Материал: 4637
41
функцией. В этом случае используется полином первой степени и тренд выражается двумя членами ряда Тейлора и некоторым малым числом t , зависящим от времени:
Y = A+Bt+ t .
Данное выражение называют линейной моделью Брауна. При выборе начальных условий Браун рекомендует рассчитывать А, В путем выравнивания исходного временного ряда способом наименьших квадратов.
Процесс экспоненциального сглаживания основывается на цепочечных расчетах. Сначала устанавливаются исходные параметры выравнивающих кривых А,В по которым с помощью формул находятся начальные условия. На основе этих условий по формулам определяются характеристики сглаживания, затем – оценки коэффициентов для экспоненциального сглаживания первого порядка в исходном динамическом ряду и, наконец, расчетное значение линейной (y=A+Bt). Полученные на первом этапе характеристики сглаживания затем используются в качестве исходных данных для вычисления второго сглаженного значения в рассматриваемом динамическом ряду и т.д. Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будут сглажены все значения исходного временного ряда.
Коэффициенты уравнения (оценки коэффициентов), найденные при экспоненциальном сглаживании последнего значения в исходном динамическом ряду, используются для последующего прогноза.
Начальные приближения для случая линейного тренда равны: экспоненциальная средняя 1-го порядка:
S1 (y) = A - |
1 |
B ; |
||
|
||||
0 |
|
|
|
|
экспоненциальная средняя 2-го порядка: |
|
|
||
S 2 (y) = A - |
2(1 |
) |
B , |
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
где – параметр сглаживания.
В зависимости от величины параметра прогнозные оценки по разному учитывают влияние исходного ряда наблюдений: чем больше , тем больше вклад последних наблюдений в формирование тренда, а влияние начальных условий убывает быстро. При малом 
прогнозные оценки
42
учитывают все наблюдения, при этом уменьшение влияния более ранней информации происходит медленно.
Для приближенной оценки используют соотношение Брауна:
= т2 1 ,
где m – число наблюдений (точек) в ретроспективном динамическом
ряду.
Зная начальные условия S1 (y), S 2 |
(y) и значение параметра , вы- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
числяют экспоненциальные средние 1-го и 2-го порядка: |
||||||||||||||||||||
|
S1 |
(y) = |
|
y |
+ (1- |
) S1 |
1 |
(y); |
||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|||
|
S 2 |
(y) = |
|
S1 |
+ (1- |
) S 2 |
1 |
(y). |
||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|||
Оценки коэффициентов линейного тренда: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
A = 2 S1 |
(y) - S 2 |
(y); |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ S1 (y) - S 2 (y)]. |
|||||||||||||
|
|
|
В = |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Прогноз на время t равен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yt= А |
|
В t |
|
|
|
|
|||||
Ошибка прогноза: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
[1 |
4(1 |
) |
5(1 |
)2 |
2 |
(4 3 ) p 2 2 p2 ] , |
||||||||||||
(2 )3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где p – период прогноза.
Рассмотрим пример Пусть задан временной ряд показателя валовой продукции (yt ) в регионе за 4 года ( см. табл.2.4) в млрд руб. в сопоставимых ценах:
Таблица 2.4 Динамика ВНП в регионе (в сопоставимых ценах)
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
yt |
40 |
43 |
46 |
48 |
Используя метод экспоненциального сглаживания, построить прогноз валового выпуска на 5 год.
43
Согласно имеющейся динамике показателя валовой продукции, можно предположить, что тренд описывается линейной функцией.
Определим коэффициенты прямой y = A +B*t по методу наименьших квадратов. Для этого вычислим ряд промежуточных значений и их суммы.
Результаты занесем в таблицу 2.5 .
Расчет методом экспоненциального сглаживания
|
|
|
|
|
Таблица 2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Период, t |
Фактиче- |
|
Расчетные значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ское зна- |
t2 |
tyt |
y=37,5+ |
|
y-yt |
|
чение yt |
|
|
2,7*t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
40 |
1 |
40 |
40,2 |
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
43 |
4 |
86 |
42,9 |
|
-0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
46 |
9 |
138 |
45,6 |
|
-0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
48 |
16 |
192 |
48,3 |
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
Итого10 |
177 |
30 |
456 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = 37,5; В = 2,7
Тогда уравнение прямой имеет вид: y = 37,5+ 2,7 t
Подставив в него значения t = 1,2,3,4, получим расчетные значения тренда (см. таблицу 2.6) .
Основная ошибка:
t = |
|
0,22 |
|
( 0,1)2 |
|
( 0,4)2 |
0,32 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
= 0,3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Параметр сглаживания: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
0,4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
1 |
|
4 |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. Начальные условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
(y) = 37,5 – 1 |
0,4 2,7 33,45; |
|
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
S 2 |
|
(y) = 37,5 – |
2(1 |
|
0,4) |
2,7 |
29,4. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. Для t =2 вычисляем экспоненциальные средние:
44
S12 = 0,4 ∙ 40+0,6.33,45 = 36;
S 22 = 0,4 ∙ 36+0,6.29,4 = 32.
Далее вычисляем значения коэффициентов:
A =2∙36–32 = 40;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
2,6 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В = |
|
(36 32) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
прогнозируемые значения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
y2 = 40+2,6 ∙ 1 = 42,6; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
отклонения от фактического значения: |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y2 = 42,6 – 43 = – 0,4. |
|
|
|
|
||||||||||||
Аналогичные вычисления выполним для t = 3(1999г.), t = |
4(2000г.), |
|||||||||||||||||||||
результаты представим в таблице: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Прогнозирование методом экспоненциального сглаживания |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Периодt |
Факт. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчетные значения |
|
|
|
|
|||||||
|
значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
S 1t |
|
|
|
|
S t2 |
|
|
А |
|
|
В |
|
yt |
y |
|
|||||
|
yt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
43 |
36 |
|
|
32 |
|
40 |
|
2,6 |
|
42,6 |
|
-0,4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
46 |
38,6 |
|
|
34,6 |
|
42,6 |
|
2,7 |
|
45,3 |
|
-0,7 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
48 |
41,6 |
|
|
37,4 |
|
45,8 |
|
2,8 |
|
48,6 |
|
0,6 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
p=1 |
- |
44,2 |
|
|
40,1 |
|
48,3 |
|
2,7 |
|
51 |
|
- |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
При построении модели прогноза на 5-й год период прогноза р = 1, |
||||||||||||||||||||||
тогда окончательная модель прогноза имеет вид: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
yt+p = 48,3+2,7p |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
y5 = 48,3+2,7∙ 1= 51. |
|
|
|
|
||||||||||||
Ошибка прогноза |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
0,4 |
[1 4 0,6 |
5 0,62 |
0,8 2,8 1 0,32 12 ] = 0,46. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
(1,6)3 |
|
||||||||||||||||||||
Ответ Прогноз валового выпуска в регионе на следующий год составит 51 млрд руб., при сохранении тенденций развития может иметь отклонение 0,46.
45
2.2.2. Методы моделирования
Большинство явлений и процессов в экономике находятся в постоянной взаимной и объективной связи. Исследование зависимостей и взаимосвязей между объективно существующими явлениями и процессами играет большую роль в региональной экономике. Оно дает возможность глубже понять сложный механизм причинно-следственных отношений между региональными экономическими явлениями. Для исследования интенсивности, вида и формы зависимостей широко применяется корреляци- онно-регрессионный анализ, который является методическим инструментарием при решении задач прогнозирования и планирования регионального развития.
Различают два вида зависимостей между экономическими явлениями
ипроцессами: функциональную и стохастическую (вероятностную, статистическую).
Вслучае функциональной зависимости имеется однозначное отображение множества А на множество В. Множество А называют областью определения функции, в множество В – множеством значений функции.
Функциональная зависимость встречается редко. В большинстве случаев функция (Y) или аргумент (Х) – случайные величины. Х и Y подвержены действию различных случайных факторов, среди которых могут быть факторы, общие для двух случайных величин.
Статистической называется зависимость между случайными величинами, при которой изменение одной из величин влечет за собой изменение закона распределения другой величины. В этом случае говорят о корреляционной зависимости. В экономике приходится иметь дело со многими явлениями, имеющими вероятностный характер. Например, к числу случайных величин можно отнести: стоимость продукции, доходы бюджетов
идр.
Односторонняя вероятностная зависимость между случайными величинами есть регрессия. Она устанавливает соответствие между этими величинами.