Материал: 06 - презентация
Пример 5.
Найти область сходимости степенного ряда ∑∞=1 22 . Применим признак Коши:
|
2 |
|
|
||
lim→∞ √| |
|
|
| = | 2| < 1 −1 < < 1. |
||
2 |
|
||||
При = ±1: |
∑=1∞ |
1 |
– ряд Дирихле, сходится. |
||
2 |
|||||
Ответ: область сходимости данного ряда [−1,1], = 1.
Пример 6.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Найти область сходимости степенного ряда ∑∞=1 |
|
|
( + 2) . |
|||||||||||||||
∙2−1 |
||||||||||||||||||
Применим признак Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim →∞ |
√| |
1 |
( + 2) | = |
| +2 |
< 1, |
|
|
|
|
|
||||||||
∙2−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
| |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 < 2 −2 < + 2 < 2 −4 < < 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(−2) |
(−1) ∙2 |
|
(−1) |
|
||||||||
= −4. |
|
|
∑∞=1 |
|
= ∑∞=1 |
|
|
|
|
= 2 ∙ ∑∞=1 |
|
|
|
– ряд |
||||
|
|
∙2−1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Лейбница, сходится.
= 0. ∑∞=1 2 – расходится (гармонический ряд). Ответ: область сходимости данного ряда [−4,0], = 2.
Пример 7.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти область сходимости степенного ряда ∑∞=0 |
2 |
|
( − 3) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
||
Применим признак Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
| |
|
| |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim √| |
√ |
|
( − 3) |
| = 2 ∙ |
|
− 3 < 1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
| |
| |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
7 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
− 3 < |
2 |
|
3 − |
2 |
< < 3 + |
2 |
|
|
|
2 |
< < |
2 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
. ∑∞=1 |
|
2 |
|
(− |
1 |
) = ∑∞=1 |
|
|
|
– ряд Лейбница, сходится. |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
. ∑∞=1 |
|
2 |
|
( |
1 |
) = ∑∞=1 |
– ряд Дирихле, расходится. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ответ: область сходимости данного ряда [52 , 72], = 12.
5.3. Равномерная сходимость степенного ряда, его почленное интегрирование и дифференцирование
Теорема 2 (о равномерной сходимости степенного ряда).
Степенной |
ряд |
∑=0∞ |
сходится |
равномерно |
на |
любом |
||
отрезке, принадлежащем интервалу сходимости. |
|
|
||||||
Доказательство. |
Пусть |
(− , ) |
– |
интервал |
сходимости |
|||
степенного |
ряда и |
[ , ] |
– |
произвольный |
отрезок, |
|||
принадлежащий этому интервалу. Обозначим 0 = {| |, | |}. Тогда для всех [ , ] будет выполняться неравенство | | < | 0|. Степенной ряд сходится абсолютно в точке 0, т.к. 0
(− , ). Кроме того: | | ≤ | 0 |.
Т.е. степенной ряд мажорируется на отрезке [ , ] сходящимся положительным числовым рядом, а, значит, согласно теореме Вейерштрасса, сходится на этом отрезке равномерно.
Теорема доказана.
Степенные ряды обладают свойствами равномерно сходящихся функциональных рядов.
1). Сумма степенного ряда непрерывна на любом отрезке, принадлежащем интервалу сходимости, а, значит, непрерывна на всем интервале.