Материал: 442

2. Форма занятия (семинар, практическое занятие и др.) Лекция.

3.Контингент (факультет, курс, группа). Факультет АДМ, 3-й курс, группа 3МТб.

4.Тема занятия.

Формирование матрицы преобразования координат для перехода от местной системы координат к общей.

5. Цели занятия:

• обучающая:

- студенты должны знать основные инструменты и методы модификаций сложных объектов; - владеть навыками построения и модификации сложных объектов;

• развивающая:

3. ФормированиеС матрицы перехода.

7. Структурные элементы занятия:

• Организационный этап.

Приветствие учащихся, фиксация отсутствующих.

• Целевая установка.

Постановка целей занятия, сообщение темы.

• Выдача нового материала.

Последовательное изложения учебного материала по намеченному плану. Материал лекции приведен ниже.

• Контроль знаний.

Метод устного контроля. Выявление уровня знаний из смежных дисциплин о типах конструкций стен и способах их усиления.

21

• Подведение итогов.

Оценка успешности достижения целей занятия.

Материал лекции «Общая схема расчета конструкций методом конечных элементов (МКЭ)».

Представим алгоритм МКЭ в форме метода перемещений основными блоками.

1.Задание исходной информации, которая должна включать:

-количество элементов и узлов;

-координаты узловых точек конструкции в общей системе координат;

-взаимное расположение конечных элементов и узлов в местной и общей системе координат;

-внешние узловые, поверхностные и объемные силы;

-условия опирания конструкции (граничныеИусловия);

-геометрические и жесткостные параметры каждого элемента конструкции. Д

2.Построение матрицы жесткости конечного элемента в местной системе координат. А

3.Формирование матрицы преобразования координат для перехода от местной системы координатбк общей.

4.Определение матрицы жесткости конструкции в общей системе координат. и

5.Приведение поверхностных и объемных внешних сил, дейст-

вующих на элемент, к стат чески эквивалентным узловым силам (формированиеСлокального вектора узловых сил).

6.Определение суммарных узловых сил в каждом узле всей конструкции (формирование глобального вектора узловых сил).

7.Учёт граничных условий.

8.Определение узловых перемещений конструкции в общей системе координат.

9.Определение внутренних узловых усилий и напряжений в отдельных элементах конструкции.

Решение приведенной ниже задачи выполняется по описному выше алгоритму.

Рассмотрим простую шарнирно опертую балку, загруженную равномерно распределенной нагрузкой: q = 1 кН/м, l = 10 м, ЕJ =

=const (рис. П.5.2).

22

Рис. П.5.2. Расчетная схема балки

Требуется определить узловые перемещения и построить эпюру прогибов и изгибающих моментов.

1. Рассмотрим балку в виде одного конечного элемента с двумя узлами, с 4 степенями свободы (по две в каждом узле) и с заданным направлением глобальных осей (рис. П.5.3).

Коэффициенты матрицы жесткости определяются по формуле

kij = ∫0l ЕJ ×Ni" (x)×N"j (х)dx ,

где Ni" (x), N"j (х) ‒ вторые производные функций формы в i-м и j-м

единичных состояниях (i, j =1,…,4). Функция прогибов задается выражением

w(x) = N1(x) 1 + N2(x) 2 + N3(x) 3 + N4(x) 4 ,

23

где Ni(x) –координатные функции; ∆ i – неизвестные узловые пере-

мещения (i = 1,…,4).

Рассмотрим вычисление одного из коэффициентов локальной матрицы жесткости:

Полностью локальная матрица жесткости балочного конечного элемента имеет вид

ное для матрицы жесткости балочного конечного элемента, получим

ции состоит изСодного конечного элемента, местная система координат которого совпадает с общей системой координат всей конструкции. Отсюда следует, что необходимость в формировании матрицы преобразования координат отсутствует.

4. Поскольку конструкция представлена одним конечным элементом, глобальная матрица жесткости совпадает с локальной:

[K ]= [k ].

5.Вектор узловых сил имеет размерность 1×4 (совпадает с числом степеней свободы балочного элемента):

24

F1 {F}= FF2 ,3F4

где Fi – узловые силы, определяемые по формуле

Подставив численные значения q=1 кН/м, l=10 м в выражение для вектора {F}, получим

25