Материал: Ответы №3-1

где е – заряд электрона, и его длина волны равна.

24. Принцип неопределенностей Гейзенберга. Соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Экспериментальные исследования свойств микрочастиц показали, что точность определения их координат, энергии, импульсов и т. д. ограничена и регулируется сформулированным в 1927 г. В. Гейзенбергом принципом неопределенности. Согласно этому принципу при одновременном определении (т. е. измерении в один и тот же момент времени) координат и импульса частицы неопределенности координат Δx, Δy, Δz и неопределенности проекций импульса на соответствующие оси координат (x, y и z) Δp_x, Δp_y, Δp_z связаны неравенствами,

получившими название соотношений неопределенностей Гейзенберга.

Данные соотношения надлежит понимать следующим образом: микрочастицы, в принципе, не имеют одновременно точных значений координаты и соответствующей проекции импульса. Это связано не с ограниченной разрешающей способностью приборов и техники эксперимента, а отражает фундаментальный закон природы – двойственность корпускулярно-волновых свойств микрочастиц.

Так как проекция импульса частицы на ось x составляет p_x = mv_x, соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты х и импульса можно переписать в виде.

Следовательно, чем больше масса m частицы, тем меньше неопределенности ее координаты Δх и импульса Δр_х и тем с большей точностью к этой частице применимо понятие траектории.

Аналогичные соотношения справедливы для энергии частицы и ее импульса:

Здесь ΔE – неопределенность энергии системы в данном состоянии; Δt – интервал времени (время жизни), в течение которого это состояние существует.

25. Волновая функция, ее физический смысл. Стационарное одномерное уравнение Шредингера.

В квантовой механике каждому микрообъекту (например, электрону в атоме) ставится в соответствие функция координат и времени Ψ(x, y, z, t), которая характеризует состояние микрочастицы, т. е. ее положение, импульс, энергию и т. д. Эту функцию принято называть Ψ-функцией. Она обладает свойствами классических волн, поэтому называется также волновой функцией.

Физический смысл волновой функции заключается в следующем: квадрат ее модуля определяет вероятность dW того, что микрочастица может быть обнаружена в момент времени t в пределах объема dV с координатами x, y и z: .

Из этого выражения видно, что ||²  dW/dV / (т. е. квадрат модуля волновой функции) есть плотность вероятности (отношение вероятности dW к объему dV) нахождения частицы в данном месте пространства. Из физического смысла волновой функции следует, что квантовая механика не позволяет определить положение частицы или ее траекторию, но может предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в разных точках пространства.

С помощью волновой функции можно найти средние значения физических величин, характеризующих состояние микрочастицы, – координаты, импульса, энергии и т. д.: где X – физическая величина. Так, например, среднее значение радиуса орбиты электрона rср в атоме водорода

Уравнение Шредингера. Выражение волновой функции находят из уравнения Шредингера (1926 г., Э. Шредингер) – основного уравнения квантовой механики. В стационарном случае, т. е. когда волновая функция не зависит от времени (Ψ = Ψ(x, y, z)), уравнение Шредингера записывают следующим образом:

где m – масса частицы; U и E – ее потенциальная и полная энергия. Выражение в скобках часто обозначают символом

называемым оператором Лапласа, с помощью которого уравнение Шредингера принимает вид

Таким образом, решив это уравнение, можно найти волновую функцию и с ее помощью определить вероятность нахождения частицы в разных точках пространства, а также средние значения характеризующих ее физических величин.

26. Строение атомного ядра. Размер и состав ядра. Зарядовое и массовое число. Изотопы. Ядерные силы, их свойства.

Между нуклонами в ядре действуют силы, значительно превышающие кулоновские силы отталкивания между протонами. Они называются ядерными силами.

Экспериментально доказано, что ядерные силы намного превышают силы электромагнитных и гравитационных взаимодействий. Такие силы являются проявлением сильных взаимодействий.

Основные свойства ядерных сил:

1) это силы притяжения;

2) они короткодействующие, т. е. действуют только на расстояниях, меньших или порядка 10^-15 м; на малых расстояниях (меньше 10^-15 м) ядерные силы примерно в 100 раз больше кулоновских, действующих между протонами на том же расстоянии, с увеличением расстояния между нуклонами (>10^-15 м) ядерные силы быстро уменьшаются до нуля;

3) такие силы зарядово независимы, т. е. их величина не зависит от заряда взаимодействующих нуклонов: ядерные силы, действующие между двумя протонами, между двумя нейтронами, между протоном и нейтроном, одинаковы;

4) данные силы обладают свойством насыщения, т. е. каждый нуклон в ядре взаимодействует только с конечным числом ближайших к нему нуклонов. Насыщение проявляется в том, что удельная энергия связи Eсв нуклонов в тяжелых ядрах (при Z > 50) с увеличением массового числа А (числа нуклонов) не возрастает, а остается примерно постоянной (около 8 МэВ). Из-за ряда причин до сих пор не удалось разработать единую последовательную теорию атомного ядра. Для объяснения отдельных свойств ядер используют приближенные его модели, допускающие более или менее простое математическое описание. Примером служат капельная и оболочечная модели.

Атомное ядро состоит из элементарных частиц – протонов и нейтронов (протонно-нейтронная модель ядра Д. Д. Иваненко и В. Гейзенберга). Протон р заряжен положительно. Его заряд равен по модулю заряду электрона, а масса покоя mр = 1,672610^-27 кг  1836 me, где me – масса электрона. Нейтрон (n) – нейтральная частица, ее масса покоя равна mп= 1,674910^-27 кг  1839 me. Протоны и нейтроны называются нуклонами. Общее число нуклонов в атомном ядре называется массовым числом А.

Атомное ядро имеет заряд, равный Ze, где Z называется зарядовым числом. Оно равно числу протонов в ядре и совпадает с порядковым номером элемента в Периодической системе элементов Менделеева. В настоящее время известно 110 элементов с зарядовыми числами ядер Z от 1 до 110. Ядро обозначается тем же символом, что и нейтральный атом: , где Х – символ химического элемента; А – массовое число; Z – зарядовое число.

Так как атом нейтрален, заряд ядра определяет также число электронов в атоме. От числа электронов зависят их распределение по орбитам в атоме и, следовательно, химические свойства атома. Таким образом, заряд ядра определяет свойства химического элемента.

Ядра с одинаковыми Z, но разными А (т. е. с разными числами нейтронов N = A – Z) называются изотопами, а ядра с одинаковыми А, но разными Z – изобарами

27. Дефект массы. Энергия связи нуклонов в ядре. Зависимость удельной энергии связи от от массового числа.

Исследования показывают, что атомные ядра устойчивы, следовательно, между нуклонами в ядре существуют силы притяжения (помимо сил кулоновского отталкивания между протонами).

Очень точные измерения показывают, что масса ядра меньше суммы масс составляющих его нуклонов. Так как всякому изменению массы соответствует изменение энергии (ΔE = Δmc^2 ), при образовании ядра должна выделяться некоторая энергия.

Из закона сохранения энергии также следует, что для разделения ядра на составные части необходимо затратить энергию, равную той, которая выделяется при его образовании. Энергия, необходимая для расщепления ядра на отдельные нуклоны, называется энергией связи ядра.

Из закона взаимосвязи массы и энергии следует, что энергия связи нуклонов в ядре

где mp, mn, mя – соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

Величина

называется дефектом массы ядра.

Величина, равная

называется удельной энергией связи. Она характеризует устойчивость (прочность) атомных ядер: чем больше Eсв, тем устойчивее ядро.

Удельная энергия связи зависит от массового числа А элемента. Для легких ядер (А  12) удельная энергия связи возрастает с 1,1 МэВ у дейтерия до 6–7 МэВ у гелия и бериллия, а затем более медленно до максимальной величины 8,7 МэВ у элементов с A = 50–60 (рис. 4.1). Далее, с увеличением массового числа Eсв она медленно уменьшается: для тяжелых элементов, например для , она составляет 7,6 МэВ. (Для сравнения энергия связи валентных электронов в атомах в миллион раз меньше – порядка 10 эВ.)

Уменьшение Eсв при переходе к тяжелым элементам обусловлено возрастанием числа протонов в ядре и увеличением энергии их кулоновского отталкивания. В результате связь между нуклонами становится слабее, а сами ядра менее прочными.

Из зависимости Eсв от А следует, что наиболее устойчивыми энергетически являются ядра с А = 50 – 60, т. е. ядра из средней части Периодической системы элементов Менделеева. Тяжелые и легкие ядра менее устойчивы. Следовательно, энергетически выгодны следующие процессы: 1) деление тяжелых ядер (например, ядер урана) на более легкие; 2) слияние легких ядер (дейтерия) с образованием тяжелых ядер (гелия). В этих процессах выделяется огромное количество энергии. В настоящее время для получения энергии используются как реакции деления (взрыв ядерной бомбы, ядерные реакторы), так и реакции слияния (термоядерные реакции – взрыв водородной бомбы).

28. Радиоактивность. Альфа-, бета-, гамма-излучение.

Радиоактивность – способность ядер некоторых элементов к самопроизвольному (радиоактивному) распаду, который сопровождается радиоактивным излучением. Существует три типа радиоактивного излучения: α-, β- и γ-излучение.

Альфа-излучение и α-распад.

Альфа-излучение – поток ядер гелия со скоростями ~107 м/с. Альфа-распад – самопроизвольный распад атомного ядра (материнского ядра) на дочернее и α-частицу (ядро гелия 4 2He ) (рис. 4.2).

Альфа-распад, как правило, происходит в тяжелых ядрах с массовым числом A ≥ 140. При этом выполняется правило смещения: в результате α-распада возникает элемент Y, смещенный относительно исходного элемента X на две клетки к началу Периодической системы элементов Менделеева (зарядовое число уменьшается на 2):

В этом распаде массовое число дочернего ядра на четыре единицы меньше массового числа материнского ядра .

Примером α-распада служат:

Поскольку α-частицы имеют большие массу и заряд (по сравнению с электроном), они сильно поглощаются веществом, т. е. α-излучение обладают низкой проникающей способностью. Так, при нормальном давлении слой воздуха толщиной несколько сантиметров полностью задерживает α-частицы. В конденсированной среде (жидкость, твердое тело) полное поглощение α-излучения достигается при толщине слоя вещества около 0,1 мм.

Бета-излучение и β-распад.

Эксперименты показали, что β-излучение – это поток электронов ( -излучение) или позитронов ( -излучение) со скоростями, близкими к скорости света. (Позитрон – античастица по отношению к электрону, имеет массу и положительный заряд, равные массе и заряду электрона; встреча позитрона с электроном приводит к их аннигиляции, при этом образуются фотоны с большой энергией. Позитрон был предсказан теоретически П. Дираком в 1928 г. и обнаружен экспериментально в 1932 г.)

Различают три разновидности β-распада:

1. электронный  распад. В этом процессе один из нейтронов ядра превращается в протон с испусканием электрона и антинейтрино :

(В ядерных реакциях при возникновении дополнительной частицы – в данном случае электрона – обязательно возникает соответствующая ей античастица – антинейтрино.) Процесс -распада ядер записывается в виде

где – распадающееся материнское ядро; – образовавшееся в результате  распада дочернее ядро.

В результате распада элемент смещается на одну клетку к концу Периодической системы элементов Менделеева (заряд ядра увеличивается на единицу), при этом массовое число ядра не изменяется. Примером служит процесс превращения ядра цезия в ядро бария: