Материал: Аверянов Введение в оператсионные системы и основы программирования 2015
|
|
|
|
|
|
|
Окончание таблицы |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
|
Тип |
|
Тип аргумента |
|
|
Действие |
|
|
|
функции |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Совпадает с |
|
real любой |
|
Значение |
||
|
|
|
|
|
функции |
||||
|
cosh(X) |
типом |
|
поддерживаемой |
|
||||
|
|
|
аргумента |
|
разновидности |
|
гиперболического |
||
|
|
|
|
|
косинуса |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Совпадает с |
|
real и complex |
|
Значение |
||
|
exp(X) |
типом |
|
любой разно- |
|
экспоненциальной |
|||
|
|
|
аргумента |
|
видности |
|
функции |
||
|
|
|
Совпадает с |
|
real и complex |
|
Значение |
||
|
|
|
|
|
функции |
||||
|
log(X) |
типом |
|
любой разно- |
|
||||
|
|
|
натурального |
||||||
|
|
|
аргумента |
|
видности |
|
|||
|
|
|
|
|
логарифма |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Совпадает с |
|
real любой |
|
Значение функ- |
||
|
log10(X) |
типом |
|
поддерживаемой |
|
ции десятичного |
|||
|
|
|
аргумента |
|
разновидности |
|
логарифма: X > 0 |
||
|
|
|
Совпадает с |
|
real и complex |
|
Значение |
||
|
sin(X) |
типом |
|
любой разно- |
|
||||
|
|
|
функции синуса |
||||||
|
|
|
аргумента |
|
видности |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Совпадает с |
|
real любой |
|
Значение |
||
|
|
|
|
|
функции |
||||
|
sinh(X) |
типом |
|
поддерживаемой |
|
||||
|
|
|
аргумента |
|
разновидности |
|
гиперболического |
||
|
|
|
|
|
синуса |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Совпадает с |
|
real и complex |
|
Значение |
||
|
|
|
|
|
функции |
||||
|
sqrt(X) |
типом |
|
любой разно- |
|
||||
|
|
|
квадратного |
||||||
|
|
|
аргумента |
|
видности |
|
|||
|
|
|
|
|
корня |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Совпадает с |
|
real любой |
|
Значение |
||
|
tan(X) |
типом |
|
поддерживаемой |
|
||||
|
|
|
аргумента |
|
разновидности |
|
функции тангенса |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Совпадает с |
|
real любой |
|
Значение |
||
|
|
|
|
|
функции |
||||
|
tanh(X) |
типом |
|
поддерживаемой |
|
||||
|
|
|
аргумента |
|
разновидности |
|
гиперболического |
||
|
|
|
|
|
тангенса |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
211
4. ТЕМЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРОГРАММИРОВАНИЯ
4.1.ПРОСТЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ
4.1.1.Интерполяционные полиномы первой степени
Известно, что уравнение прямой на координатной плоскости представляет собой линейную функцию , где коэффициенты и известны (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Линейная функция
Теория интерполяции функций рассматривает уравнение прямой как одну из форм записи интерполяционного полинома первой степени в канонической форме:
. (4.1)
Это, в принципе, то же самое школьное уравнение прямой, с заменой ; , но значения и неизвестны, и их требуется найти по двум точкам, координаты которых известны.
Пусть на координатной плоскости |
, |
заданы две точки с из- |
||||
вестными |
координатами |
и |
|
, где |
(см. |
|
рис. 4.1), |
тогда для нахождения, |
неизвестных, |
коэффициентов |
и |
||
потребуется решить систему из двух алгебраических уравнений:
212
;
.. (4.2)
Уравнения (4.2) получаются подстановкой известных координат точек в выражение (4.1). Система (4.2) показывает, что для построения или функционального определения прямой необходимо и достаточно иметь на плоскости две точки с известными координа-
тами. Решение системы (4.2) дает значения коэффициентов |
и : |
||
; |
|
. |
(4.3) |
|
|||
Прямую, проходящую через две известные точки, можно представить полиномом в канонической форме (4.1) а также интерполяционными полиномами первых степеней в форме Лагранжа:
(4.4)
или в форме Ньютона:
. (4.5)
Нетрудно убедиться, что |
: |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По аналогии с (4.6) доказывается, что |
и, в конеч- |
||||||
ном счете: |
|
||||||
, |
(4.7) |
||||||
213 |
|
|
|
||||
т.е. полином в канонической форме, полином Лагранжа и полином Ньютона – это разные, но абсолютно эквивалентные формы записи одного и того же выражения. В общем случае это справедливо как для полиномов первой степени, так и для полиномов всех целых положительных степеней.
4.1.2. Интерполяционные полиномы второй степени
Перейдем к рассмотрению интерполяционных полиномов второй степени. Из школьной программы известно уравнение параболы, заданной на координатной плоскости, которое представляет собой квадратичную функцию , где , и – известные коэффициенты (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Квадратичная функция
Интерполяционный полином второй степени в канонической форме
(4.8)
также представляет собой квадратичную функцию, с тем отличием,
что коэффициенты при степенях неизвестны. |
|
|
Для нахождения неизвестных коэффициентов , |
и |
необ- |
ходимо решить систему трех алгебраических уравнений: |
|
|
214 |
|
|
;
; (4.9)
.
Система (4.9) может быть получена при наличии трех точек с из-
вестными координатами: |
в (4.8), |
|
и |
путем под- |
||||||||
становки значений этих координат, , |
. Решая систему, |
(4.9) по- |
||||||||||
лучаем значения коэффициентов: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
(4.10) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
.
Если для построения или функционального определения линей-
ной функции (полинома степени |
) требуется две точки, то |
||
для квадратичной функции (полинома |
степени |
|
) будет необ- |
1 |
показать, что для |
||
ходимо и достаточно трех точек. В общем можно |
2 |
|
|
построения или функционального определения полинома степени
будет необходимо и достаточно |
1 |
точек. |
||
Помимо |
полинома в |
|
виде (4.8), квадратичная |
|
|
каноническом |
|||
функция при наличии трех известных точек может быть представ-
лена также интерполяционными полиномами второй степени в форме Лагранжа
(4.11)
или в форме Ньютона:
(4.12)
.
215