Материал: Matlab. Практический подход. Самоучитель

Глава 4. Элементы матричной алгебры

вительного в этом ничего нет, поскольку для любой квадратной матрицы ˆ

A

На заметку

Операции SinM(A)^2 и CosM(A)^2 имеют смысл, поскольку SinM(A) и CosM(A) – квадратные матрицы, и к ним, как к обычным матрицам, применим оператор ^ возведения в целочисленную степень.

Результат вычислений показан в документе на рис. 4.25.

Рис. 4.25. Вычисление матричного синуса и косинуса

Справедливости ради следует отметить, что приведенный способ вычисления матричного синуса и косинуса далеко не единственный. Существуют и более простые пути. Например, можно воспользоваться формулой Эйлера для экспоненты в комплексной степени: exp(ix) = cos(x) + i sin(x), где i - мнимая единица, для которой по определению i2 = −1 . Таким образом, cos(x) = Re(exp(ix)) и sin(x) = Im(exp(ix)) . Здесь через Re(z)

и Im(z) обозначены соответственно действительная и мнимая части комплексного числа z . Мы могли бы, например, определить матричный синус

181

Самоучитель Matlab

как ˆ = ˆ , а матричный косинус как ˆ = ˆ . sin(A) Im(exp(iA)) cos(A) Re(exp(iA))

Примеры таких вычислений приведены ниже:

>>real(expm(A*i)) ans =

0.1750 -0.5752 -0.4314 -0.6878

>>imag(expm(A*i)) ans =

0.6878 -0.5752 -0.4314 -0.1750

Несложно заметить, что данный способ вычисления синуса и косинуса от матричного аргумента дает такой же результат (в пределах точности вычислений), что и с использованием ряда Тейлора.

На заметку

В вычислениях использовалась встроенная функция expm() для расчета матричной экспоненты. Она справляется с задачей, даже если аргумент комплексный. Действительная часть вычисляется с помощью функции real(), а мнимая – с помощью функции imag().

Окно с результатами вычислений показано на рис. 4.26.

Рис. 4.26. Альтернативный способ вычисления матричного синуса и косинуса

Как пример использования блочных матриц рассмотрим такую задачу. Предположим, есть три вектора в декартовом трехмерном пространстве

= ( , , ), индекс k = 1,2, 3 . Предполагаем также, что эти векторы ak ak1 ak2 ak 3

линейно-независимы и образуют базис. Задача состоит в том, чтобы разло-

жить по этому базису некоторый известный вектор b = (b1,b2,b3).

182

Глава 4. Элементы матричной алгебры

шением и воспользуемся для вычисления координат вектора в новом базисе. Рассмотрим приведенный ниже командный код (жирным шрифтом выделен ввод пользователя):

>>a1=[1 3 1];

>>a2=[-2 1 0];

>>a3=[0 -1 2];

>>b=[1 3 -2];

>>A=[a1;a2;a3]

A =

>> x=b/A x =

0.6250 -0.1875 -1.3125 >> x*A

ans =

13 -2

Сначала мы создаем три вектора для нового базиса (значения записываются в переменные a1, a2 и a3), а также вектор (переменная b), который необходимо разложить по базису. Командой A=[a1;a2;a3] на основе векторов нового базиса создается блочная матрица. С помощью этой матрицы, воспользовавшись командой x=b/A, вычисляем вектор координат вектора b в базисе векторов a1, a2 и a3. Проверить, корректно ли вычислен результат, можно, воспользовавшись командой x*A. В результате должны получить вектор b, что, собственно, и происходит (рис. 4.27).

183

Самоучитель Matlab

Рис. 4.27. Вычисление координат вектора в новом базисе

На заметку

Для умножения вектора b справа на обратную матрицу к A мы использовали оператор /. Хотя реальный алгоритм вычисления результата в этом случае на самом деле несколько сложнее, в принципе, можно полагать, что команда b/A вычисляется так: вектор b справа умножается на матрицу, которая обратна к матрице A.

Классической стала задача о вычислении угла между двумя векторами в пространстве. В Matlab эта задача решается исключительно просто. Рас-

косинус угла, можно вычислить сам угол с помощью функции арккосинуса.

На заметку

В Matlab для вычисления арккосинуса имеется функция acos(). Однако здесь есть один специфический момент. Дело в том, что если известен косинус угла,

184

Глава 4. Элементы матричной алгебры

то сам угол восстанавливается неоднозначно. Арккосинус дет значение в пределах от 0 до p. Поэтому важно четко представлять, что же именно мы вычисляем. В данном случае вычисляется абсолютное значение угла между векторами – в плоскости векторов меньший из двух смежных углов между линиями, вдоль которых направлены векторы.

Пример вычисления угла между векторами представлен в документе на рис. 4.28.

Рис. 4.28. Вычисление угла между векторами

Собственно, для вычисления угла между векторами a и b, помимо команд инициализации векторов, используется всего одна команда phi=180/ pi*acos(dot(a,b)/norm(a)/norm(b)). Угол вычисляется в градусах, поэтому результат, возвращаемый арккосинусом, умножается на 180 и делится на π. Скалярное произведение векторов вычисляем с помощью функции dot(), а модуль вектора вычисляется функцией norm().

Похожая в известном смысле задача – вычисление площади и периметра пространственного треугольника. Задача формулируется так. Заданы три точки в пространстве. Они образуют треугольник. Необходимо найти площадь этого треугольника и его периметр.

AC . С другой стороны, если вычислить векторное произведение AB ×AC ,

то результатом будет вектор, и его модуль равен | AB || AC | sin(ϕ), то есть в два раза больше площади треугольника.

185