Документ: 1820, страницы 11-15 | База студенческих работ

Материал: 1820

Смотрите также:

Полученные общие соотношения справедливы для уравнений регрессии с произвольным количеством m объясняющих переменных. Например, для m 2 получим:

b0

y

b1

x

1 b2

x

2 ,

(x

x

)(y

y

) (x

x

)2 (x

x

)(y

y

) (x

x

)(x

x

2

)

b1

i1

1

i

i2

2

i2

2

i

i1

1

i2

,

(x

x

)2 (x

x

)2 ( (x

x

)(x

x

))2

i1

1

i2

2

i1

1

i2

2

(x

x

)(y

y

)

(x

x

)2 (x

x

)(y

y

)

(x

x

)(x

2

x

2

)

b2

i2

2

i

i1

1

i1

1

i

i1

1

i

.

(x

x

)

2 (x

x

)2 (

(x

x

)(x

x

))2

i1

1

i2

2

i1

1

i2

2

Пример.

Анализируется объем s сбережений домохозяйства за 10 лет. Предполагается, что его размер st в текущем году tзависит от величины yt располагаемого дохода y и от величины zt

реальной процентной ставки z. Статистические данные представлены в таблице:

		Год								80		81			82			83				84					85					86		87			88						89				90
		y, тыс.у.е.								100		110		140				150			160						160					180		200			230						250				260
		z, %								2		2			3			2				3					4					4		3			4						5				5
		s, тыс.у.е.								20		25			30			30				35					38					40		38			44						50			55
	Необходимо рассчитать оценки коэффициентов уравнения регрессии.
	Решение:																						y										z									s
	Средние значения исходных данных равны:																						y		176,3636,								z	3,3636,								s		36,8182.
	Представим требующиеся для построения модели множественной регрессии и
проведения дальнейшего анализа промежуточные вычисления в таблице:
															2											(yi				y		)		(yi					y		)				(zi			z	)
			(yi						y		)2		(zi z)		2	(si			s	)2						(yi				y		)		(yi					y		)				(zi			z	)
	Год												(zi z)													(zi			z			)		(si				s		)					(si			s	)
	Год																									(zi			z			)		(si				s		)					(si			s	)
	80				5831,4050								1,8595				282,8512									104,1322								1284,2975											22,9339
	81				4404,1322								1,8595				139,6694									90,4959								784,2975											16,1157
	82				1322,3140								0,1322				46,4876									13,2231								247,9339													2,4793
	83					695,0413							1,8595				46,4876									35,9504								179,7521													9,2975
	84					267,7686							0,1322				3,3058									5,9504									29,7521												0,6612
	85					267,7686							0,4050				1,3967									-10,4132									-19,3388												0,7521
	86					13,2231							0,4050				10,1240									2,3140									11,5702												2,0248
	87					558,6777							0,1322				1,3967									-8,5950									27,9339										-0,4298
	88				2876,8595								0,4050				51,5785									34,1322								385,2066													4,5702
	89				5422,3140								2,6777				173,7603									120,4959								970,6612											21,5702
	90				6995,0413								2,6777				330,5785									136,8595								1520,6612											29,7521
				28654,5455									12,5455				1087,6364									524,5455								5422,7273											109,7273
	Теперь рассчитаем коэффициенты уравнения регрессии:
			b0 36,8182 0,124189176,3636 3,5537963,3636 2,962233,
			b				5422,727312,5455 109,7273 524,5455																					10473,8639						0,124189,
			b																															0,124189,
			1						28654,545512,5455 (524,5455)													2				84337,619
									28654,545512,5455 (524,5455)
			b					109,7273 28654,5455 5422,7273 524,5455																							299718,7075					3,553796.
			b																																	3,553796.
			2								28654,545512,5455 (524,5455)													2								84337,619
											28654,545512,5455 (524,5455)

Таким образом, эмпирическое уравнение регрессии имеет вид: st 2,962233 0,124189yt 3,553796zt .

11

Задачи

1. Предполагается, что объем предложения товара у линейно зависит от цены товара x1 и зарплаты сотрудников x2 : y 0 1x1 2x2 . Статистические данные собраны за десять

месяцев. Оценить по МНК коэффициенты уравнения регрессии для двух вариантов: 1)

y, руб	20		35		30		45		60		70		75		90		105		110
x1, руб	10		15		20		25		40		37		43		35		40		55
x2, руб	12		10		9		9		8		8		6		4		4		5
2)
y, руб		75		90		105		110		120		130		130		130		135		140
x1, руб		43		35		38		55		50		35		40		55		45		65
x2, руб		6		4		4		5		3		1		2		3		1		2

2. Торговое предприятие имеет несколько филиалов. Найти коэффициенты эмпирического уравнения множественной регрессии, если предполагается, что зависимая переменная y – это годовой товарооборот филиала, а независимые переменные x1, x2 – размер торговой площади и среднедневная интенсивность потока соответственно. Зависимость y от x1, x2 предполагается линейная. Данные приведены в следующей таблице:

y, млн	2,93	5,27	6,85	7,01	7,02	8,35	4,33	5,77	7,68	3,16	1,52	3,15
руб
x1, тыс	0,31	0,98	1,21	1,29	1,12	1,49	0,78	0,94	1,29	0,48	0,24	0,55
м2
x2, тыс	10,24	7,51	10,81	9,89	13,72	13,92	8,54	12,36	12,27	11,01	8,25	9,31
чел в
день

1.4 Практическое занятие №4 (2 часа). Нелинейная регрессия.

Цель занятия: по эмпирическим данным научиться строить нелинейные регрессионные модели, оценивать коэффициенты таких моделей.

Методические указания.

Построение и анализ нелинейных моделей имеют свою специфику. Рассмотрим нелинейные модели, допускающими сведение их к линейным. Такие модели называют

линейные относительно параметров модели. Будем рассматривать модели парной нелинейной регрессии:

1) Логарифмические модели: Y AX , где A, – параметры модели (константы, подлежащие определению). Для анализа такой функции используется логарифмирование всего выражения:

lnY ln A ln X .

С целью статистической оценки коэффициентов добавим в модель случайную погрешность и заменим: ln A 0 , Y* lnY и X * ln X , получаем линейную модель:

Y* 0 X* ,

и при большем числе переменных:

lnY 0 1 ln X1 m ln Xm .

12

4) Показательная модель Y 0e x . Сначала сводится к лог-линейной lnY ln 0 X , а

потом к линейной модели.

Пример.

Анализируется индекс потребительских цен Y по объему денежной массы X на основании приведенных в таблице данных. Необходимо построить логарифмическую модель.

			Год	Y		X	Год	Y	X
			81	65	110		89	95	235
			82	68	125		90	100	240
			83	72,5	132		91	106,5	245
			84	77,5	137		92	112	250
			85	82	160		93	115,5	275
			86	85,5	177		94	118,5	285
			87	88,5	192		95	120	295
			88	91	215		96	120,5	320
							97	121	344
Решение:							Y AX . Данная модель сводится к линейной
Логарифмическая модель имеет вид:							Y AX . Данная модель сводится к линейной
следующим образом:			lnY b0 bln X .			Для определения коэффициентов в этой модели
определим логарифмы переменных Y и X ,							(ln X)2 ,	(ln X) (lnY) и представим их в таблице.

	Год	Y		X		lnY		ln X	(ln X)2	(ln X)
										(lnY)

	81		65	110			4,1744	4,7005	22,0947	19,6218
	82		68	125			4,2195	4,8283	23,3125	20,3730
	83		72,5	132			4,2836	4,8828	23,8417	20,9160
	84		77,5	137			4,3503	4,9200	24,2064	21,4035
	85		82	160			4,4067	5,0752	25,7577	22,3649
	86		85,5	177			4,4485	5,1761	26,7920	23,0259
	87		88,5	192			4,4830	5,2575	27,6413	23,5694
	88		91	215			4,5109	5,3706	28,8433	24,2262
	89		95	235			4,5539	5,4596	29,8072	24,8625
	90		100	240			4,6052	5,4806	30,0370	25,2393
	91		106,5	245			4,6681	5,5013	30,2643	25,6806
	92		112	250			4,7185	5,5215	30,4870	26,0532
	93		115,5	275			4,7493	5,6168	31,5484	26,6759
	94		118,5	285			4,7749	5,6525	31,9508	26,9901
	95		120	295			4,7875	5,6870	32,3420	27,2265
	96		120,5	320			4,7916	5,7683	33,2733	27,6394
	97		121	344			4,7958	5,8406	34,1126	28,0103
	Сумма		1639	3737		77,3217		90,7392	486,3122	413,8784

13

	Среднее	96,4118		219,8235		4,5483		5,3376		28,6066		24,3458
Затем, по аналогии с примером, приведенным в разделе 1, рассчитываются
коэффициенты для этой модели следующим образом:
		X lnY		24,3458 5,3376 4,5483				0,0688	0,5901,
b (ln X) ln(Y) ln		X lnY		24,3458 5,3376 4,5483				0,0688	0,5901,
	(ln X)2 (ln X)2			28,6066 (5,3376)2				0,1166
	(ln X)2 (ln X)2			28,6066 (5,3376)2				0,1166

b0 lnY b ln X 4,5483 0,5901 5,3376 1,3986.
Следовательно,		модель		имеет	вид:	lnY 1,3986 0,5901 ln X .					Если свести		данную
модель к виду Y AX , то получим: Y 4,0495 X 0,5901 (т.к. ln A b 1,3986, следовательно,
										0
A eb0	4,0495).
Представим графически корреляционное поле для переменных											lnY	и ln X ,	а также
график рассчитанной модели lnY 1,3986 0,5901 ln X .
	4,90
	4,80
	4,70
	4,60
	4,50
	lnY
	4,40
	4,30
	4,20
	4,10
	4,00
	4,40		4,60	4,80	5,00	5,20		5,40	5,60	5,80	6,00
						lnX
						Задачи.
1. В условиях задачи из примера проверить значимость коэффициентов уравнения
регрессии, определить их интервальные оценки и рассчитать коэффициент детерминации.
Расчет	проводится		аналогично		примеру		в	разделе		1	для	модели	вида
lnY 1,3986 0,5901 ln X .
2. Определить экспоненциальную функцию вида y e x , где у – совокупные личные
расходы, х – располагаемый личный доход (по данным из таблицы индивидуальных заданий).
Проверить статистическую значимость коэффициентов регрессии и доверительные интервалы
коэффициентов с уровнем значимости 5%, проверить качество уравнения регрессии.
Определить для этих же данных линейную регрессию вида y x.

2. Основы линейного программирования (ЛП)

2.1Практическое занятие №5 (4часа). Представление экономико-математической модели

ввиде задачи линейного программирования (ЗЛП)

Цель занятия: научиться представлять экономико-математические модели в виде задач линейного программирования, подбирать оптимизационный критерий.

Методические указания.

Экономико-математическая постановка и модель общей задачи линейного программирования записывается в виде

n
Z x ck xk max(min) ,	(1)

k 1

14

Рассмотрим пример составления математической модели.

Пример.

1. Задача об использовании сырья. Пусть предприятие выпускает два вида продукции P1 и P2 для продажи. Для производства продукции используется три вида сырья S1 S2 S3. Расход сырья на каждый вид продукции, стоимость продукции и запасы сырья представлены в таблице

	Виды сырья	Расходы сырья на единицу продукции				Запасы сырья
		P1		P2
	S1	3		4		70
	S2	5		7		80
	S3	8		6		90
	Стоимость ед.	20		30
	продукции
	Какое количество каждого вида продукции необходимо предприятию, чтобы прибыль
была максимальной? Составить ЗЛП.
	Решение:
	Обозначим x1, x2	– объемы	выпуска соответственно		1-го и 2-го видов. Тогда

математическая модель имеет вид:

Z 20x1 30x2 max

3x1 4x2 70,

5x1 7x2 80,8x1 6x2 90,

x1 0, x2 0.

2. Задача о диете. Пусть диетолог составляет диету, согласно которой пациент должен получит не менее 18 единиц питательного вещества S1, не менее 25 единиц вещества S2 и не менее 32 единиц вещества S3. Диета состоит и з двух составляющих D1, D2 . Содержание количества единиц питательных веществ в единице веса каждой составляющей диеты и стоимость продуктов приведены в таблице

Питательные вещества	Количество единиц питательных веществ
		в ед.объема продуктов
	D1		D2
S1	3		4
S2	5		7
S3	6		8
Стоимость диеты	20		25

Требуется составить дневной рацион необходимой питательности, чтобы затраты были минимальными. Составить ЗЛП.

Решение:

Обозначим x1, x2 – количество питательных веществ в продуктах 1-го и 2-го видов соответственно. Тогда математическая модель имеет вид:

15

Полулогарифмические модели: lnY 0 X , Y 0

ln X . После замены

Y* lnY и X * ln X , получаем линейную модель.

Обратная модель: Y 0 1

. Сводится к линейной путем замены X *