Материал: Плясов Лабораторныы практикум Мекханика твердого тела 2015

Уравнение (1.17.1), описывающее поступательное движение прикрепленного к концу нити груза массы m, в условиях экспери- мента примет вид

(1.17.3), описывающее вращательное движение подшипникового устройства (с неподвижной осью) с цилиндрическими грузами мас- сы µ, примет вид

где β – угловое ускорение подшипникового узла; I – момент инер- ции подшипникового узла; r – радиус ступени диска 7, на который намотана нить (см. рис. 1.17.1 или 1.17.2); Nтр – усредненный мо- мент сил трения в оси подшипникового узла. Для усиления эффек- та торможения в конструкции установок предусмотрен «динамиче- ский» тормоз – кусок плотной резины, постоянно давящий с неко- торой силой непосредственно на ось подшипникового устройства. Поэтому под величиной Nтр надо понимать усредненный момент сил сопротивления в оси подшипникового узла. Однако для про- стоты в дальнейшем будем пользоваться привычной терминологи- ей: момент сил трения в оси подшипникового узла.

Для дальнейшего изложения удобно представить момент инер- ции подшипникового узла I как сумму момента инерции ненагру- женного узла I0 и момента инерции Iгр обоих подвижных цилин- дрических грузов в работе 17 или четырех подвижных цилиндри- ческих грузов в работе 17а:

I = I0 + Iгр (если грузы сняты, то Iгр = 0 и I = I0), где согласно теореме Гюйгенса–Штейнера:

для лабораторной работы 17

для лабораторной работы 17а

Здесь µ, R – масса и радиус основания каждого подвижного ци- линдрического груза; l – расстояние от оси вращения до геометри-

26

ческой оси подвижных цилиндрических грузов в работе 17 (или до центра масс подвижных цилиндрических грузов в работе 17а). Рас- стояние l измеряется по меткам на стальной штанге, на которую насажены цилиндрические грузы, в работе 17 или по меткам- углублениям на стальных лучах крестовины работы 17а. В форму- лах (1.17.9), (1.17.9а) учтено, что геометрические оси подвижных цилиндрических грузов в работе 17 параллельны неподвижной оси вращения, а в работе 17а – перпендикулярны ей. Условие нерастя- жимости нити и ее непроскальзывание по диску 7 (см. рис. 1.17.1 или 1.17.2) дает дополнительное уравнение связи между линейны- ми и угловыми кинематическими характеристиками:

Решая совместно уравнения (1.17.7), (1.17.8) и (1.17.10), полу- чим для неизвестных величин β, F, Nтр, I выражения, являющиеся функциями линейного ускорения wэ груза массы т, определяемого экспериментально по формуле (1.17.6):

Выражение (1.17.14) позволяет вычислить экспериментальное значение величины I для любой конфигурации установки (даже при снятых грузах, когда Iгр = 0 и I0 = I).

Для удобства запишем усредненный момент сил трения Nтр с выделением в нем радиуса r ступени диска 7 (см. рис. 1.17.1 или

27

Выясним смысл массы m*. Одновременно обсудим, как экспе- риментально определить Nтр. Предположим, что к свободному кон- цу нити мы прикрепили такой груз массы т, что предоставленная сама себе система «подшипниковый узел + груз массы m» не при- ходит в движение. Это означает, что момент силы натяжения нити (равный в данном случае mgr) недостаточен для преодоления мо- мента сил трения в оси подшипникового узла. При этом, как следу- ет из уравнения (1.17.8) (при β = 0), момент сил трения покоя

в оси покоящегося подшипникового узла равен моменту силы натяжения нити:

Nтр. пок = mgr .

Увеличивая массу груза т, мы найдем минимальное значение т0 массы груза т (и, соответственно, минимальное значение момента силы натяжения нити N0 = m0gr, при котором систему можно выве- сти из состояния покоя). Момент сил N0 будет также равен макси- мальному моменту сил трения покоя в оси подшипникового узла.

При дальнейшем увеличении массы груза т момент сил трения скольжения в оси подшипникового узла практически не отличается от максимального момента сил трения покоя N0. Приравнивая Nтр = N0, получаем, что т* = т0, откуда ясен смысл массы m*. Ве- личину Nтр (или N0) можно определить из экспериментального гра-

фика β(NF) (рис. 1.17.3).

28

тодатчика верхнего кронштейна 6 работы 17а (см. рис. 1.17.2). От- ключим электромагнит. Система «подшипниковый узел + груз мас- сы m» придет в движение. Через некоторый промежуток времени t (отсчитанный автоматически миллисекундомером) нижний край груза массы т достигнет контактного устройства трубы 9 работы 17 (см. рис. 1.17.1) или указателя оптической оси фотодатчика нижнего кронштейна 8 работы 17а (см. рис. 1.17.2).

Приращение полной механической энергии Ε системы «под- шипниковый узел + груз массы m» за указанный промежуток вре- мени t определяется по формуле

Е = А, (1.17.17)

где А – работа сил трения в оси подшипникового узла, определяе- мая по формуле (1.17.5).

Выразим приращение полной механической энергии системы Е через приращения потенциальной ( U) и кинетической ( Tк ) энергий системы:

E = U + Tк .

Вычислив каждое из этих приращений энергии, получим

U = mgh; Tк = Tv + Tω ,

где Tv и Tω определены формулами (1.17.4).

С учетом последних вычислений формула (1.17.17) примет вид:

Выражение (1.17.18) имеет простую интерпретацию. Опускание груза массой т приводит к тому, что одна часть запаса его перво- начальной потенциальной энергии переходит в кинетическую энер- гию поступательного движения груза Tv и кинетическую энергию

вращательного движения Tω подшипникового узла, а другая часть расходуется на преодоление трения в оси подшипникового узла.

Выражая скорость v груза массой т и угловую скорость ω вра- щения подшипникового механизма через величины h, r, t, получим

29

В заключение приведем основные формулы расчета погрешно- стей:

30