Документ: 1820, страницы 6-10 | База студенческих работ

3. Случайные отклонения i и j являются независимыми друг от друга для i j .

Выполнимость данной предпосылки предполагает, что отсутствует систематическая связь между любыми случайными отклонениями.

4.Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных.

5.Модель является линейной относительно параметров.

	Теорема Гаусса-Маркова. Если предпосылки 1-5 выполнены, то оценки, полученные по
МНК, обладают следующими свойствами:		M(b0) 0,	M(b1) 1. Это вытекает из того, что
1.	Оценки являются несмещенными, т.е.
	M( i) 0, и говорит об отсутствии систематической ошибки в определении положения
	линии регрессии.
2.	Оценки состоятельны, так как дисперсия оценок параметров				при возрастании числа
	наблюдений n стремится к нулю: D(b ) 0,		D(b ) 0. Другими словами, при
	0	n	1	n
	увеличении объема выборки надежность оценок увеличивается				(b0 близко к 0 , а b1

близко к 1.

3. Оценки эффективны, т.е. они имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данных параметров, линейными относительно величин yi .

Если предпосылки 2 и 3 нарушены, то свойства несмещенности и состоятельности

сохраняются, но свойство эффективности – нет.

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии

В силу случайного отбора элементов в выборку случайными являются также оценки b0 и

b1 .

При выполнении предпосылок об отклонениях i

имеем

M(b0 ) 0 , M(b1) 1 . При

этом оценки тем надежнее, чем меньше их разброс вокруг

0 и

1 ,

т.е. чем меньше

дисперсии D(b0 )

и D(b1 )

оценок, рассчитываемые по формулам:

D(b )

2 xi2

,

D(b )

2

.

0

n (xi

x

)2

1

(xi

x

)2

Так

как

i

неизвестны,

они

заменяются

величинами

ei yi

b0

b1xi . Дисперсия

случайных отклонений D( i ) 2

заменяется ее несмещенной оценкой

S

2

1

(yi

b0 b1xi )

2

ei2

.

n 2

Тогда:

n 2

S2 xi2

D(b ) S2

x2

S2 ,

0

b0

n (xi

x

)2

b1

D(b ) S2

S2

,

S

2

ei2

1

b1

(xi

x

)2

где

– необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии

n 2

регрессии),

тогда

S

ei2

–

стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии),

n 2

2

S

b0

S

2

и

S

b1

S

– стандартные отклонения случайных величин b

и b , называемые

b0

b1

0

1

стандартными ошибками коэффициентов регрессии.

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии

6

При проведении статистического анализа возникает необходимость сравнения

эмпирических коэффициентов регрессии b0 и b1 с ожидаемыми значениями 0 и этих

1

коэффициентов. Данный анализ осуществляется при помощи статистической проверкой гипотез.

Для проверки гипотезы H0: b1 1 используется статистика:

t b1 1 , Sb1

которая при справедливости b1 1 имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы v n 2 , где n – объем выборки. Следовательно, гипотеза b1 1 отклоняется на основании данного критерия, если:

T	b1 1	t		,
	b1 1

набл	Sb1			,n 2
набл
			2
			2

где - требуемый уровень значимости. При невыполнении этого условия считается, что нет оснований для отклонения H0: b1 1.

Задача установления значимости коэффициентов решается при помощи отношений, называемых t-статистикой:

t

b1

и

t

b0

.

Sb1

Sb0

В случае, если

t

,n 2 , то статистическая значимость соответствующего коэффициента

2

регрессии подтверждается. Значения t

,n 2

в зависимости от уровня значимости и числа степеней

2

свободы v (v n 2) приведены в приложении 1.

Интервальные оценки коэффициентов линейного уравнения регрессии

Доверительные интервалы коэффициентов b0 и b1, которые с надежностью (1 )

накрывают определяемые параметры 0 и , определяются по формулам:

1

			S(b ); b t					и
b t			S(b ); b t				S(b )	и
0		,n 2	0	0		,n 2	0
0	2	,n 2			2	,n 2
	2				2

			S(b ); b t
b t						S(b ) .
1		,n 2	1 1		,n 2	1
	2			2

Доверительные интервалы для зависимой переменной

Интервал, определяющий границы, за пределами которых могут оказаться не более 100 % точек наблюдений при X xp , рассчитывается следующим образом:

							2
					1	(x xp)	2
b b x		t		S 1	1	(x xp)			.
b b x		t		S 1					.
0 1	p				n			2
0 1	p					(xi x)		2
				,n 2
			2	,n 2
			2

Проверка общего качества уравнения регрессии.

Общее качество уравнения регрессии оценивается по тому, как хорошо эмпирическое уравнение регрессии согласуется со статистическими данными. Мерой общего качества уравнения регрессии является коэффициент детерминации R2 . В случае парной регрессии коэффициент детерминации будет совпадать с квадратом коэффициента корреляции. В общем случае коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:

2		ei2
R	1
		(yi	y	)2

7

Справедливо соотношение 0 R2 1. Чем теснее линейная связь между X и Y , тем ближе коэффициент детерминации R2 к единице.

Пример.

Для анализа зависимости объема потребления Y (у.е.) домохозяйства от располагаемого дохода X (у.е.) отобрана выборка n=12 (помесячно в течение года) необходимо провести регрессионный анализ.

Данные и расчеты представлены в таблице:

				i						x		y	x	2		x y	y	2	y	ei	e	2
											i	i	x			i i	y	i	i		e
													i					i			i
			1						107			102	11449		10914		10104		103,63	-1,63	2,66
			2						109			105	11881		11445		11025		105,49	-0,49	0,24
			3						110			108	12100		11880		11664		106,43	1,57	2,46
			4						113			110	12769		12430		12100		109,23	0,77	0,59
			5						120			115	14400		13800		13225		115,77	-0,77	0,59
			6						122			117	14884		14274		13689		117,63	-0,63	0,40
			7						123			119	15129		14637		14161		118,57	0,43	0,18
			8						128			125	16384		16000		15625		123,24	1,76	3,10
			9						136			132	18496		17952		17424		130,71	1,29	1,66
			10						140			130	19600		18200		16900		134,45	-4,45	19,8
			11						145			141	21025		20445		19881		139,11	1,89	3,57
			12						150			144	22500		21600		20736		143,78	0,22	0,05
			Сумма						1503			1448	190617		183577		176834		-	0	35,3
		Среднее							125,25			120,	15884,		15298,08		14736,1		-	-	-
												67	75				7
Решение:
Найдем сначала оценки коэффициентов:


					xy	x y					15298,08 125,25 120,67
	b				xy	x y					15298,08 125,25 120,67					0,9339,


		1			x2			2			15884,75 (125,25)				2
					x2		x	2			15884,75 (125,25)				2

			y b1x 120,67 0,9339 125,25 3,699.
b0			y b1x 120,67 0,9339 125,25 3,699.																Yˆ 3,699 0,9339X . По этому
Таким образом, уравнение парной регрессии имеет вид:																			Yˆ 3,699 0,9339X . По этому
уравнению рассчитаем yˆi ,												а также ei yi yˆi .
В		нашем примере коэффициент b1													может трактоваться				как предельная		склонность к

потреблению. Фактически он показывает, на какую величину изменится объем потребления, если

располагаемый доход возрастает на одну единицу. Свободный член b0

определяет

прогнозируемое

значение Y

при величине

располагаемого дохода X , равной

нулю (т.е.

автономное потребление).

Рассчитаем другие показатели.

2

ei2

35,3

S

3,53;

S

2

1,88,

n 2

12 2

S2

3,53

2

Sb1

0,0015;

Sb1

Sb1 0,039,

(xi

x

)2

2366.25

Sb20

x2

Sb21

15884,75 0,0015 23,83;

Sb0

Sb20

4,88,

Проверим статистическую значимость коэффициентов b0 и b1 :

8

t

b1

0,9339

23,946 и

t

b0

3,699

0,76.

1

Sb1

0,039

0

Sb0

4,88

Критическое

значение при

уровне

значимости

0,05 равно (см. приложение

1)

tкрит t

,n 2

t0,025;10 2,228. Так как

t1

23,946 2,228, то это подтверждает статистическую

2

b1.

значимость коэффициента регрессии

Аналогично

для другого коэффициента: так

как

t0

0,76 2,228,

то гипотеза о статистической значимости коэффициента b0 отклоняется.

Это

означает, что в данном случае свободным членом уравнения регрессии можно пренебречь, рассматривая регрессию как Y b1X .

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии (по формуле 2.20), которые с надежность 95% ( 0.05)будут следующими:

для	b0	(3,699	2,228 4,88; 3,699 2,228 4,88) ( 7,173; 14,572),
для	b1	(0,9339	2,228 0,039; 0,9339 2,228 0,039) (0,8470; 1,021).

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных объемов потребления при неограниченно большом числе наблюдений и уровне дохода X 160 :

3,699 0,9339 160 2,228 1,88	1		1	(125,25 160)	2	.
		12		2102,1875

Таким образом, этотинтервал имеет вид: (147,4898; 158,7082). Рассчитаем коэффициент детерминации:

R2 1	35,3	0,983.
	2108,6668

Столь высокое значение коэффициента детерминации свидетельствует о высоком общем качестве построенного уравнения регрессии.

Задачи

1. В условиях задачи № 3 из предыдущего раздела для модели, в которой переменная «величина покупки» объясняется переменной «длительность разговора с продавцом»:

1)проверить статистическую значимость коэффициентов регрессии с уровнем значимости 5%;

2)определить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии с уровнем значимости 1%;

3) определить доверительные интервалы для зависимой переменной при y* 22 для уровня значимости 10%;

4) проверить качество уравнения регрессии и статистическую значимость коэффициента детерминации (уровень значимости 10%).

2. Исследователь изучает зависимость между совокупным спросом на услуги (y) и совокупным располагаемым личным доходом (х) по данным для американской экономики (обе величины измеряются в млрд.дол.), используя ежегодные данные временных рядов и модель: y x u . Исследователь получает уравнение, проводя регрессионный анализ при помощи МНК. Предполагая, что обе величины х и у могут быть существенно занижены в системе национальных счетов из-за стремления людей уклониться от уплаты налогов, исследователь принимает два альтернативных метода уточнения заниженных оценок: 1) он добавляет к каждому году 90 млрд.дол. к показателю у и 200 млрд.дол. к показателю х; 2) он увеличивает значения как для х, так и для у на 10% за каждый год. Оцените влияние этих корректировок на результаты оценивания регрессии.

3. Регрессионная зависимость расходов на питание у от времени t задана уравнением: yˆ 95,3 2,53t . Стандартная ошибка коэффициента при t составила 0,08. Проверьте нулевую

9

гипотезу о том, что истинное значение коэффициента равно нулю при 5%-ном и 1%-ном уровнях значимости. Сделайте выводы.

1.3 Практическое занятие №3. (2 часа) Множественная линейная регрессия

Цель занятия: научиться строить модели множественной линейной регрессии, находить оценки коэффициентов уравнения.

Методические указания.

На любой экономический показатель чаще всего оказывает влияние не один, а несколько факторов. В этом случае вместо парной регрессии M(Y X) f (x) рассматривается

множественная регрессия

M(Y x1,x2 , ,xm ) f (x1,x2 , ,xm )

Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде:

	Y f ( , X) ,
где X (X1, X2, , Xm) – вектор независимых переменных;			- вектор	параметров
(подлежащих определению); - случайная ошибка (отклонение); Y - зависимая переменная.
Теоретическое линейное уравнение регрессии имеет вид:
	Y 0 1X1 2 X2 m Xm ,
или для индивидуальных наблюдений i 1,2, ,n:
	yi 0 1xi1 2xi2 mxim i .
Здесь	( 0, 1, , m ) – вектор	размерности (m 1)	неизвестных	параметров.
j , j 1,2, ,m называется j-тым теоретическим коэффициентом регрессии, 0				- свободный
член, определяющий Y в случае, когда все объясняющие переменные X j равны нулю.
Пусть имеется n наблюдений вектора объясняющих переменных X (X1, X2, , Xm) и
зависимой переменной Y :
	(xi1,xi2, ,xim,yi),i 1,2, ,n.
Для того, чтобы однозначно можно было бы решить задачу отыскания параметров
0, 1, , m	(т.е. найти некоторый наилучший вектор ), должно выполняться неравенство
n m 1.
Как и в случае парной регрессии,		истинные значения параметров j		по выборке

получить невозможно. В этом случае вместо теоретического уравнения регрессии оценивается эмпирическое уравнение регрессии:

Y b0 b1X1 b2 X2 bm Xm e.

Здесь b0,b1, ,bm -

оценки теоретических значений

0, 1, , m

коэффициентов регрессии;

e - оценка отклонения .

оценки b0,b1, ,bm

При выполнении предпосылок МНК относительно ошибок i

являются несмещенными, эффективными и состоятельными.

Обозначим

y

1

x

b

e

1

11

12

1m

0

1

Y

y2

1

x21

x22 x2m

b1

e

e2

,

X

,

B

,

.

1

x

y

n

n1

n2

b

e

nm

m

n

Тогда МНК-оценки параметров 0, 1, , m

будут

определяться следующей

формулой:

B (XT X) 1 XTY .

10

Материал: 1820

Смотрите также: