В случае применения численного метода совокупность исходных математических соотношений заменяется конечномерным аналогом, обычно получаемым в результате замены функций непрерывных аргументов на функции дискретных параметров. После такой дискретизации составляется вычислительный алгоритм, представляющий собой последовательность арифметических и логических действий, позволяющих за конечное число шагов получить решение дискретной задачи.
При имитационном моделировании дискретизации подвергаются не математические соотношения как в предыдущем случае, а сам объект исследования, который разбивается на отдельные компоненты. Кроме того, здесь не записывается совокупность математических соотношений, описывающих поведение всего объекта - оригинала. Вместо этого обычно составляется алгоритм, моделирующий функционирование моделируемого объекта с помощью аналитических или алгоритмических моделей.
Следует заметить, что использование математической модели, построенной с применением алгоритмических методов, аналогично проведению экспериментов с объектом, только вместо натурного эксперимента с объектом проводится так называемый машинный (вычислительный) эксперимент с его моделью.
Контроль правильности математической модели. Контроль правильности математических соотношений осуществляется с помощью следующих действий:
- контроль размерностей, включающий правило, согласно которому приравниваться, складываться, перемножаться и делиться могут только величины одинаковой размерности. При переходе к вычислениям добавляется дополнительное требования соблюдения одной и той же системы единиц для значений всех параметров;
- проверка порядков, состоящая в сравнении порядков складываемых или вычитаемых величин и исключении из математических соотношений малозначимых параметров;
- контроль характера зависимости, предполагающий, что направление и скорость изменения выходных параметров модели должны соответствовать физическому смыслу изучаемых процессов;
- проверка экстремальных ситуаций, которая заключается в наблюдении за выходными результатами модели при приближении значений ее параметров к предельно допустимым. Зачастую это делает математические соотношения более простыми и наглядными (например, при равенстве нулю какой-либо величины); контроль физического смысла, связанный с установлением физического смысла результата и проверкой его неизменности при варьировании параметров модели от исходных до промежуточных и граничных значений;
- проверка математической замкнутости, состоящая в выявлении принципиальной возможности решения системы математических соотношений и получении на её основе однозначно интерпретируемого результата.
Математически замкнутой или «корректно поставленной» задачей принято считать такую её постановку, при которой малым изменениям непрерывно меняющихся исходных параметров соответствуют такие же незначительные изменения выходных её результатов.
Если это условие не удовлетворяется, численные алгоритмы не могут быть применены.
Этап 5. Разработка компьютерных программ. Использование электронно-вычислительной техники, что требует наличия соответствующих алгоритмов и компьютерных программ. Несмотря на наличие в настоящее время богатого арсенала математических алгоритмов и прикладных программ, нередко возникает потребность в самостоятельной разработке новых программ. Сам процесс создания компьютерных программ в свою очередь может быть разбит на последовательные этапы: разработка технического задания (ТЗ), проектирования структуры программ, собственно программирование (кодирование алгоритма), тестирование и отладка программ. Само ТЗ при этом имеет следующую структуру:
)название задачи - имя программы (компьютерного кода), система программирования (язык), требования к аппаратному обеспечению;
)описание - содержательная и математическая постановка задачи, метод дискретизации или обработки входных данных;
)управление режимами - интерфейс «пользователь - компьютер»;
)входные данные - содержание параметров, пределы их изменения;
)выходные данные - содержание, объем, точность и форма представления; 6)ошибки - возможный перечень, способы выявления и защиты; 7)тестовые задания - примеры, предназначенные для тестирования и отладки программного комплекса.
Общая структура компьютерного кода, как правило, содержит три части: препроцессор (подготовка и проверка исходных данных), процессор (проведение вычислений) и постпроцессор (отображение результатов.
Этап 6. Анализ и интерпретация результатов моделирования. Системное исследование предполагает качественный и количественный анализ модели и полученных результатов. Качественный анализ предназначен для выявления общих закономерностей, связанных с функционированием исследуемого объекта, осуществляется рабочей группой, иногда с привлечением представителей заказчика. Цель количественного анализа достигается решением двух задач: 1) прогнозирование характеристик моделируемого объекта; 2) априорная оценка эффективности различных стратегий его совершенствования.
Процедура количественного анализа зависит от вида полученных математических зависимостей. Для сравнительно простых аналитических выражений она может проводиться преимущественно вручную, с использованием инструментария математического анализа и принятия решений. Анализ сложных, громоздких моделей реализуется на ЭВМ с помощью численных и имитационных методов.
Проверка адекватности модели. Эта проверка проводится путём установления соответствия между результатами моделирования и какими-либо другими данными, непосредственно относящимися к решаемой задаче. Обычно используют для этого эмпирические данные (результаты натурных экспериментов, статистику), либо подобные результаты, полученные в ходе решения так называемой тестовой задачи с помощью других моделей. Проверка адекватности должна доказать не только правомерность принятых при моделировании гипотез, но и требуемую точность моделирования.
Различают качественное и количественное согласие результатов сравнения. Качественное согласие подразумевает совпадение некоторых характерных особенностей в распределении оценочных параметров, например, их знаков, тенденций изменения, наличия экстремальных точек и т.п. Если качественное согласие достигнуто, оценивается совпадение на количественном уровне. При этом для моделей с оценочными функциями оно может оцениваться расхождением в 10 - 15%, а для используемых в управляющих и контролирующих системах - в 1 - 2% и ниже.
)значения параметров модели не соответствуют области, определяемой принятой системой гипотез;
)константы и параметры в определяющих соотношениях, использованных в модели, установлены неточно;
)вся исходная совокупность принятых гипотез неприменима для изучаемого объекта или условий его функционирования.
Для устранения этих причин требуется проведение дополнительных исследований как модели, так и объекта-оригинала. Если модель неадекватна, следует изменить значения констант и исходных параметров. Если и при этом положительный результат не достигнут, должны быть изменены принятые гипотезы (например, о характере влияния одного параметра на другой, учёт новых факторов и т.п.).
Таким образом, последний этап в разработке математической модели исключительно важен, и пренебрежение им может стоить огромных издержек в будущем. Действительно, не всегда правдоподобный результат свидетельствует об адекватности модели, и в других случаях она будет давать качественно неверные решения.
Далее показано применение поэтапного моделирования на примере
исследования аварийности и травматизма.
Содержательная постановка задачи.
. Разработать комплекс смысловых и знаковых моделей, позволяющих установить основные закономерности возникновения техногенных происшествий и количественно оценить меру возможности их появления.
. Модели должны: а) выявлять условия появления и предупреждения происшествий; б) вычислять вероятность их появления.
. Исходные данные: параметры производственного объекта Ч (человека), М (машины) и С (среды), проводимых на нем технологических процессов Т, а также статистические данные по состоянию этих компонентов и их аналогов.
Концептуальная постановка задачи.
. Исходные гипотезы и предпосылки относительно моделируемого явления:
а) аварийность и травматизм на производстве могут быть описаны в соответствии с канонами теории случайных процессов в сложных системах;
б) объектом моделирования должен быть случайный процесс, возникающий на производственном объекте и завершающийся появлением происшествий (аварий или несчастных случаев);
в) поток таких происшествий допустимо считать простейшим, т. е. удовлетворяющим условиям стационарности, ординарности и отсутствия последействия; г) каждое происшествие может возникать при выполнении конкретных технологических операций, из-за случайно возникших ошибок персонала, отказов техники и нерасчётных внешних воздействий.
. С учётом вышеизложенного можно сформулировать концептуальную постановку задачи моделирования следующим образом:
а) представить аварийность и травматизм в виде процесса просеивания потока заявок на конкретные технологические операции в выходной поток случайных происшествий с вероятностью их появления в момент времени;
б) изобразить данный процесс в виде потоков( графа, интерпретирующего возникновение причинной цепи происшествий из отдельных предпосылок. Проверка и качественный анализ семантической модели. 1. Проверить обоснованность гипотез относительно природы потоков моделируемых событий и необходимости учёта факторов внешней среды: а) возможность представления простейшим потоком также и входного потока требований на проведение технологических операций;
б) правомерность допущения о несущественности предпосылок к происшествию, обусловленных неблагоприятными внешними воздействиями; 2. Провести качественный анализ потокового графа с целью ответа на следующие вопросы: а) какие производственные процессы можно считать относительно «безопасными»? б) какое технологическое и производственное оборудование следует рассматривать более «безопасным» в эксплуатации. Математическая постановка и выбор метода решения задачи.
. Сформулировать задачу моделирования в виде системы алгебраических уравнений и проверить корректность математических соотношений, полученных каким-либо образом:
а) с учётом гипотезы о простейшем характере потока требований на выполнение технологических операций использовать свойство его инвариантности после разрежения за счёт исключения событий для получения зависимостей
(t)=f(Ч, М, С, Т, t);
. Разработать процедуру априорной оценки каждого из пара метров аналитической модели и проверить корректность всех полученных математических соотношений с применением всех соответствующих правил.
Практическая реализация рассмотренного здесь подхода может способствовать
совершенствованию безопасности техносферы в целом.
Имитационные модели, разработанные на компьютерах, содержат представления об элементах системы, их взаимодействии в виде математических объектов: формул, уравнений, матриц, логических процедур, графиков, таблиц, баз данных, оперативной информации экологического мониторинга.
С помощью многомерных моделей становится возможно объединить любую информацию относительно промышленной безопасности и экологии, выработать модели оптимальных стратегий. При имитационном подходе обычно используют высокоразвитую вычислительную, поэтому наибольшее распространение данная наука получила не так давно.
По мере того, насколько хорошо изучена сложная экологическая система, зависит обоснование математической модели. В том случае, если наблюдается тесная связь экспериментального исследования и математического моделирования математическая модель может служить необходимым промежуточным звеном между опытными данными и основанной на них теорией изучаемых процессов.
Моделируя глобальные экологические процессы, не стоит забывать, что нужно
учитывать огромное число факторов, пространственную неоднородность Земли,
физические и химические процессы, антропогенные воздействия, связанные с
развитием промышленности и ростом народонаселения. По причине повышенной
сложности такой задачи необходимо применение системного подхода, впервые
введённого в практику математического моделирования.
1. Авдин В.В. Математическое моделирование экосистем: Учебное пособие. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ. - 2004.
. Гринин А.С., Орехов Н.А., Новиков В.Н. Математическое моделирование в экологии: Учеб, пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.
. Введение в математическую экологию: учебно-методическое пособие / Ш.Х. Зарипов. - Казань: Изд-во Казанского федерального университета, 2010.
. Петросян Л.А., Захаров В.В. Введение в математическую экологию. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986.
. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. - М.: ИКИ, 2003.