Материал: Ответы №3-1

Оптическая длина пути лучей 1 и 2 от волновой поверхности падающей плоской волны АВ равна

Добавка к оптическому пути L₂, равная ₀/2, обусловлена потерей полуволны при отражении света в точке С от оптически более плотной среды (среды с большим показателем преломления, n > 1) в среду, менее плотную (показатель преломления окружающей пленку среды принимается равным единице). При таком отражении световая волна меняет фазу колебания на противоположную, т. е. на π. Такое изменение фазы соответствует «пробегу» волной дополнительного расстояния λ₀/2 (как говорят, свет при отражении «теряет половину длины волны»). Таким образом, добавляя (или вычитая) половину длины волны (в вакууме) к разности хода лучей 1 и 2, учитываем изменение фазы колебания луча 2ʹ при отражении в точке С.

Отсюда оптическая разность хода

В точке С наблюдается интерференционный максимум, если Δ = mλ₀ (m – любое целое число), и минимум, если Δ = (m + 1/2)λ₀.

Если на пластинку постоянной толщины d свет падает под разными углами i_п, то результат интерференции отраженных лучей будет зависеть только от угла падения i_п (поскольку в этом случае разность хода Δ зависит только от i_п). Рассматривая пластинку, можно увидеть систему светлых и темных полос. Каждая интерференционная полоса соответствует лучам света, падающим под одинаковыми углами, и поэтому картина интерференции в этом случае называется полосами равного наклона.

При постоянных угле падения i_п и показателе преломления разность хода Δ (и, следовательно, результат интерференции) зависит только от толщины пластинки d. Поэтому на пластинке переменной толщины (например, клин) возникает система интерференционных полос, соответствующих определенным значениям ее толщины d. Наблюдаемая в этом случае картина интерференции называется полосами равной толщины.

7. Кольца Ньютона.

Положим на плоскую отшлифованную стеклянную пластинку С плосковыпуклую линзу L. Между ними образуется очень тонкая воздушная прослойка, толщина которой возрастает от точки соприкосновения линзы с плоскостью (точка А) по направлению к ее краям.

При освещении линзы сверху пучком параллельных лучей с длиной волны λ₀ интерферируют лучи, отразившиеся от верхней и нижней границ воздушной прослойки (например, лучи 1 и 2). При отражении от других поверхностей интерференционные полосы не возникают вследствие большой толщины пластинки и линзы.

В точке А толщина воздушной прослойки мала даже по сравнению с длиной световой волны. Для лучей, отразившихся вблизи данной точки, разность хода обусловливается только потерей полуволны λ₀/2 лучом, отраженным на нижней границе прослойки от поверхности стекла как от среды, оптически более плотной. Поэтому лучи, отразившиеся в точке А, гасят друг друга, и при взгляде сверху в этой точке наблюдается темное пятно. По мере удаления к краям линзы (с увеличением толщины воздушного слоя) возрастет разность хода интерферирующих лучей, причем области пространства, соответствующие одинаковой толщине слоя, располагаются на одинаковом расстоянии от ее центра. Поэтому в отраженном свете наблюдаются чередующиеся концентрические светлые и темные кольца, окружающие центральное темное пятно. Каждому кольцу соответствует определенная толщина воздушного слоя. Таким образом, получаем интерференционную картину с полосами равной толщины, называемую кольцами Ньютона.

Радиус r колец Ньютона определяется расчетным путем.

Ввиду малой кривизны поверхности линзы можно считать, что угол преломления луча на границе линзы и воздушного зазора равен нулю, т. е. воздушный зазор можно уподобить плоскопараллельной пластинке. Поэтому воспользуемся приведенной ранее формулой

Значение m = 0 соответствует центральному темному пятну.

Радиус колец Ньютона увеличивается при возрастании длины волны освещающего излучения. При освещении системы линза–пластинка не монохроматическим, а белым светом образуются кольца Ньютона, окрашенные в радужные цвета. Чем больше кольца удалены от центрального темного пятна, т. е. чем толще слой воздуха между линзой и пластинкой, тем ближе сходятся эти разноцветные кольца, пока, наконец, совсем не сольются и их суммарный цвет не превратится в белый.

8. Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля

Дифракцией света называется совокупность явлений, обусловленных волновой природой света и наблюдаемых при прохождении его через оптические среды с четко выраженными неоднородностями, – отверстиями, препятствиями, размеры которых соизмеримы с длиной световой волны. К явлению дифракции относится огибание препятствий световыми волнами.

Для объяснения дифракции и определения интенсивности световой волны, распространяющейся в среде с препятствиями, применяются методы, основанные на принципе Гюйгенса–Френеля, в соответствии с которым:

а) каждая точка фронта световой волны является источником вторичных сферических волн, новый фронт волны представляет собой поверхность, огибающую эти фронты;

б) источники вторичных волн, которые расположены на поверхности фронта волны, являются когерентными, и указанные волны интерферируют между собой.

С помощью этого принципа можно объяснить закон прямолинейности распространения света и равенство углов падения и отражения при его отражении.

Пусть S – поверхность волнового фронта (рис. 1.19). Каждый элемент такой поверхности служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна площади dS элемента.

Для сферической волны амплитуда убывает с увеличением расстояния r от источника как 1/r.

Таким образом, от каждого элемента dS волновой поверхности в точку Р приходят колебания

где AdS – пропорциональная площади dS амплитуда колебаний вектора напряженности электрического поля (светового вектора) в точке волновой поверхности, в которой расположен элемент dS; K() – коэффициент, который уменьшается с увеличением угла φ между нормалью n к площадке dS и направлением от dS к точке наблюдения Р. Результирующее колебание в точке Р можно найти, вычислив интеграл (интеграл Френеля) по всей волновой поверхности S:

Это соотношение – аналитическое выражение принципа Гюйгенса–Френеля.

Расчет интерференции вторичных волн в общем случае довольно сложен. Однако для ряда задач нахождение амплитуды результирующего колебания оказывается возможным с помощью алгебраического или геометрического суммирования.

9. Дифракция света. Метод зон Френеля

Для определения результирующей амплитуды всех волн в точке наблюдения Френель предложил метод разбиения волновой поверхности на кольцевые зоны, называемые зонами Френеля.

Рассмотрим применение этого метода в случае плоской волны. Пусть плоский фронт волны F в некоторый момент времени находится на расстоянии |OP| = b от точки наблюдения Р (рис. 1.20). Все точки фронта волны согласно принципу Гюйгенса–Френеля испускают вторичные сферические волны, которые распространяются по всем направлениям и через некоторое время достигают точки наблюдения Р. Результирующая амплитуда колебаний в этой точке определяется векторной суммой амплитуд всех вторичных волн.

Поскольку волновой фронт F плоский, колебания всех его точек имеют одинаковое направление и происходят в одной фазе. Вместе с тем все точки фронта F находятся на разном расстоянии от точки Р. Выбирая точку Р в качестве центра, строим ряд концентрических сфер, радиусы которых начинаются с b и увеличиваются последовательно на половину длины волны λ/2. При пересечении с фронтом волны F эти сферы образуют на нем концентрические окружности, и на данном фронте появляются кольцевые зоны (зоны Френеля) с радиусами ρ1, ρ2, ρ3, ... На рис. 1.20 изображение зон Френеля развернуто на 90° так, как они выглядят из точки Р.

Так как |OA| = ρ1, |OA|² = |AP|² – |OP|², b, радиусы зон Френеля равны

Таким образом, радиус k-й зоны Френеля

Амплитуды колебаний от зон Френеля пропорциональны их площадям. Площадь первой зоны (круг)

Площадь второй зоны (кольцо)

Площадь третьей зоны (кольцо)

Следовательно, площади зон Френеля примерно одинаковы и равны

S_k  b

Согласно принципу Гюйгенса–Френеля каждая зона Френеля служит источником вторичных волн. Их амплитуды примерно одинаковы, так как площади зон равны. При этом колебания, возбуждаемые в точке Р двумя соседними зонами, противоположны по фазе, поскольку разность хода соответствующих волн от этих зон до точки наблюдения Р равна λ/2. Поэтому при сложении в точке Р колебания от соседних зон должны ослаблять друг друга. В связи с этим амплитуда А результирующего колебания в точке Р может быть записана в виде знакопеременного ряда

A = A₁ – A₂ + A₃ – A₄ + …

где А_k – амплитуда колебания в точке P, возбуждаемого действием k-й зоны Френеля. В этом выражении все амплитуды от нечетных зон входят со знаком «плюс», а от четных – со знаком «минус».

Расстояние от k-й зоны до точки P медленно возрастает с увеличением номера зоны k. Следовательно, амплитуды А_k монотонно убывают с увеличением k и образуют монотонно убывающую последовательность

Вследствие монотонного и медленного убывания A_k можно с высокой степенью точности положить, что амплитуда колебаний от зоны с номером k равна среднему арифметическому амплитуд колебаний от двух соседних зон Френеля:

Представляя нечетные амплитуды в виде полусуммы: А_k= А_k/2 + А_k/2, записываем выражение амплитуды результирующего колебания в виде

Согласно предыдущей формуле, все выражения в круглых скобках равны нулю, так что

т. е. результирующая амплитуда, создаваемая в точке наблюдения Р всей поверхностью волнового фронта F, равна половине амплитуды, создаваемой лишь центральной (первой) зоной Френеля. Таким образом, колебания, вызываемые в точке P волновой поверхностью F, имеют такую же амплитуду, как если бы действовала только половина первой (центральной) зоны.

Оценим размеры зон Френеля. Пусть дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном на расстоянии L = 1 м от препятствия, а длина волны света λ = 600 нм (красный свет). Тогда радиус первой зоны Френеля

Следовательно, до точки наблюдения P свет распространяется как бы в узком канале, сечение которого равно половине первой (центральной) зоны Френеля, что соответствует прямолинейному распространению света.

Если на пути волны поставить диафрагму с отверстием, оставляющим открытым только центральную (первую) зону Френеля, амплитуда в точке P будет равна A1, что в два раза больше амплитуды, создаваемой всем волновым фронтом в отсутствие диафрагмы (A₁/2). Соответственно интенсивность света в точке P при наличии диафрагмы будет в четыре раза больше, чем при ее отсутствии. Это не противоречит закону сохранения энергии – просто произошло ее перераспределение.