Материал: 06 - презентация
Пример 1.
Найти область сходимости степенного ряда ∑∞=0 |
( +1) |
. |
|||||||||||
|
|||||||||||||
2 |
|||||||||||||
Применим признак Даламбера: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
( +2) +1 |
|
2 |
| | |
|
+2 |
| | |
|
|
|
|||
lim →∞ | |
|
|
∙ |
|
| = |
|
lim →∞ |
|
= |
|
< 1 |
|
|
|
2+1 |
( +1) |
2 |
+1 |
2 |
|
|||||||
| | < 2 −2 < < 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(−2,2) – интервал сходимости, = 2 – радиус сходимости. |
|||||||||||||
Исследуем сходимость на концах интервала. |
|
|
|
||||||||||
При = 2 |
получим положительный числовой ряд ∑∞=0( + 1). |
||||||||||||
Не выполняется необходимое условие сходимости, ряд расходится.
При = −2 получим числовой ряд ∑∞=0(−1) ( + 1). Не выполняется необходимое условие сходимости, ряд расходится. Ответ: область сходимости данного ряда (−2,2), = 2 .
Пример 2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑∞ |
( ) ( +1) |
|||||
Найти область сходимости степенного ряда |
=2 |
−1 |
|
3 ∙ |
. |
|||||||||||||||||||||||
Применим признак Даламбера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
lim →∞ | |
|
( +1)+1 |
∙ |
3 ∙ |
| = |
|
| +1| |
lim →∞ |
|
|
|
= |
| +1| |
. |
|
|||||||||||||
3+1∙ln( +1) |
( +1) |
3 |
|
ln( +1) |
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||
При вычислении lim |
|
|
|
|
используется правило Лопиталя: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
→∞ ln( +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
= [ |
] = lim |
|
|
|
|
= lim |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
→∞ ln( +1) |
|
∞ |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интервал сходимости определяется из неравенства:
| +13 | < 1 | + 1| < 3 −3 < + 1 < 3 −4 < < 2.
(−4,2) – интервал сходимости, = 3 – радиус сходимости.
Исследуем сходимость на концах интервала:
При = −4 получим положительный ряд ∑∞=2 1 . Сравним его с гармоническим рядом ∑∞=1 1.
Покажем, |
что |
|
для |
|
любого |
номера |
= 2,3,4, … |
выполнено |
|||||||||||||||
неравенство: |
|
1 |
|
> |
1 |
|
|
|
|
< 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для этого рассмотрим функцию |
|
= |
|
и вычислим |
ее |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
) |
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
производную: ′ |
|
|
= |
|
2 |
< 0 |
при > . |
|
|
( |
) |
||||||||||||
( |
|
) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
( ) |
|
3 |
|
|
|
|
||||||
Так как 2 |
|
= |
|
2 |
|
< 1, 3 |
= |
3 |
< 1, |
а |
при |
> |
|
||||||||||
убывает, то ее значения меньше 1 при всех = 2,3,4, ….
Члены полученного ряда больше, чем соответствующие члены гармонического ряда, т.е. при = −4 ряд расходится.
При = 2 получим знакочередующийся ряд ∑∞=2(−1) 1 ,
который сходится условно как знакочередующийся ряд Лейбница.
Ответ: область сходимости данного ряда (−4,2], = 3.
Пример 3.
Найти область сходимости степенного ряда ∑∞=0 ! . Применим признак Даламбера:
lim →∞ | |
|
+1 |
∙ |
! |
| = | | ∙ lim |
1 |
|
= 0 при всех . |
|
|
|||||||
( +1)! |
|
|
||||||
|
|
|
→∞ +1 |
|
||||
Следовательно, область сходимости данного ряда – вся числовая ось. = ∞
Пример 4.
Найти область сходимости степенного ряда ∑∞=1(−1) +1 ∙ . Применим признак Коши:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim →∞ |
√| |
|
|
| = | | < 1 −1 < < 1. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= −1. ∑∞=1(−1) +1 ∙ |
(−1) |
= ∑∞=1(−1)2 +1 ∙ |
1 |
= − ∑∞=1 |
1 |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
+1 |
1 |
|
||
= 1. |
Получаем знакочередующийся ряд |
∑ =2(−1) |
|
|
, |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
который сходится условно как знакочередующийся ряд Лейбница.
Ответ: область сходимости данного ряда (−1,1], = 1.