Курсовая работа (т): Анализ и построение зависимостей

7. Проверка, что выборка осуществлялась по случайному закону

Будем использовать критерий согласия Пирсона

. (1)

Если, как это обычно имеет место,

,

то указанную формулу можно преобразовать к виду более удобному для вычислений

. (2)

Проверяемая гипотеза состоит в том, что выбор 150 изделий из нормальной генеральной совокупности с μ = 60 и σ = 10 был произведён по случайному закону. Так как известны параметры нормальной генеральной совокупности, то критерий χ2 может только проверить случайный характер выборки.

В качестве уровня значимости выберем α = 0,05.

Для того, чтобы получить визуальное представление о степени соответствия нашей выборки нормальной кривой, воспользуемся гистограммой частот 150 изделий (см. рис. Б) с наложенной на неё нормальной кривой с параметрами μ = 60 и σ = 10. Вычисленные значения ординат нормальной кривой приведены в таблице 7.

Таблица 7

Ординаты нормальной кривой: μ=60; σ=10; n=150; ∆Х=8

 - середина теоретического интервала

.

Умножение на , а не на  вызвано тем, что площадь гистограммы должна быть равна 100, а не 1 и являться суммой площадей прямоугольников с основанием ΔХ.

Увеличение числа интервалов и изменение их границ вызвано симметричностью нормальной кривой относительно μ.

При рассмотрении рис. Г может создаться впечатление, что между нормальной кривой и гистограммой наблюдается несоответствие. Однако при этом следует помнить, что выборка содержит только 150 изделий, и наличие даже существенного расхождения не следует считать слишком неожиданным.

В таблице 8 приведены данные наблюдений с правилами распределения площади под кривой нормального распределения. Фактический процент наблюдения находится путём простого подсчёта частот mi статистического ряда (таблица 3), попадающих в заданные интервалы ± zs и соотнесённых с объёмом выборки n = 150. В нашем случае наблюдается хорошее согласие процентов наблюдений.

Таблица 8

Сопоставление опытных данных с правилами распределения площади под кривой нормального распределения

Рис. Г. Нормальная кривая и гистограмма 150 изделий, взятых по случайному закону из приближённо нормальной генеральной совокупности (μ = 60, σ = 10)

Теоретические частоты  для рассматриваемого распределения 150 изделий, взятых из генеральной совокупности с μ = 60 и σ = 10, приведены в таблице 9. Порядок вычисления объясняют заголовки каждого из столбцов этой таблицы.

Очевидно, что значений  1-го столбца следует выбирать нечётное количество с учётом величины μ так, чтобы серединное значение  равнялось значению μ.

Таблица 9

Вычисление теоретических частот для 150 изделий, взятых по случайному закону из приближённо нормальной генеральной совокупности (μ=60; σ=10; n=150;ΔX=8)

Значения в первой и последней строчках 2, 3 и 4-го столбцов равны соответственно -∞ и +∞, так как нормальное распределение теоретически простирается от -∞ до +∞. Числа, указанные в 5-м столбце, взяты из таблицы 2.3, приведённой в Приложении 2. Наличие знака "минус" у первых цифр этого столбца, соответствующих значениям , меньшим нуля, обусловлено тем, что при Хр < μ

 < 0.

В 6-м столбце приведены первые разности.

Так, например,

Вычисленное по формуле (1) значение χ2 приведено в таблице 10. Как следует из этой таблицы, значение χ2 = 1,2433. В этой таблице приведено семь групп (интервалов), то есть на две группы меньше, чем в таблице 9. Сокращение числа групп осуществлено за счёт объединения первых двух, а также двух последних групп. Это сделано потому, что значения m* в первых двух и последних двух группах весьма малы. Очень часто применяется правило, указывающее, что критерий χ2 может применяться в тех случаях, когда каждая теоретическая группа содержит по крайней мере пять наблюденных значений, а общее количество наблюденных значений составляет по крайней мере 50. Введение этих ограничений имеет вполне определённую цель: гарантировать, что распределение наблюденных значений mi относительно значений теоретических частот  будет настолько близко к нормальному, что применение при оценке вероятностей таблиц для χ2 будет вполне обоснованным.

Хотя таблица 10 содержит семь групп, имеется только шесть степеней свободы (ν = S - 1 = 7 - 1 = 6), так как на теоретические частоты накладывается одно ограничение: .

В таблице для χ2 из Приложения 3 для ν = 6 находим  При этом область принятия будет определяться соотношением χ2 < 12,592, а область отклонения - соотношением χ2 ≥ 12,592.

Таблица 10

Вычисление χ2 для распределения частот при ширине группового интервала, равной 8, и выборке из 150 изделий, взятых по случайному закону из нормальной генеральной совокупности:μ=60; σ =10

Так как вычисленное значение χ2 составляет 1,2433, то оно попадает в область принятия, в связи с чем нет оснований для отклонения гипотезы о том, что выборка осуществлялась по случайному закону.

8. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

Если параметры распределения неизвестны, но можно считать, что выборка взята по случайному закону, то может возникнуть желание проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность является нормальной. При этом снова примем α = 0,05.

Так как параметры распределения неизвестны, используем совместные оценки максимума правдоподобия, исчисленные на основании группировки (таблица 4). Такими оценками являются  для μ и s2 для σ2.

По формулам  и , находим:

В таблице 11 показано вычисление теоретических частот, а из таблицы 12 по формуле (2) находим χ2 = 0,59.

Таблица 11

Вычисление нормальных частот для 150 изделий, взятых по случайному закону из генеральной совокупности с неизвестными параметрами:=60,72; s=10,89