Материал: Matlab. Практический подход. Самоучитель

Самоучитель Matlab

Рис. 8.26. Определение параметров распределения

Командой n=100000 задается значение для переменной, которая определяет объем генерируемой выборки (количество генерируемых чисел). Числа генерируются командой x=3+2*randn(1,n).

На заметку

Функция randn() генерирует случайные числа со стандартным нормальным распределением, то есть со средним значением a = 0 и дисперсией σ2 = 1 . Нам нужны случайные числа с нормальным распределением и такими параметрами: a = 3 и σ2 = 4 . Легко показать, что если случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение, то случайная величина η = a + σξ

будет иметь нормальное распределение с параметрами (a, σ2). Поэтому для генерирования чисел с нормальным распределением с параметрами (3, 4) используем инструкцию 3+2*randn(). Это для генерирования одного числа. Для генерирования серии чисел функции randn() передаются аргументы – размеры создаваемого массива из случайных чисел.

Командой m1=sum(x)/n вычисляем эмпирический момент первого порядка (среднее арифметическое). Командой m2=sum(x.^2)/n вычисляется второй эмпирический момент. Стандартное отклонение (корень квадратный из дисперсии σ2 ) вычисляется командой sigma=sqrt(m2-a^2). Перед этим командой a=m1 вычисляется оценка для параметра распределения a. Результаты вычислений выводятся на экран.

На заметку

Здесь мы намеренно не использовали встроенные функции для вычисления статистических характеристик, наподобие mean() (вычисление среднего значения), var() (вычисление дисперсии) или std() (вычисление среднего значения). При использовании встроенных функций необходимо обращать внимание, смещенная или несмещенная характеристики вычисляются. Это замечание актуально для функций var() и std(). Детальное обсуждение особенностей работы этих функций выходит за рамки книги.

346

Глава 8. Обработка данных

Сохраняем командный код в файле с именем NormDist.m. В командном окне выполняем команду NormDist. Результат показан в документе на рис. 8.27.

Рис. 8.27. Результаты вычислений

Вычисленные значения достаточно близки к теоретическим. В принципе, увеличение объема выборки повышает точность. Тем не менее, следует помнить, что речь идет об обработке статистических данных, поэтому даже очень большой объем выборки не гарантирует стопроцентной достоверности полученных результатов.

347

Глава 9 Символьные вычисления

- Штирлиц, Вы ведь сами учили меня аналитичности и спокойствию.

- Это Вы меня призываете к спокойствию? После того, что сказали?!

К/ф "Семнадцать мгновений весны"

Несмотря на то, что приложение Matlab предназначено для выполнения числовых расчетов, в Matlab также можно выполнять расчеты и в символьном виде – то есть расчеты, в которых используются символьные переменные, а в результате получают символьные (аналитические) выражения. Именно символьным вычислениям посвящена данная глава. Есть несколько способов выполнять вычисления в символьном виде. Один, простой, подразумевает использование специальных встроенных функций в командном окне, второй, тоже простой, подразумевает использование специального пакета инструментов (который называется Symbolic Math Toolbox).

Использование символьных переменных

Я должен Вас поздравить, Ватсон. Вы сделали, в общем, правильные наблюдения. Вы ошиблись только в знаке.

К/ф "Приключения Шерлока Холмса и доктора Ватсона. Знакомство"

В первую очередь рассмотрим способы ввода в рабочем документе (командном окне) символьных переменных – переменных, значениями которых являются их названия. Другими словами, символьной переменной значение не присваивается. Проблема в том, что если просто попытаться воспользоваться переменной, которой не присвоено значение, появится сообщение об ошибке. Поэтому необходимо предпринять некоторые предосторожности. Предосторожности состоят в том, что символьные переменные предварительно необходимо объявить, для чего используем ключевое слово syms. После этого ключевого слова указываются, через пробел, те переменные, которые необходимо рассматривать как символьные. Если впоследствии эти переменные используются в выражениях, то результат также получим символьный. Пример использования символьных переменных приведен в документе на рис. 9.1.

Документ любопытный, и имеет смысл рассмотреть его подробно. Первой командой в документе является инструкция syms a b c, которой

348

Глава 9. Символьные вычисления

Рис. 9.1. Использование символьных переменных

объявляются три символьные переменные: a, b и c. Затем командой x=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/2/a переменной x присваивается значение, представленное в виде выражения, содержащего символьные переменные. Таким образом, переменная x получает символьное значение. Значение этой переменной так и отображается, в терминах переменных a, b и c в командном окне. Чтобы увидеть значение переменной x в более наглядном виде, используем функцию pretty(), аргументом которой указывается символьное значение (в данном случае – переменная x). Переменную x в свою очередь также можно использовать в дальнейших вычислениях. Например, переменной eq значение присваивается командой eq=a*x^2+b*x+c. Здесь отметим, что присвоенное переменной x значение определяется выражени-

349

Самоучитель Matlab

ем x = −b + b2 − 4ac , которое, в свою очередь, есть не что иное, как один

2a

из корней уравнения ax2 +bx +c = 0 . Поэтому значение переменной eq должно с неизбежностью равняться нулю. Но убедиться в этом не просто. При вычислении значения этой переменной получаем символьное выражение, в котором сложно узнать ноль. Не помогает и команда pretty(eq). Ситуация проясняется, если воспользоваться командой simplify(eq). Функцией simplify() упрощается выражение, указанное аргументом.

Вданном случае после упрощения получаем ноль, как и следовало ожидать.

Всимвольном виде удобно задавать функции. Для этого аргумент (или аргументы) функции предварительно объявляется как символьная переменная, после чего функция задается как выражение, зависящее от этой переменной. Такой простой пример приведен в документе на рис. 9.2.

Рис. 9.2. Функция задана через символьную переменную

Правда, вычисление таких функций имеет некоторые особенности. Например, командой syms x y определяем две символьные переменные. Затем командой f=sin(x)/x на основе символьной переменной x задаем значение переменной f. После этого переменную f можно использовать для отображения на графике соответствующей функциональной зависимости. Так, результат выполнения команд ezplot(f,[-5*pi 5*pi]) и grid on показан на рис. 9.3.

350