Материал: ShashenkoSzdvigkovaGapeev_monograf
Р
АЗДЕЛ
1
10
счет
микродефектов
.
Эти
микродефекты
(
трещины
)
неизбежно
,
по
разным
при
-
чинам
,
присутствуют
в
исходном
материале
.
В
осадочных
породах
,
например
,
их
наличие
связано
с
генезисом
и
последующим
метаморфизмом
.
Разрыв
путём
растяжения
межатомных
связей
в
твердом
теле
требует
на
-
личия
напряжения
порядка
0,2
Е
,
где
Е
–
модуль
упругости
материала
.
Реальные
же
хрупкие
тела
разрушаются
при
напряжениях
,
равных
,
примерно
, 0,002
Е
.
Идея
А
.
А
.
Гриффитса
состояла
в
том
,
что
действующие
напряжения
от
внеш
-
них
нагрузок
многократно
увеличиваются
благодаря
концентрации
напряжений
на
кончиках
микродефектов
–
трещин
.
Для
решения
поставленной
задачи
им
был
применен
энергетический
под
-
ход
,
который
имеет
тот
недостаток
,
что
в
случае
трещины
с
притупленными
краями
дает
условие
,
которое
является
необходимым
,
но
не
достаточным
для
перемещения
трещины
.
В
этой
связи
позже
Эллиотом
и
Г
.
И
.
Баренблаттом
бы
-
ло
показано
,
что
кончик
трещины
А
.
А
.
Гриффитса
должен
быть
максимально
заострен
,
тогда
перемещение
трещин
становится
возможным
.
При
этом
очень
существенным
обстоятельством
являет
способ
нагружения
твердого
тела
:
заданная
деформация
или
заданная
нагрузка
.
В
первом
случае
продвижение
трещины
приводит
к
высвобождению
энергии
упругой
деформа
-
ции
,
которая
покрывает
дополнительную
поверхностную
энергию
.
Во
втором
случае
появление
трещины
вызывает
удлинение
образца
и
дополнительная
ра
-
бота
,
совершаемая
постоянной
нагрузкой
при
таком
удлинении
,
покрывает
при
-
рост
поверхностной
энергии
и
энергии
деформации
.
А
.
А
.
Гриффитс
рассмотрел
второй
случай
,
как
явно
приводящий
к
разру
-
шению
образца
при
приложении
некоторых
критических
нагрузок
.
Пусть
образец
с
сечением
в
единицу
площади
и
длиной
Y
испытывает
про
-
дольное
растяжение
внешней
нагрузкой
Р
,
порождающей
напряжения
σ
.
В
дан
-
ном
случае
Р
=
σ
.
Тогда
энергия
упругой
деформации
образца
будет
равна
E
Y
2
2
σ
.
Если
образец
содержит
трещину
,
которая
расположена
перпендику
-
лярно
к
линии
действия
силы
и
имеет
длину
2
с
,
то
образец
удлинится
,
что
на
Ф
ИЗИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
ПРОЧНОСТИ
И
РАЗРУШЕНИЯ
ТВЕРДЫХ
ТЕЛ
11
основе
решения
Инглиса
,
увеличит
энергию
деформации
на
Е
с
2
2
πσ
.
Таким
образом
,
полная
энергия
деформации
станет
равной
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
c
Y
E
E
c
E
Y
π
σ
πσ
σ
+
=
+
.
(1.1)
Из
выражения
(1.1)
следует
,
что
эффективный
модуль
упругости
образца
с
трещиной
равен
(
)
2
2
c
Y
YE
π
+
.
Трещина
также
привносит
поверхностную
энер
-
гию
γ
c
Y
=
,
где
γ
–
удельная
поверхностная
энергия
.
Работа
ω
,
совершаемая
напряжением
σ
при
удлинении
образца
,
вызван
-
ном
появлением
трещины
,
равна
(
)
ε
ε
σ
ω
−
=
c
Y
,
где
ε
–
относительная
продольная
деформация
образца
при
отсутствии
трещи
-
ны
,
а
c
ε
–
то
же
,
но
после
появления
трещины
.
Следовательно
E
c
E
YE
c
Y
Y
2
2
2
2
2
1
2
πσ
π
σ
ω
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
=
.
(1.2)
Энергетический
критерий
разрушения
требует
,
чтобы
работа
,
совершаемая
действующим
напряжением
при
увеличении
длины
трещины
,
была
достаточ
-
ной
для
покрытия
соответствующего
увеличения
поверхностной
энергии
и
энергии
упругой
деформации
.
Таким
образом
,
разрушающее
напряжение
опре
-
делится
следующим
соотношением
:
(
) (
)
dc
E
c
E
c
d
dc
E
c
d
p
p
1
2
2
1
1
2
2
4
2
−
−
−
+
=
πσ
γ
πσ
,
откуда
5
,
0
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
c
E
p
π
γ
σ
.
(1.3)
Р
АЗДЕЛ
1
12
Выражение
(1.3)
и
есть
основное
соотношение
А
.
А
.
Гриффитса
в
условиях
плоского
напряженного
состояния
.
Для
случая
плоской
деформации
выражение
(1.3)
примет
вид
(
)
5
,
0
2
1
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
c
E
p
π
ν
γ
σ
.
(1.4)
Основные
элементы
энергетического
баланса
при
образовании
трещины
в
растягиваемом
образце
представлены
на
рис
. 1.2.
При
отсутствии
тре
-
щины
образец
получает
относительное
удлинение
A
ε
,
чему
соответствует
на
-
пряжение
p
σ
.
При
образо
-
вании
трещины
относи
-
тельное
удлинение
увели
-
чивается
до
B
ε
при
посто
-
янном
напряжении
p
σ
.
Полная
работа
,
совершае
-
мая
приложенным
напряжением
при
образовании
трещины
,
численно
равна
площади
прямоугольника
АВСД
.
При
этом
увеличение
упругой
энергии
соот
-
ветственно
равно
разности
площадей
треугольников
ОВС
-
ОАД
=0,5
АВСД
.
Та
-
ким
образом
,
на
покрытие
прироста
поверхностей
энергии
идет
также
0,5
АВСД
.
В
случае
же
заданной
деформации
действующее
напряжение
упало
бы
по
-
сле
образования
трещины
до
величины
'
p
σ
.
При
этом
в
пределе
для
малого
при
-
ращения
длины
трещины
уменьшение
энергии
деформации
,
численно
равное
площади
треугольника
ОЕД
,
равно
увеличению
упругой
энергии
(
треугольник
ОСД
)
при
постоянном
напряжении
.
Во
время
роста
трещины
при
постоянной
деформации
приложенное
напряжение
не
совершает
никакой
работы
.
Таким
образом
,
критерий
начала
роста
трещины
вновь
дается
выражением
(1.3).
Од
-
Рис
. 1.2.
Связь
напряжений
и
деформаций
при
наличии
трещины
в
растягиваемом
образце
Ф
ИЗИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
ПРОЧНОСТИ
И
РАЗРУШЕНИЯ
ТВЕРДЫХ
ТЕЛ
13
нако
падение
напряжения
со
временем
приведёт
к
остановке
трещины
.
Для
ее
дальнейшего
роста
необходимо
приложить
новую
порцию
деформации
A
ε
′
,
за
-
тем
ещё
одну
A
ε
′′
и
так
до
полного
исчерпания
несущей
способности
образца
.
Позднее
Е
.
Орован
предложил
силовой
критерий
разрушения
.
В
его
моде
-
ли
радиус
кривизны
у
кончика
трещины
равен
атомному
размеру
а
.
В
этом
слу
-
чае
максимальное
растягивающее
напряжение
равно
( )
5
,
0
2
a
c
σ
.
При
разруше
-
нии
эта
величина
должна
быть
равна
теоретической
прочности
,
величина
кото
-
рой
составляет
5
,
0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
a
E
γ
.
Отсюда
следует
5
,
0
4
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
c
E
p
γ
σ
,
(1.5)
что
очень
близко
к
формуле
(1.3),
полученной
А
.
А
.
Гриффитсом
.
В
отличие
от
энергетического
критерия
А
.
А
.
Гриффитса
,
силовой
критерий
Е
.
Орована
явля
-
ется
не
только
необходимым
,
но
и
достаточным
для
перемещения
трещины
.
Поскольку
30
Ea
≈
γ
,
то
обычно
наблюдаемые
значения
прочности
,
равные
примерно
500
E
,
можно
объяснить
,
исходя
из
(1.3),
наличием
трещин
в
твердых
телах
длиной
2
с
=10
-6
м
.
Для
удобства
математического
описания
микродефекты
у
А
.
А
.
Гриффитса
имели
форму
узких
эллипсов
,
хотя
физически
более
правильно
,
по
мнению
П
.
А
.
Ребиндера
,
предполагать
плавное
смыкание
стенок
трещин
.
Соображения
П
.
А
.
Ребиндера
о
форме
трещин
были
развиты
в
работах
Я
.
И
.
Френкеля
[12].
Я
.
И
.
Френкель
ввел
понятие
минимума
энергии
,
полученной
телом
от
дей
-
ствия
внешних
сил
,
необходимой
для
роста
трещин
.
Г
.
И
.
Баренблатту
[13]
принадлежит
гипотеза
о
постоянстве
формы
устья
трещины
.
А
.
Ф
.
Иоффе
[14],
производя
опыты
с
каменной
солью
,
установил
,
исходя
из
предположения
А
.
А
.
Гриффитса
,
что
наиболее
опасными
являются
микро
-
трещины
,
расположенные
на
поверхности
нагружаемого
объекта
.
Растворяя
эти
Р
АЗДЕЛ
1
14
дефекты
в
воде
,
ему
удалось
получить
прочность
на
разрыв
кристаллов
камен
-
ной
соли
,
близкую
к
теоретической
.
А
.
В
.
Степанов
[15, 16]
внес
в
эти
представления
поправку
,
согласно
кото
-
рой
поверхностные
трещины
становятся
опасными
только
в
том
случае
,
если
они
встречаются
с
выходом
кристаллографического
сдвига
,
который
всегда
предшествует
распространению
трещины
.
Существенное
развитие
микродефектная
теория
разрушения
твердых
тел
получила
в
работах
А
.
Смекала
и
его
школы
[17],
а
также
Е
.
Орована
[18].
В
работах
Дж
.
Р
.
Ирвина
[19]
критерий
прочности
А
.
А
.
Гриффитса
полу
-
чил
эквивалентную
формулировку
в
виде
так
называемсого
силового
критерия
.
Им
же
введено
понятие
вязкости
разрушения
и
коэффициента
интенсивности
напряжений
,
которые
связаны
зависимостью
[20],
аналогичной
известной
фор
-
муле
А
.
А
.
Гриффитса
.
Учет
пластической
деформаций
в
теории
А
.
А
.
Гриффитса
был
независимо
предложен
Дж
.
Р
.
Ирвином
,
Е
.
Орованом
и
позднее
рассматривался
А
.
Котрел
-
лом
[19].
В
этих
работах
поверхностная
энергия
упругого
тела
заменена
на
бо
-
лее
реальную
для
разрушения
величину
удельной
энергии
поверхности
,
учиты
-
вающую
пластическую
деформацию
у
кончика
трещины
.
Эти
рассуждения
позже
были
развиты
А
.
Кобаяси
и
др
. [21].
Сведения
о
модификациях
представ
-
лений
А
.
А
.
Гриффитса
о
разрушении
твердых
тел
содержатся
также
в
работах
[22-28].
Свои
умозаключения
относительно
ослабляющего
влияния
микродефектов
на
прочность
твердых
тел
А
.
А
.
Гриффитс
воплотил
в
стройную
теорию
,
соста
-
вившую
основу
дальнейших
исследований
в
области
так
называемых
микроде
-
фектных
теорий
прочности
.
Критерий
А
.
А
.
Гриффитса
,
пользуясь
которым
можно
определить
,
про
-
изойдет
или
не
произойдет
разрушение
твердого
тела
,
имеет
вид
[29]:
(
)
(
)
0
8
1
3
2
3
1
=
+
+
−
σ
σ
σ
σ
p
R
,
если
0
3
1
3
>
+
σ
σ
, (1.6)
p
R
=
3
σ
,
если
0
3
1
3
<
+
σ
σ
.
(1.7)