Материал: Matlab. Практический подход. Самоучитель

Самоучитель Matlab

Обратной к дифференцированию является процедура интегрирования.

Вданном случае имеется в виду вычисление первообразной.

На заметку

Первообразной для функции f (x) называется такая функция F(x), производная от которой равняется f (x), то есть по определению F ′(x) = f (x). Задача вычисления неопределенного интеграла от функции (обозначается

∫ f(x)dx ) сводится к вычислению упомянутой выше функции F(x). Другими словами, если F(x) = ∫ f (x)dx , то это означает, что F ′(x) = f (x). Перво-

образная вычисляется с точностью до аддитивной постоянной, которую обычно для простоты не упоминают.

Для вычисления интеграла от символьного выражения используют функцию int(). Если единственным аргументом указано символьное выражение с одной символьной переменной, то в результате возвращается первообразная для выражения (если эту первообразную удается найти). Если в выражении несколько символьных переменных, интеграл вычисляется по переменной, наиболее близкой в алфавитном списке к букве x. Чтобы явно указать переменную интегрирования, ее передают вторым аргументом функции int(). Примеры приведены в документе на рис. 9.8.

Последовательность команд такая (жирным шрифтом выделен ввод пользователя):

>> f=sym('ln(x)') f =

log(x)

>>int(f) ans =

x*(log(x) - 1)

>>int('exp(a*x)*cos(b*x)') ans =

(exp(a*x)*(a*cos(b*x) + b*sin(b*x)))/(a^2 + b^2)

>>int('exp(a*x)',sym('a'))

ans = exp(a*x)/x

Сначала в переменную f записываем символьное выражение sym('ln(x)'). Затем командой int(f) вычисляем интеграл

356

Глава 9. Символьные вычисления

Рис. 9.8. Вычисление неопределенных интегралов

int('exp(a*x)*cos(b*x)'). В обоих случаях интегрирование по умолчанию выполняется по переменной x. Примером явного указания переменной интегрирования может быть команда int('exp(a*x)',sym('a')),

которой вычисляется интеграл ∫ exp(ax)da = exp(ax) по переменной a. x

Для вычисления определенных интегралов в символьном виде также используется функция int(). Только теперь она вызывается в несколько ином формате. Так, если переменная интегрирования определяется автоматически, то помимо подынтегрального выражения аргументами функции int() передаются пределы интегрирования – это второй и третий аргументы. Если вторым аргументом указать переменную интегрирования, то пределы интегрирования указываются третьим и четвертым аргументами.

На заметку

Напомним, что между определенным и неопределенным интегралами существует связь. Так, если имеет место соотношение ∫ f (x)dx = F(x),

357

Самоучитель Matlab

b

то определенный интеграл ∫ f(x)dx = F(b) −F(a). Обычно значение опре-

a

деленного интеграла отождествляют с площадью под графиком функции f (x) на интервале значений аргумента a ≤ x ≤ b .

В документе на рис. 9.9 приведены примеры вычисления определенных интегралов:

Рис. 9.9. Определенный интеграл

Рассмотрим команды подробнее (жирный шрифт означает ввод пользователя):

>>int('tan(z)',0,pi/4) ans =

log(2)/2

>>syms b positive

>>int('sin(b*x)/x',0,inf) ans =

pi/2

π4

Интеграл ∫ tg(z)dz = ln(2) вычисляется командой int('tan(z)',0,

2

0

pi/4). В данном случае первым аргументом функции int() передается интегрируемое символьное выражение (подынтегральная функция), а второй и третий аргументы – пределы интегрирования по символьной переменной z. Выбор на эту переменную пал в силу ее единственности в подынтегральном выражении.

Перед вычислением следующего интеграла мы используем команду syms b positive для того, чтобы объявить символьную переменную b

358

Глава 9. Символьные вычисления

и указать, что она положительная (ключевое слово positive в объявлении переменной) – эта информация важна при вычислении интеграла Дирихле

∞

∫sin(bx)dx = π . Интеграл вычисляем командой int('sin(b*x)/x',

x2

0

0,inf). Для обозначения бесконечности используем ключевое слово inf.

Еще одна достаточно часто встречающаяся на практике задача – разложение функции в степенной ряд (обычно ряд Тейлора).

На заметку

Рядом Тейлора для функции f (x) в окрестности точки a называется бесконеч-

∞

ная сумма f(x) = ∑cn(x −a)n . Коэффициенты разложения cn определя- n=0

ются на основе производных n -го порядка f (n)(a) функции f (x) в точке a ,

а именно: cn = f (n)(a) .

n !

Для вычисления ряда Тейлора функций (точнее, конечного количества слагаемых этого ряда) используют функцию taylor(). Первым аргументом функции указывается раскладываемое в ряд выражение. Далее может быть указана символьная переменная, по которой выполняется разложение. Если переменная не указана, она определяется автоматически по тем же критериям, что описывались выше для задачи интегрирования или дифференцирования. Следующий числовой аргумент определяет степень первого отбрасываемого слагаемого ряда (например, значение 10 этого аргумента означает, что в ряд будут вычислены слагаемые до 9 степени включительно). Также можно указать аргументом точку, в окрестности которой выполняется разложение в ряд. Если этот аргумент не указан, разложение выполняется в окрестности нуля. На рис. 9.10 приведены простые примеры разложений в ряд Тейлора.

пять слагаемых ряда Тейлора, а командой pretty(ans) вычисленный результат представляем в более-менее пристойном виде. Здесь мы для ссылки на результат выполнения предыдущей команды использовали ключевое слово ans.

359

Самоучитель Matlab

Рис. 9.10. Разложение в ряд Тейлора

На заметку

Команда taylor(f,10) означает, что при разложении выражения f в ряд учитываются слагаемые до 9 степени включительно. В сумме

пени 9 по переменной x отсутствует. Поэтому остаются слагаемые до 8-й степени включительно.

Следующей командой pretty(taylor(sym('ln(t)'),5,1)) выполняется разложение натурального логарифма ln(t) по переменной t в окрестности точки t = 1 до 4-й степени включительно. Результат сразу приводится к читабельному виду. Как несложно убедиться, в результате получаем

Кроме рассмотренных задач, хочется остановиться еще на двух – решении алгебраических и дифференциальных уравнений и систем. Начнем с алгебры.

Алгебраические уравнения и системы в символьном виде решаются с помощью функции solve(). Некоторые способы вызова этой функции для

360