Материал: Matlab. Практический подход. Самоучитель

Самоучитель Matlab

На заметку

Если заданы начальная и конечная точка вектора, то координаты вектора можно рассчитать путем вычитания из координат конечной точки соответствующих координат начальной точки.

Ниже приведен командный код, с помощью которого вычисляется площадь и периметр треугольника (жирным шрифтом выделен ввод пользователя).

>>A=[1 2 1];

>>B=[-2 3 -1];

>>C=[1 -1 2];

>>AB=B-A

AB =

-3 1 -2 >> AC=C-A

AC =

0 -3 1 >> BC=C-B

BC =

3 -4 3

>>P=norm(AB)+norm(AC)+norm(BC)

P = 12.7349

>>S=norm(cross(AB,AC))/2

S=

5.3619

Командами A=[1 2 1], B=[-2 3 -1] и C=[1 -1 2] создаются точки – вершины треугольника. Затем с помощью команд AB=B-A, AC=C-A и BC=C-B вычисляются векторы, которые нам нужны для вычисления периметра и площади треугольника. Периметр вычисляем командой

P=norm(AB)+norm(AC)+norm(BC). Площадь вычисляем командой

S=norm(cross(AB,AC))/2, в которой для вычисления векторного произведения использована встроенная функция cross(). Результат вычислений показан на рис. 4.29.

Обращаем внимание, что точки представляются в виде списков из трех элементов. Это позволяет достаточно просто на основании известных точек вычислить соответствующие им векторы.

Еще одной классической является задача о решении системы линейных ал-

гебраических уравнений. В общем случае задача формулируется так. Не-

n

обходимо решить систему уравнений ∑aijxj = bi (индекс i = 1,2,...,n )

j =1

относительно неизвестных x1 , x2 , ..., xn при условии, что параметры aij

186

Глава 4. Элементы матричной алгебры

Рис. 4.29. Вычисление периметра и площади треугольника

и bi (индексы i, j = 1,2,...,n ) заданы. Именно этой задачей и займемся. Всякие экзотические случаи, наподобие системы без решений, исследовать не будем. Предполагаем, что у системы уравнений решение есть, и оно единственно.

Исходную систему уравнений удобно представить в матричном виде, вве-

зом, для решения системы уравнений достаточно знать матрицу коэффици-

ˆ

ентов A и вектор правых частей уравнений b . Данный подход реализован в коде, представленном ниже:

187

Самоучитель Matlab

>> A=[1 2 3;-1 1 2;1 -2 5]

A =

1 2 3 -1 1 2 1 -2 5

>>b=[10;1;4]

b =

10

1

4

>>x=A\b

x =

3

2

1

Матрица коэффициентов задается командой A=[1 2 3;-1 1 2;1 -2 5]. Вектор коэффициентов правых частей задается командой b=[10;1;4]. Таким образом, решается следующая система уравнений:

Система имеет единственное решение x1 = 3 , x2 = 2 и x3 = 1. Именно его попытаемся найти. Для этого используем команду x=A\b, в результате чего

иполучаем нужное решение (рис. 4.30).

На заметку

Вместо вычисления обратной матрицы к матрице A и умножения ее (слева) на вектор b мы использовали оператор \.

Важная задача, которая встречается достаточно часто, связана с диагонализацией матриц. Вначале краткая предыстория о том, откуда такая задача

вообще может возникнуть. Допустим, мы вместо одного векторного базиса

вводим другой. Единичные орты исходного базиса обозначим как a1 , a2 и a3 .

На заметку

Далее, если явно не указано, подразумевается, что речь идет о векторахстолбцах, а все матрицы квадратные размера 3×3 (хотя изложенное далее без особых проблем применимо и к более общему случаю квадратных матриц произвольного размера).

188

Глава 4. Элементы матричной алгебры

Рис. 4.30. Решение системы линейных уравнений

и ничто не запрещают нам записать новые орты через старые орты. Это бу-

хода. У этой матрицы есть ряд интересных свойств. Так, несложно показать, что для матрицы перехода Sˆ′ = Sˆ−1 - то есть транспонированная матрица

равна обратной. Определитель матрицы ˆ (по модулю) равен единице. Для

S

преобразования базиса достаточно задать матрицу перехода ˆ. Все необ-

S

ходимые преобразования вычисляются на основе этой матрицы. Так, если

в старом базисе задан некоторый вектор x , то в новом базисе получим век-

= ˆ

тор y Sx. Это следует непосредственно из способа определения матрицы перехода.

189

Самоучитель Matlab

На заметку

Если в старом базисе задана некоторая матрица ˆ, то в новом базисе эта

A

матрица вычисляется как ˆ = ˆˆ ˆ−1.

B SAS

На заметку

Очень часто задача состоит в том, чтобы выполнить преобразование базиса,

при котором некоторая матрица (например, ˆ) принимает наиболее про-

A

стой вид. А что может быть проще диагональной матрицы? Другими словами, задача может быть сформулирована, например, следующим образом.

Задана симметричная матрица ˆ. Необходимо найти матрицу перехода ˆ

A S

такую, чтобы матрица ˆ = ˆˆ ˆ−1 была диагональной.

B SAS

На заметку

К диагональному виду матрицу ˆ можно привести, если все ее собственные

A

числа различны. В противном случае удается свести матрицу к жорданову виду, когда матрица "почти диагональная". Более того, матрица перехода будет удо-

да S , то свести к диагональному виду можно только симметричную матрицу A

сразными собственными числами.

ВMatlab есть несколько встроенных функций, с помощью которых может решаться описанная выше задача (или идейно близкая к ней). Здесь остановимся на уже известной функции вычисления собственных чисел eig() и функции выполнения жорданова преобразования jordan(). Функция eig() уже описывалась. Что касается функции jordan(), то ее аргументом указывается исходная, преобразуемая, матрица. В качестве результата возвращается две матрицы. Первая матрица – это матрица, с помощью которой выполняется преобразование (аналог матрицы перехода, но только аналог!). Вторая матрица - диагональная или "почти диагональная" (жор-

190