Материал: Пустынский Л.Н. Конспект лекций по Ядерной физике
эффективное сечение есть среднее значение площади, при нахождении в пределах которой частиц а и А с определенной вероятностью должна произойти реакция, если последние считать точками. В ядерной физике для измерения сечений используется специальная единица, называемая барн (б), 1б = 10-24 см2.
Часто используется также величина макроскопического сечения
= nА , (4.3.5)
имеющей размерность длины. Физический смысл этой величины раскрывается ниже.
Перепишем (4.3.3) в виде
|
|
|
|
dx |
|
dN = σn |
A |
N |
a |
(4.3.6) |
|
|
|
|
и разделим левую и правую части равенства (4.3.6) на бесконечно малый объем dV = Sdx. В результате получим
|
|
|
|
|
|
|
dN |
|
|
N |
|
||
|
= σn |
A |
|
a |
. |
|
dV |
S |
|||||
|
|
|||||
|
|
|
||||
(4.3.7)
В ядерной физике
S
Рис. 4.3.1
частиц а равна
оказалось удобным использовать величину плотности потока частиц Ф, определяющую интенсивность поступления частиц в заданный объем. Пусть в объем сферы (рис. 4.3.1) с площадью поперечного сечения S по всевозможным направлениям поступает однородный в пределах объема сферы поток частиц N . Тогда по определению плотность потока
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
Фа = |
а |
. |
(4.3.8) |
|
S |
||||
|
|
|
Обозначим через = dN/dV - число реакций, происходящих в бесконечно малом объеме вещества мишени в единицу времени. С учетом этого и (4.3.8) выражение (4.3.7) принимает вид
=
nAФа
,
141
(4.3.9)
где Фа – плотность потока частиц а. Выражение (4.3.9) будет в дальнейшем неоднократно использоваться.
Установим, как изменяется плотность потока частиц а при их движении в пластинке. Число реакций в единицу времени, происходящих в тонком слое мишени единичной площади и толщиной dx, равно dx, а с другой стороны равно убыванию плотности потока
частиц в этом слое, то есть |
|
dx = - dФа. |
(4.3.10) |
Используя (4.3.9) и (4.3.10) получаем дифференциальное уравне-
ние для ослабления плотности потока частиц а: |
|
dФа= - nАФаdx, |
(4.3.11) |
которое следует интегрировать с граничным условием Фа(х = 0) = Ф0. Сечение также является функцией х, так в общем случае энергия частиц является функцией прйденного в мишени расстояния, но часто (например, в случае прохождения тепловых нейтронов через вещество) можно приближенно считать, что не зависит от x. Тогда, разделяя переменные в (4.3.11), получим после интегрирования:
Ф ( x) = Ф e |
−nσx = Φ ( x) = Φ e−Σx . |
(4.3.12) |
||
а |
0 |
а |
0 |
|
Из (4.3.12) получаем вероятность частице a пройти без столкно-
вений путь x: |
|
|
|
P( x) = |
Φ(x) |
= e−nσx = e−Σx . |
(4.3.13) |
|
|||
|
Ф0 |
|
|
Найдем среднюю длину пробега частиц а до первого взаимодействия:
|
|
−Σx |
|
1 |
|
|
L = xdP( x) = xde |
= |
. |
||||
|
Σ |
|||||
0 |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
(4.3.14)
142
Таким образом,
dω
О
Рис. 4.3.2.
макроскопическое сечение [см-1] имеет смысл
среднего числа взаимодействий частиц а c
Ωядрами А на единице длины пути в мишени,
то есть смысл коэффициента поглощения в
материале мишени.
Более подробной характеристикой ядерного взаимодействия (реакции или рас-
сеяния) служит дифференциальное сечение:
σ |
|
(T |
, ) = |
dσ(T |
) |
[см 2 / стерад]. |
диф |
a |
|
||||
|
a |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.3.15)
Дифференциальное сечение определяет плотность вероятности
продуктам (В или b) реакции (4.1.1) вылететь в пределах телесного |
||||||||||||
|
d = sin d d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
угла |
в направлении |
Ω (рис. 4.3.2). Дифференцируя |
||||||||||
|
|
|
||||||||||
(4.3.3) по ω, получим выражение |
|
|
|
|||||||||
|
|
dP |
1 |
|
|
|
dσ |
|
|
|||
|
|
|
dN |
|
nAdx , |
|
||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
(4.3.16) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dω |
|
Na |
|
dω |
|
dω |
|
|
||
которое устанавливает связь между дифференциальным сечением и плотностью вероятности.
Если спины налетающих частиц и ядер в мишени ориентированы хаотично, то процесс взаимодействия обладает цилиндрической симметрией относительно оси, совпадающей с направлением движения частицы a , т.е. не зависит от полярного угла φ и определяется
только азимутальным углом |
|
вылета одной из частиц. |
|
||||||
|
|
||||||||
σдиф (T |
, ) = σ |
|
|
(T , )d = 2 |
dσ |
. |
(4.3.17) |
||
диф |
|
||||||||
a |
|
a |
|
|
d |
|
|||
Зависимость дифференциального сечения от угла вылета |
называ- |
||||||||
ется угловым распределением. |
|
|
|
|
|
|
|||
Интегрирование (4.3.17) по углу |
|
устанавливает связь между |
|||||||
|
|||||||||
эффективным сечением и угловым распределением:
143
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ(T |
|
) = 2 σ |
диф |
(T |
, )sin d |
|||||
a |
0 |
|
a |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Часто вместо |
зависимости |
|
(Ta , ) |
используют |
||||||
(Та, ), где cos . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
σ(E) = 2 |
|
σ |
диф |
(T |
, )d |
. |
||||
|
|
|
|
|
a |
|
||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(4.3.18)
зависимость
(4.3.19)
На одних и тех же ядрах А под действием частиц а могут иметь место различные выходные каналы (см. (4.1.2)), каждый из которых
характеризуется своим парциальными микроскопическим σi и мак-
роскопическим Σi сечениями. Тогда, в соответствие с (4.3.6), сече-
ния входного канала или полные сечения t и Σt складываются из парциальных сечений следующим образом:
σt = σi ; i
t
=i = nAσi
ii
= nA σi =nAσt i
.
(4.3.20)
Если же вещество мишени имеет в своем составе ряд различных нуклидов, концентрация ядер каждого из которых равна nj, то в этом случае можно говорить только о полном макроскопическом сечении
|
|
|
t = i j = n j σij , |
(4.3.21) |
|
|
|
|
j i |
j i |
|
где |
σ |
ij |
- микроскопическое сечение реакции вида i на ядрах j, или |
||
|
|||||
же о средней (приходящейся на одно ядро) величине микроскопического сечения реакции вида i:
|
n j σi |
|
σ |
= |
j |
|
||
i |
n j σi |
|
|
|
|
|
j |
i |
.
(4.3.22)
144
Используя (4.3.14) и (4.3.20) или (4.3.21) можно рассчитать пол-
ную среднюю длину пробега
L |
= |
t |
|
Lt 1 /
частиц а:
t ,
(4.3.23)
Вероятность осуществления ядерной реакции, непосредственно измеряемая в физических экспериментах и позволяющая экспериментально определить макроскопическое сечение, есть выход ядерной реакции Y или просто выход. Выход определяется как среднее число частиц а, испытавших взаимодействие в единицу времени, отнесенное к полному числу частиц а, падающих на мишень макроскопических размеров в единицу времени. Вид формулы, связывающей выход и макроскопическое сечение, определяется конкретным видом ядерной реакции. Для примера рассмотрим процесс (4.3.12) на мишени толщиной d:
= |
Φ |
0 |
− Φ(d) |
|
|
||
|
|
Φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= 1 − |
Φ(d) |
|
Φ |
||
|
||
|
0 |
= 1 − e |
−Σ d |
|
.
(4.3.24)
После небольших преобразований и логарифмирования получаем формулу для нахождения макроскопического сечения
Σ
=− 1 ln(1 −Y ) d
1 |
Y |
|
d |
||
|
,
(4.3.25)
если, как обычно, Y << 1.
Для экспериментального определения дифференциального сечения необходимо измерить угловое распределение продуктов реакции или рассеяния частиц а
§4.4. Законы сохранения в ядерных реакциях
Ядерная реакция представляет чрезвычайно сложный процесс взаимодействия налетающей частицы с ядром. Построение законченной математической теории ядерных реакций невозможно хотя бы потому, что до сих пор неизвестен точный вид сил, действующих между нуклонами. Однако многие важные сведения о ядерных реак-
145