Материал: 4637

36

где - средняя ошибка; 2 – дисперсия, определяемая по формуле

Средняя ошибка прогноза составит 0,09.

Вывод Прогноз темпа прироста ВРП в регионе на следующий месяц составит 0,25 и при сохранении тенденций развития может иметь отклоне-

ние 0,09.

Метод наименьших квадратов. Сущность метода наименьших квадратов состоит в минимизации суммы квадратических отклонений между наблюдаемыми и расчетными величинами. Считается, что этот метод лучше других соответствует идее усреднения, как единичного влияния учтенных факторов, так и общего влияния неучтенных.

Рассмотрим случай линейной зависимости между переменными Y и Х. Линейная зависимость имеет вид: Yt = a0 +a1Xt. Необходимо определить числовые параметры (а0 и а1), которые наилучшим образом описали бы зависимость, полученную при наблюдении. Наилучшее согласование достигается в случае, когда сумма квадратов отклонений опытных точек от точек, рассчитанных по теоретической кривой, обращается в минимум:

Функция S – функция двух независимых переменных а0 и а1. Для определения экстремума функции нескольких переменных необходимо обращение в ноль ее частных производных первого порядка. Далее необходимо сократить все члены уравнений на 2 и сгруппировать члены, содержащие а0 и а1, тогда получим:

37

Теперь для определения а0 и а1 необходимо решить систему уравнений с двумя неизвестными.

Пример. Описать линейную зависимость между выпуском валовой продукции в регионе Y и численностью работающих X и составить прогноз валового выпуска продукции в регионе при условии, что численность работающих увеличится на 20% по сравнению с последним наблюдением. Данные представлены в таблице 2.2

Таблица 2.2 Динамика валового выпуска продукции и численность занятых в ре-

гионе (данные условные)

Решение: При n=4 имеем

Получим систему уравнений:

4а0 + 160а1 = 58 , 160а0 +8400а1 = 2560 .

Решением системы уравнений является: а0 = 9,7 и а1 = 0,12 Тогда зависимость имеет вид: Yt = 9,7 +0,12Xt .

Для расчета ошибки прогноза определим отклонение фактических значений Y от расчетных.

Результаты представим в виде таблицы:

38

Тогда ошибка прогноза равна:

При условии, что численность работающих в регионе увеличится на

20%, тогда Yt = 9,7 + 0,12*84=19,78 тыс. руб .

Вывод При увеличении численности занятых в регионе на 20% по сравнению с последним наблюдением объем выпуска валовой продукции в регионе составит 19,78 тыс. руб. т. е. увеличится на 9,8%, при сохранении тенденций развития может иметь отклонение 0,26.

Метод наименьших квадратов широко применяется в прогнозировании в силу простоты и возможности реализации на ЭВМ. Недостаток данного метода состоит в том, что модель тренда жестко фиксируется, а это делает возможным его применение только при небольших периодах упреждения, т.е. при краткосрочном прогнозировании.

Метод скользящей средней. Метод скользящей средней применяется в том случае, когда ряды динамики характеризуются резкими колебаниями показателей по годам. Такие ряды, как правило, имеют слабую связь со временем и не обнаруживают четкой тенденции изменения. Наиболее распространенным и простым путем выявления тенденции развития является сглаживание или выравнивание динамического ряда.

Суть различных приемов, с помощью которых осуществляется сглаживание или выравнивание, сводится к замене фактических уровней динамического ряда расчетными, имеющими меньшую колеблемость, чем исходные данные.

Один из наиболее простых приемов сглаживания заключается в расчете скользящих средних, их применение позволяет сгладить периодические и случайные колебания и тем самым выявить имеющуюся тенденцию в развитии.

Метод скользящих средних позволяет отвлечься от случайных колебаний временного ряда, что достигается путем замены значений внутри выбранного интервала средней арифметической величиной. Интервал, ве-

40

Используя метод скользящей средней, определяем сглаженный временной ряд. Считаем, что Р = 3, тогда

Ответ: прогнозируемый объем валового выпуска в 8 году исследования в регионе составит 80 млн руб.

Метод экспоненциального сглаживания. Метод экспоненциаль-

ного сглаживания, разработанный Р. Брауном, дает возможность получить оценки параметров тренда, характеризующие не средний уровень процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения. Данный метод позволяет давать обоснованные прогнозы на основании рядов динамики, имеющих умеренную связь во времени, и обеспечивает большой учет показателей, достигнутых в последние периоды наблюдения.

Суть метода заключается в сглаживании временного ряда с помощью взвешенной скользящей средней, в которой веса подчинены экспоненциальному закону. Метод экспоненциального сглаживания не просто экстраполирует действующие зависимости в будущее, а приспосабливается, адаптируется к изменяющимся во времени условиям. Поэтому он является эффективным и надежным методом среднесрочного прогнозирования.

Рассмотрим применение метода экспоненциального сглаживания для наиболее распространенного случая, когда тренд описывается линейной