. е. однозначно.
Свойства линейных операторов:
,
где с -константа
Линейный оператор по своей сути является способом нахождения другой функции по заданной функции. Примерами таких операторов являются интегрирование, дифференцирование и другие.
Операторы можно описать в матричном представлении. Пусть - линейный оператор (чья матрица имеет ранг 2), преобразующий вектор двумерого пространства в вектор того же пространства. Линейно-преобразованный вектор находится как произведение матрицы оператора , , на исходный вектор :
Для гильбертова пространства характерен тот факт, что каждому состоянию частицы можно поставить прямую линию, т.е. координатную ось. В реальности же для квантовой частицы таких состояний (координатных осей) бесконечное множество (учитывая бесконечное количество положений частицы). Значит, описывающих эти состояния частицы кет-векторов (независимых осей, то есть “измерений” пространства) также будет бесконечное число.
Здесь следует дать определение гильбертову пространству. Гильбертово пространство является своего родом аналогом фазового пространства в классической механике. Это бесконечномерное пространство H векторов с конечной длиной (то есть ), которое соответствует множеству квадратично-интегрируемых функций:
Удовлетворяющие уравнению Шредингера
волновые функции являются непрерывными комплексно-значными функциями от действительных переменных. Это множество функций от одного аргумента образуют линейное векторное пространство. В свою очередь сами пси функции являются векторами этого пространства (в более широком понимании одномерными подпространствами этого пространства). Сопоставление кет-вектора гильбертова пространства волновой функции Шредингера позволяет описать векторные свойства этих волновых функций:
Для некоторого состояния частицы то есть кет-вектор этого состояния, представляет собой бесконечный столбец из значений функций в каждой точке `x':
Подытожив, можно сказать, что в гильбертовом пространстве роль координат кет-вектора исполняют все возможные значения соответствующей ему функции .
Из курса линейной алгебры нам известно, что каждому векторному пространству можно сопоставить дуальное, то есть сопряженное ему векторное пространство. Здесь стоит остановиться поподробнее на понятии оператора эрмитова сопряжения.
Оператор эрмитова сопряжения, † (“крест”), по своей сути является двумя последовательно примененными операциями: транспонированием и последующим комплексным сопряжением. В случае когда операция эрмитова сопряжения применяется над некоторым оператором, в итоге получается новый оператор, эрмитовоЃ]сопряженный данному. Через транспонирование и комплексное сопряжение матрицы можно получить эрмитово-сопряженную матрицу:
Бывает, что применение эрмитова оператора сопряжения к некому оператору переводит этот оператор в сам себя. Тогда такой оператор называется эрмитовым (самосопряженным, вещественным):
Для элементов матрицы получаем следующее:
Здесь важно запомнить, что наблюдаемые физические величины выражаются соответствующими им эрмитовыми операторами.
Вернемся к гильбертову пространству. Пространство браЃ]векторов H* Ѓ] пространство, сопряженное гильбертову пространству кет-векторов H. Пространства H и H* геометрически подобны друг другу, иными словами обладают линейным изоморфизмом. БраЃ]вектора являются линейными функционалами, которые определены на линейном векторном пространстве кетЃ]векторов H. Любой линейной функцией от кетЃ]вектора, , можно задать вектор совершенно нового типа Ѓ] браЃ]вектор .
В процессе исследования бра-пространства была предложена гипотеза о сущестовании взаимо-однозначного соответствия между векторами в кет-пространстве и векторами в дуальном ему бра-пространства. Это предположение подтвердилось, в связи с чем кет-векторы и бра-векторы являются эрмитово сопряженными друг другу:
Как было сказано выше, оператор эрмитова сопряжения † есть транспонирование и последующее комплексное сопряжение. Следовательно, если , является векторЃ]столбцом, то Ѓ] векторЃ]строка, чьи координаты являются числами, комплексноЃ]сопряженными соответствующим координатам кетЃ]вектора :
В связи с принадлежностью кет-векторов и бра-векторов к разным векторным пространствам (кетЃ] векторы - пространству векторовЃ]столбцов, браЃ]векторы Ѓ] пространству векторовЃ]строк), математически операция их сложения не разрешается. Соответствие между кетЃ] и браЃ] векторами антилинейно.