Материал: 2293

Уравнения (4.44), (4.46), (4.50), (4.54), (4.58) совместно с (4.43) и (4.52) образуют систему уравнений математической модели процесса расширения продуктов сгорания топлива с частичной кристаллизацией диоксида углерода в проточной части радиального турбодетандера:

или

115

Уравнения газодинамики вместе с уравнениями кинетики фазовых превращений образуют замкнутую систему. Решение системы уравнений методом численного интегрирования позволяет последовательно рассчитать процесс кристаллизации диоксида углерода из продуктов сгорания топлива в каждом сечении рассматриваемого участка проточной части турбодетандера, открывает путь к пониманию сущности процесса и позволяет установить принципы управления процессом.

4.6. Алгоритм численного решения системы уравнений течения ПСТ

Система уравнений (4.59) или (4.60) совместно с уравнениями (4.24) (4.33) кинетики фазовых превращений образует систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающих процесс расширения продуктов сгорания топлива в проточной части турбодетандера. Она является системой неявного вида, поэтому ее можно решать численным методом на ЭВМ. Граничными условиями интегрирования являются значения р0 , Т0 , 0 , с0 в начальном сечении F0 = F (x0) рассчитываемого элемента проточной части турбодетандера. Решение системы представляет собой последовательность приближенных значений частных интегралов уравнений системы. Точность приближения зависит от применяемого численного метода интегрирования, шага интегрирования и погрешности округления, обусловленной ограничениями на представление чисел в используемой ЭВМ.

Методами последовательных исключений Гаусса систему уравнений (4.59) или (4.60) можно свести к виду

где y – параметр (р, Т, с, ) продуктов сгорания.

Основная задача, относящаяся к этому уравнению, есть задача Коши – найти решение уравнения (4.61):

y y x ,

удовлетворяющее начальному условию y x0 y0.

116

Разработанные методы решения задачи Коши можно разделить на две группы:

–одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой y y x требуется информация лишь об одном предыдущем

шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и метод Рунге-Кутты;

–методы прогноза и коррекции – многошаговые, в которых для отыскания следующей точки кривой y y x требуется информация более

чем об одной из предыдущих точек. К числу таких методов относятся методы Милна, Адамса-Башфорта и Хемминга.

Метод Эйлера – один из наиболее распространенных и изученных. Он обладает достаточной устойчивостью и является одноступенчатым. Следовательно, можно легко изменить шаг интегрирования.

Метод Рунге-Кутты имеет более высокую точность, однако он требует дополнительного увеличения объема вычислений.

Для понимания сущности процесса расширения продуктов сгорания топлива с кристаллизацией части диоксида углерода рекомендуется использовать метод Эйлера.

На рис. 4.30 представлена укрупненная блок-схема алгоритма численного интегрирования системы уравнений, описывающих течение ПСТ с частичной кристаллизацией СО2 в проточной части турбодетандера. В алгоритме реализован прямой метод расчетно-теоретического исследования. По этому методу численное моделирование путем интегрирования систем (4.59) или (4.60) определяет все параметры потока (р, Т, и т.д.) в зависимости от: формы проточной части детандера [F(x) и (x)]; угловой скорости вращения ротора; р0 , Т0 и 0 в начальном сечении проточной части машины; скоростных коэффициентов и и расхода G парогазовой смеси через машину.

Алгоритм решения системы уравнений включает в себя три подпрограммы:

–подпрограмму для определения радиуса критического зародыша, скорости ядрообразования и приращения массы твердой фазы СО2 вследствие выделения зародышей критического радиуса;

–подпрограмму для определения роста частиц;

–подпрограмму для определения геометрических характеристик, скоростных коэффициентов и окружных скоростей элементов проточной части турбодетандера.

На рис. П3 и П4 приведены блок-схемы подпрограмм.

117

В процессе расчета после каждого шага интегрирования или через некоторое число шагов выводится на экран монитора следующая информация: координата пути потока, площадь поперечного сечения каналов, давление, температура, плотность и скорость парогазовой смеси, массовая концентрация твердой и газообразной фаз кристаллизующегося компонента, температура насыщения, радиус частиц первой группы. После завершения расчета выводятся на экран или печать число образовавшихся групп частиц, работа и холодопроизводительность турбодетандера, масса

118