Подытожив, можно сделать следующие выводы касательно вводного раздела настоящей выпускной квалификационной работы:
1. Ознакомление с понятием сильно коррелированных систем (СКС) и последующее описание СКС путем программного создания модели Хаббарда в следующих разделах данной ВКР.
2. Через формализм Гамильтона переход к гамильтониану системы путем процедуры канонического квантования и выражение из закона сохранения энергии в операторном виде уравнения Шредингера
3. Образование линейного векторного пространства множеством пси функций от одного аргумента и сопоставление им кет-вектора гильбертова пространства
2. Метод вторичного квантования
При математическом описании квантовой теории поля потребуется ввести такое понятие как квантование полей. Как уже было ранее сказано в предыдущем разделе, переход от классической механики Ньютона-Лагранжа-Гамильтона к квантовой механике Гейзенберга-Шредингера-Дирака был выполнен путем канонического (первичного) квантования, заключающегося в следующих пунктах:
1. Превращение в соответствующие операторы канонических координат и импульсов.
2. Наложение на получившиеся операторы коммутационных (перестановочных) соотношений:
В случае квантовой теории поля проводится аналогичная процедура под названием вторичное квантование, заключающееся в квантовании полей, а не координат и импульсов. При вторичном квантовании проводятся следующие операции:
1. Операторы канонических координат и импульсов теряют свой статус и вновь являются обычными координатами и импульсами
2. Поля превращаются в соответствующие операторы полей
3. На получившиеся операторы полей и сопряженных с ними импульсных полей накладываются коммутационные соотношения
Аналогично в квантовой теории поля, как и в квантовой механике, существуют квантовые состояния. Но здесь квантовые состояния являются состояниями полей, а не состоянии системы частиц (например, атома как системы ядро-электроны). При воздействии операторов полей на эти квантовые состояния происходит либо уничтожение, либо рождение частицы. В физическом понимании квантование поля представляет собой представление этого поля в виде набора отдельных излучающих осцилляторов, в связи с чем описание квантовой системы с изменяющимся числом частиц основано на квантовом гармоническом осцилляторе.
Квантовый гармонический осциллятор является аналогом классического осциллятора в квантовом мире, где колеблющаяся частица уже не подчиняется механики Ньютона. Для квантового осциллятора можно получить оператор Гамильтона, проведя первичное квантование классическому Гамильтониану:
связаны следующим коммутаторным соотношением:
Дальше можно найти собственные значения и вектора Гамильтониана. Для начала осуществляется переход к новым координатам . Их непосредственная связь со старыми координатами:
Следующим шагом будет подстановка новых значений в Гамильтониан:
Здесь эрмитовы операторы связаны также коммутаторным соотношением:
По сути являются приведенными координатой и импульсом.
Воспользуемся прямым методом Дирака, методом построения векторного пространства динамических состояний системы. Данный метод заключается в построении собственных векторов H при воздействии соответствующими операциями на один из них.
Зададим оператор числа частиц и эрмитово-сопряженные операторы Бозе :
Здесь есть возможность через операторы Бозе выразить приведенные импульс и координату:
При коммутаторном соотношении получаем
Следовательно
Наконец, можно выразить через оператор числа частиц и операторы Бозе сам Гамильтониан. Путем подстановки получаем:
В случае оператора числа частиц воспользуемся :
Тогда получаем Гамильтониан:
Если в домножить обе части на оператор можно получить следующую интересную закономерность:
В итоге оператор уменьшает число частиц ровно на одну. Его называют оператором уничтожения. Если аналогичным образом домножить с обеих сторон на :
То количество частиц, наоборот, увеличивается на единицу. Этот оператор носит название оператора рождения.
Подытожив текущий раздел настоящей выпускной кваливикационной работы, можно сделать следующие выводы:
1. Метод вторичного квантования требуется в случаях, когда число частиц в системе непостоянно и изменчиво при различных процессах, происходящих в этой системе.
2. Оператором уничтожения является тот оператор, при котором волновая функция состояния системы превращается в функцию другого состояния с уменьшенным на единицу числом частиц
3. Оператором рождения является тот оператор, при котором волновая функция состояния системы превращается в функцию другого состояния, но уже с увеличенным на единицу числом частиц
4. Метод вторичного квантования не зависит от статистики Ферми-Дирака или Бозе-Эйнштейна. Различие кроится только в наличие принципа Паули в Ферми статистике и отсутствии данного принципа в статистике Бозе.
3.Модель Хаббарда
Модель Хаббарда является максимально простой моделью для описания взаимодействия частиц в кристаллической решетке. Главным ее назначением стало описание перехода между проводящим состоянием и непроводящим (диэлектрическим) в твердом теле.
Основной характеристикой модели Хаббарда является его гамильтониан, наглядно демонстрирующий возможность перемещения атомов между узлами и их взаимодействие друг на друга в каждом из узлов. На сегодняшний день применение данной модели лежит в физике низких температур, где она максимально точно описывает поведение частиц.
Исходя из стандартного гамильтониана для газа Ферми с кулоновским взаимодействием, Хаббард и получил свою модель:
Первое слагаемое является кинетической частью гамильтониана. Для стандартной кубической решетки . Второе слагаемое описывает кулоновское взаимодействие электронов.
В узкозонных системах электроны сильно локализованы, также имеют большую эффективную массу. Здесь стоит перейти от импульсного представления к оператору узла:
где j описывает базис волновых функций Ваннье. Волновые функции Ванье совпадают с волновыми функциями на узле, их асимптоты являются плоскими волнами, расположенными далеко от самого атома.
Для той же кинетической части гамильтониана воспользуемся обратным преобразованием Фурье, учитывая выражение для узельного оператора:
Следующим шагом будет подстановки получившегося уже в потенциальную часть гамильтониана:
Основная порция энергии электронов в металлах и полуметаллах приходится на их взаимодействие между собой .
Положим, что взаимодействие между электронами только на одном узле:
Тогда выражение для гамильтонинана принимает следующий вид:
И мы получили гамильтониан Хаббарда, по сути описывающий модель Хаббарда.
Первым членом, отвечающим за кинетическую энергию, является выражение, описывающее перескоки электронов на соседние узлы. Здесь перескоки имеют амплитуду . Второй член гамильтонина есть кулоновское отталкивание электронов на узле, имеющим потенциал . Он показывает несостоятельность нахождения частиц с одинаковыми спинами на одном узле.
Для ближайших соседних узлов решетки гамильтониан Хаббарда принимает следующую форму:
Что говорит о том, что модель имеет только лишь параметр в виде матричного элемента перескока на соседний узел t и кулоновское отталкивание на узле U.
Модель Хаббарда и ее вариации используются в сильно коррелированных системах, таких как высокотемпературные проводники, наноструктуры, в различных спиновых системах. Основное назначение модели Хаббарда лежит в описании свойств этих систем, будь то сверхпроводящие свойства, магнитные и другие. Главным достоинством этой модели стало легкое описание системы сильновзаимодействующих электронов, где довольно просто можно установить фазовые переходы между проводящим и диэлектрическим состоянием.
На сегодняшний день по причине трудностей в аналитическом описании хаббардоподобных моделей все чаще пользуются спросом численные расчеты этих моделей. Различные методы, например метод точной диагонализации, помогают в решении данной проблемы.
4.Ферми газ в двумерной оптической решетке
Для начала рассмотрим определение газа Ферми, его свойства и особенности. Ферми газом называется газ, состоящий из частиц с полуцелым спином - фермионов. Частицы в таком газе высоко сконцентрированы, их масса довольно мала. Другим названием Ферми газа является газ Ферми-Дирака по причине его подчинения одноименной статистике Ферми-Дирака, позволяющей рассчитать вероятность нахождения ферми частиц в единице объема всего газа. Такой газ обладает квантовомеханическими эффектами, ярким примером Ферми газа можно назвать электроны в металле (полупроводнике).
Главной особенностью Ферми газа является наличие в нем энергии даже при нулевой температуре. Дело в том, что в отличие от обычного классического Бозе газа (газ Бозе-Эйнштейшна, подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна), фермионы в газе Ферми из-за так называемого запрета Паули, не могут находиться в одном энергетическом квантовом состоянии. Каждая частица при Т = 0 займет свое отдельное состоянии с наименьшей энергией. На иллюстрации ниже приведена наглядная демонстрация различия бозе и ферми частиц:
Рис.1. Бозе и Ферми частицы
В итоге, по причине принципа запрета Паули даже при нулевой температуре, в Ферми газе квантовое состояние с нулевой энергией займет только одна частица, остальные распределяются (не обязательно на все, то есть от нуля до одного фермиона на каждое состояние) на состояния с уже имеющейся кинетической энергией, пусть и наименьшей для этого состояния.
Сама статистика Ферми-Дирака позволяет рассчитать среднее количество частиц в состоянии i с энергией при общем количестве различных квантовых состояний с энергией и химическом потенциале , представляющим собой энергию добавления одной частицы:
Химический потенциал при нулевой температуре принимает строго определенное значение энергии Ферми . При высоких же температурах как газ Ферми, так и Бозе газ ведет себя как обычный классический газ. Для того чтобы сохранить квантовые свойства Ферми газа нужно соблюдать значение температуры вырождения , выше которой газ уже становится невырожденным. В качестве примера в металлах температура вырождения равна 104 K, в связи с чем газ Ферми в виде электронов в металлах всегда находится в вырожденном состоянии. На графике ниже можно увидеть зависимость энергетический состояний от количества частиц:
Рис 2. Зависимость энергетических состояний от количества частиц.
Таким образом в случае Ферми газа наибольшую вероятность представляют собой состояния с малой энергией.
Перейдем к такому понятию как оптическая ловушка (иногда также называемая оптический пинцет). Захватывать, перемещать и удерживать микрочастицы обычным максроскопическим механическим способом не представляется возможным по причине малых размеров этих частиц. Оптическая ловушка была призвана решить данную проблему и дать возможность манипулировать объектами в наномасштабах.
Основной принцип работы оптической ловушки происходит еще со школьного курса физики, где говорится о том, что фотон не обладает массой, но обладает импульсом, а значит и давлением. Изменяя направление импульса возникает сила, на принципе действия которой и основана оптическая ловушка. Главным достоинством оптической ловушки является сохранение образца в исходном виде, без каких-либо внутренних и внешних структурных изменений.
Деление на два способа работы оптической ловушки обусловлено соотношением размеров захватываемого объекта и длины волны излучения света, которым этот объект захватывается. В случае, когда размер частицы больше длины волны, на ней рассеивается передаваемая электромагнитная волна и сообщает ей импульс, толкающий ее в направлении интенсивности света (принцип работы градиентной силы). Местоположение захватываемой частицы в этом случае будет около максимальной интенсивности излучения лазера. Таким способом при использовании двух лазеров можно поймать частицу в пространстве и перемещать ее в точке фокусировки этих излучений.
Во втором случае при размерах частицы, меньших, чем длина волны излучения, в ход идет понятие электрического диполя. Попадающее на объект электрического поле наводит на нем электрический дипольный момент, который частица пытается скомпенсировать, вследствие чего она вращается и перемещается так же, как и в первом случае, в сторону изменения интенсивности света по принципу действия градиентной силы. На иллюстрации ниже приведен механизм работы каждого из двух случаев работы оптической ловушки:
Рис 3. Принципы работы оптической ловушки
Принцип оптической ловушки находит применение в создании оптических решеток. Оптическая решетка образуется в результате интерференции встречных лазерных пучков, в процессе которой упорядоченно создаются потенциальные ямы. Потенциальные ямы в свою очередь могут захватить нейтральные атомы, при условии если те достаточно охлаждены. Преимуществом оптической решетки является ее абсолютное отображение картины реального кристалла, где нейтральные атомы играют роль электронов в реальном кристалле. От глубины потенциальных ям зависит возможность частиц перемещаться между соседними ячейками оптической решетки или не перемещаться вовсе, в результате в решетке будет наблюдаться состояние изолятора Мотта. Это перемещение за счет туннельного эффекта будет происходить при достаточной глубине ямы и будет отсутствовать при чрезмерно большой яме.