Материал: Проблемы обеспечения надежности и качества приборов, устройств и систем. межвузовский сборник научных трудов
Литература
1. ШИ-регулятор вращения двигателя, Радиомир, 2002, №6, с.16.
Воронежский государственный технический университет
151
УДК 004.02
П.В. Зиновьев, О.В. Ланкин, А.А. Окрачков
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ДИНАМИЧЕСКОГО ПОКАЗАТЕЛЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ
ПОДСИСТЕМЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Приводится расчет динамического показателя эффективности программной подсистемы защиты информации (ППЗИ) автоматизированной системы (АС) управления с использованием операционного метода преобразования Лапласа и численного метода решения системы алгебраических уравнений методом исключения Гаусса
Оценка динамического показателя эффективности ППЗИ АС основана на представлении модели динамики функционирования ППЗИ конечным полумарковским процессом (КПП), в котором обращение к ППЗИ соответствует входу в начальное состояние КПП, а завершение выполнения ППЗИ функций защиты информации по данному обращению – входу в конечное состояние. Для решения задачи анализа КПП необходимо определить интервально-переходные вероятности данного процесса
[3].
Полумарковскую матрицу, описывающую КПП, моделирующий динамику функционирования ППЗИ для определения динамического показателя эффективности, можно представить в виде:
Sу ( ) |
Sу ab ( ) |
, |
a 1,n , b 1,n. |
(1) |
Элемент Sу ab( ) |
данной |
матрицы определяет вероят- |
|
|
ность перехода соответствующего КПП из состояния a непосредственно в состояние b, не превысив определённое время τ, которая может быть рассчитана следующим образом:
152
Sу ab ( ) pу ab Fу a ( ), a 1,n , b 1,n, |
(2) |
где Fу a ( ) – функция распределения времени нахожде-
ния КПП в a-м состоянии;
pу ab – вероятность перехода КПП из a-го состояния в b-
е при условии нахождения КПП в состоянии a.
Функции распределения Fу a ( ) , a 1,n характеризуют-
ся процедурами временной задержки соответствующих им переходов ориентированного графа, формализующего динамику
функционирования ППЗИ, а вероятности перехода pуab, a 1,n ,
b 1,n определяются разрешающими процедурами. При определении динамического показателя эффективности ППЗИ в АС законы распределения для функций Fуa( ) полагаются извест-
ными. Однако параметры данных функций, а также вероятности перехода pуab априори могут иметь только лишь предваритель-
ные значения. Последующая корректировка этих значений основывается на статистической обработке данных, характеризующих параметры реализации функций защиты информации ППЗИ при выполнении сервисных задач в АС.
Показатель устойчивости, характеризующий вероят- ностно-временные характеристики (ВВХ) динамики функционирования ППЗИ, оценивается вероятностью достижения КПП конечного состояния в установленное время. Из этого следует, что для исследования ВВХ динамики функционирования ППЗИ основой является система уравнений, описывающих полные вероятности переходов из любых состояний КПП в конечное состояние за время, не превышающее . Определённая на основе анализа системы уравнений интервально-переходных вероятностей КПП [3], данная система уравнений может быть представлена в виде:
n 1 |
|
|
|
|
Kу a( ) pу an Fу a( ) pу ab Fу a( ) Kу b( ), |
a 1,n 1, |
(3) |
||
b 1 |
|
|
|
|
153
где Kу a( ) – вероятность достижения находящегося в a-м состоянии КПП конечного состояния n за время, не превышающее .
Приведённая система уравнений (3) объединяет ВВХ отдельных состояний КПП, характеризующих состояния функционирования ППЗИ, с ВВХ КПП, характеризующих динамику функционирования ППЗИ в целом.
Для решения системы интегральных уравнений (3) применим операционный метод преобразования Лапласа для упрощения данной системы, в результате которого получится система алгебраических уравнений для производящих функций [1, 2]:
n 1 |
|
|
|
kуa( ) pу an fу a( ) pу ab fу a( ) Kу b( ), |
a 1,n 1, |
||
b 1 |
(4) |
||
|
|||
где kу a( ) – преобразование Лапласа функции Ka( );
fу a( ) – преобразование Лапласа функции Fa( ).
Для элементов полумарковской матрицы Sу ab( ) преобразование Лапласа определяется как:
s у ab( ) = p у ab fу a( ). |
(5) |
Необходимая величина fу a( ) в формуле (5) в соответствии с [2] определяется для каждого из типовых законов распределений времени пребывания ППЗИ в a-м состоянии различными способами.
Если время пребывания ППЗИ в a-м состоянии описывается равномерным законом распределения на отрезке [x1a;x2a], имеем:
|
e( x1a )1 e( x2a ) |
|
|
fу a( ) |
|
. |
(6) |
|
|||
|
x2a |
|
|
154
Если время пребывания ППЗИ в a-м состоянии описывается экспоненциальным законом распределения со средним значением ma, имеем:
f у a ( ) |
1 |
. |
(7) |
|
1 ma |
||||
|
|
|
Если время пребывания ППЗИ в a-м состоянии описывается нормальным законом распределения со средним значением
a и дисперсией a2 , имеем:
|
1 |
2 |
2 |
|
|
fу a ( ) e a |
|
a |
. |
(8) |
|
2 |
|||||
Для удобства записи будем подразумевать: |
|
||||
sab = sу ab( ); |
ka = kу a( ). |
|
|
|
|
Систему уравнений (4) с учётом выражения (5) можно представить в следующем виде:
(1 s1,1)k1 s1,2k2 |
s1,3k3 |
|
... |
s1,n 1kn 1 s1,n; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
k (1 s |
|
)k |
|
s |
|
k |
|
|
|
s |
|
|
k |
|
s |
|
|
; |
|
|
|
|||||
s |
2,2 |
2 |
2,3 |
3 |
2,n 1 |
n 1 |
2,n |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2,1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
||||||||||
............................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k s |
|
|
k |
|
s |
|
|
|
k |
|
(1 s |
|
|
|
|
)k |
|
|
s |
|
. |
|||||
s |
n 1,2 |
2 |
n 1,3 |
3 |
n 1,n 1 |
n 1 |
n 1,n |
||||||||||||||||||||
|
n 1,1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Для решения системы уравнений (9) применим численный метод решения системы алгебраических уравнений методом исключения Гаусса с учётом ограничения: «ведущие» коэффициенты уравнений системы должны быть отличны от 0 [4]. Для рассматриваемой системы уравнений это требование вы-
полняется, так как saa< 1 для i 1,n 1 и «ведущие» коэффици-
енты уравнений системы (1 – saa) > 0 для i 1,n 1.
Можно получить приведённое уравнение, разделив первое уравнение на (1 – s11):
k1–s1(1,2) k2–s1(1,3) k3– … –s1(,1n) 1 kn-1= s1(1,n) , |
(10) |
155 |
|